Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Операции с множествами. Основные понятия графов. Комбинаторика
Содержание
- 1. Операции с множествами. Основные понятия графов. Комбинаторика
- 2. Основные вопросыЭлементы и множества. Операции над множествами
- 3. Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства.
- 4. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое»основатель
- 5. Понятия теории множеств Понятие
- 6. С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего
- 7. Примеры множеств:множество учащихся в данной аудитории; множество
- 8. Если элемент x принадлежит множеству X, то
- 9. Множество четырехугольниковПространственные тела1, 2, 3, 4, 5,
- 10. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
- 11. Обозначения некоторых числовых множеств:
- 12. Способы задания множеств Множество может быть задано
- 13. Примеры
- 14. Примеры
- 15. Виды множеств:
- 16. Если элементы множества можно сосчитать, то множество
- 17. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество
- 18. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
- 19. Мощность множестваЧисло элементов конечного множества называют мощностью
- 20. Пример . Определите мощность какого из множеств
- 21. Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами
- 22. При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы
- 23. Множество A называется подмножеством множества B, если
- 24. Свойства множествЛюбое множество является подмножеством самого себя
- 25. Два множества А и В называются равными
- 26. Количество подмножествЕсли мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств.А={1,2}Подмножества А:{}, {1}, {2}, {1,2}.
- 27. В={1,3,5}Подмножества В:{}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5},
- 28. Операции над множествамиПересечением (произведением) множеств А и
- 29. Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e}, то А ∩ В = {b}Операции над множествамипересечение
- 30. Операции над множествами
- 31. Объединением (суммой) двух множеств А и В
- 32. объединениеНапример, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А B = {1,2,3,4,5,6}124А4356ВОперации над множествами
- 33. Операции над множествами
- 34. Разностью множеств А и В называется множество
- 35. разностьНапример, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2}124А4356ВОперации над множествами
- 36. Операции над множествами
- 37. Операции над множествамиДополнение множестваЧасто множества A,B,C …
- 38. Если А - множество параллелограммов, В- множество
- 39. Задача. Даны множестваНайти: объединение, пересечение, разность.
- 40. Слайд 40
- 41. Слайд 41
- 42. Слайд 42
- 43. Слайд 43
- 44. Всего 67Английский 47Немецкий 352347-23=242435-23=121224+12+23=5967- 59=8Задача. На фирме
- 45. Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский
- 46. Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме,
- 47. Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними
- 48. Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий
- 49. История возникновения графовТермин "граф" впервые появился в
- 50. В основе теории лежит понятие графа.Граф -
- 51. Состав графаГраф состоит из вершин, связанных линиями.
- 52. Ориентированный граф - граф, вершины которого соединены
- 53. Взвешенный графЭто граф, рёбрам или дугам которого
- 54. Две вершины графа называются смежными, если существует
- 55. Если граф G имеет ребро , у
- 56. Два ребра называются смежными, если они имеют
- 57. Рёбра, которые начинаются в одной и той
- 58. На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А,
- 59. На рисунке вершина А имеет степень, равную
- 60. EВершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется
- 61. На рисунке вершины А, В, Е, G, H – висячие. х1х2х3х4х5х6х7СDFABEHG
- 62. Теорема 1. В графе
- 63. Вершина называется чётной (нечётной), если её степень
- 64. Теорема 2. Число нечётных вершин любого графа
- 65. Дополнением графа называется граф
- 66. Пути и маршруты в графах Путем в
- 67. В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на
- 68. Неориентированный граф называется связным, если существует хотя
- 69. Путь называется замкнутым, если начальная и конечная
- 70. Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е.
- 71. На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4.
- 72. В графе на рисунке (t, s, p,
- 73. Операции над графамиОбъединением графов
- 74. х3х4х6G1V2V1V3V4V5х3х1х5G=G1UG2х6х4х4х3V3V2V1G=G1∩G2х2х2V2V1V3V4х7V5х1G=G1 G2V4х7х5х6
- 75. Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.
- 76. Комбинаторикой называется раздел математики, в котором исследуется,
- 77. В частности, одним из видов комбинаторных задач
- 78. ПерестановкиМножество называется упорядоченным, если каждому элементу
- 79. Пример 1: В расписании сессии 3 экзамена
- 80. Пример 2Перестановки множества А={a, b, c} из
- 81. Перестановки с повторениямиРассматривая перестановки ранее, мы
- 82. Пример 5. Слова и фразы с переставленными
- 83. РазмещенияРазмещением из n элементов по m
- 84. Решение: Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества,
- 85. Решение (обратить внимание на его оформление!)Основное множество:
- 86. Размещения с повторениямиРазмещения с повторениями – соединения,
- 87. Пример 9. В библиотеку, в которой есть
- 88. СочетанияСочетанием из n элементов по m (
- 89. Решение. (обратить внимание на его оформление!)Основное множество:
- 90. Сочетания с повторениямиСочетаниями с повторениями из m
- 91. Сочетания с повторениямиЕсли из множества, содержащего n элементов, выбирается
- 92. Пример 11. Сколько костей находится в обычной
- 93. Спасибо за внимание!
- 94. Скачать презентанцию
Основные вопросыЭлементы и множества. Операции над множествами и их свойства. Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.Обоснование основных понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Основные вопросы
Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства.
понятий комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.
Слайд 4«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
основатель теории множеств –
Георг Кантор
(1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных
множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв. 
Слайд 5Понятия теории множеств
Понятие множества является одним из
наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено
в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Слайд 6С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по
какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то
объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D .
Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.
Слайд 7Примеры множеств:
множество учащихся в данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей
планете в данный момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных
чисел;
множество корней уравнения х2-5х+6=0;
множество действительных корней уравнения х2+9=0;
Слайд 8Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x
Х ( — принадлежит).
В противном случае, если a не принадлежит
множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( — содержится).
Слайд 9Множество четырехугольников
Пространственные тела
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11…
Квадраты чисел
Цифры десятичной системы счисления
10, 12, 14, 16
… 96, 98
Слайд 11 Обозначения некоторых числовых множеств:
N – множество
натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Слайд 12Способы задания множеств
Множество может быть задано перечислением всех его
элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри
фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}.2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B». Например, а – четное натуральное число.
3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов , то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они:
Здесь x М означает, что элемент х является элементом известного множества .
Запись Р(х) означает, что элемент х обладает свойством Р. Свойство Р(х) формулируется словами, символами или выражается с помощью уравнения или неравенства.
Слайд 16Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ
Пример
Множество
гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов –
это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Слайд 17Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ
Пример
Множество натуральных чисел
бесконечно.
Пример
Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.
Пример
Множество атомов во Вселенной
![Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество точек отрезка [0;1] бесконечно.ПримерМножество атомов во](/img/thumbs/a1a10d6bfe7615cd6a559d396e82c783-800x.jpg "Операции с множествами. Основные понятия графов. Комбинаторика Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество")
Слайд 18Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно
обозначается знаком
Пример
Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.
Пример
Множество людей,
проживающих на Солнце.
Слайд 19Мощность множества
Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и
обозначают символом m (A) или |A|.
Количество элементов в конечном
множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.
Слайд 20Пример . Определите мощность какого из множеств A = {1,
3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6,
8} больше.Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов.
Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а
B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).
Слайд 21Отношения между множествами
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи
особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для
этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) 
Слайд 22При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых
универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества
в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника
Слайд 23Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества
A принадлежит множеству B.
Эта зависимость между множествами называется включением.
При
этом пишут AB, где есть знак вложения подмножества. 
Слайд 24Свойства множеств
Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A B.
Для
любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если
и
, то .Для всякого множества А пустое множество является его подмножеством: А
Слайд 25 Два множества А и В называются равными ( А =
В ), если они состоят из одних и тех же
элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .Примеры
1. , . Множества и состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равные: А = В .
2. Множество решений уравнения есть множество чисел 2 и 3, то есть . Множество В простых чисел, меньших 5, также состоит из чисел 2 и 3, то есть .
Слайд 26Количество подмножеств
Если мощность множества n, то у этого множества 2n
подмножеств.
А={1,2}
Подмножества А:
{}, {1}, {2}, {1,2}.
Слайд 27В={1,3,5}
Подмножества В:
{}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5}
С={а,и,е,о}
Подмножества С:
{},
{а}, {и}, {е}, {о}, {а,и}, {а,е}, {а,о}, {и,е}, {и,о}, {е,о},
{а,и,е}, {а,и,о}, {а,е,о}, {и,е,о}, {а,и,е,о}.Количество подмножеств
Слайд 28Операции над множествами
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество
А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так
и множеству В.А∩В={х│хєА и хєВ}
Слайд 31Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество А
В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А
или В.Операции над множествами
АUВ={х│хєА или хєВ}
Слайд 32 объединение
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},
то А B =
{1,2,3,4,5,6}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Операции над множествами
Слайд 34Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы
которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Операции над
множествами
Слайд 35разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5},
то А\В = {1,2}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Операции над множествами
Слайд 37Операции над множествами
Дополнение множества
Часто множества A,B,C … являются подмножествами некоторого
более широкого множества U, принимаемого за универсальное.
Слайд 38Если А - множество параллелограммов, В- множество трапеций, С -
множество ромбов, D - множество прямоугольников, E - множество квадратов,
то универсальным множеством U служит множество всех четырехугольников.Если А - множество треугольников, В- множество четырехугольников и так далее, то в качестве универсального множества U можно выбрать множество всех многоугольников.
Операции над множествами
ПРИМЕРЫ:
Слайд 44Всего 67
Английский 47
Немецкий 35
23
47-23=24
24
35-23=12
12
24+12+23=59
67- 59=8
Задача. На фирме работают 67 человек.
Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык,
а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?
Слайд 45Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык.
Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а
два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?Ответ: в классе 34 ученика
Английский 25
Немецкий 27
Только английский
25 – 18 = 7
Только немецкий
27 – 18 = 9
7 + 9 + 18 = 34
18
7
9
Слайд 46Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету,
или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей
выписывают
газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?Всего: 14 + 13 + 62 =89
Слайд 48Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения.
Теория графов – область дискретной математики, особенностью которой является геометрический
подход к изучению объектов. 
Слайд 49История возникновения графов
Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика
Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о
графах восходят к Л. Эйлеру.
Слайд 50В основе теории лежит понятие графа.
Граф - совокупность конечного числа
точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих
вершин линий, называемых ребрами или дугами графа. Иногда граф в целом можно обозначать одной заглавной буквой.Графом называется пара двух конечных множеств: множество точек V и множество линий X (ребер, дуг), соединяющих некоторые пары точек.
Слайд 51Состав графа
Граф состоит из вершин, связанных линиями. Вершины графа обозначают
латинскими буквами A, B, C, D или цифрами.
Направленная линия (со
стрелкой) называется дугой.Линия ненаправленная (без стрелки) называется ребром.
Линия, выходящая из некоторой вершины и входящая в неё же, называется петлей.
Слайд 52Ориентированный граф -
граф, вершины которого соединены дугами. С помощью
таких графов могут быть представлены схемы односторонних отношений.
Маша
Юра
Аня
Витя
Коля
Слайд 53Взвешенный граф
Это граф, рёбрам или дугам которого поставлены в соответствие
числовые величины (они могут обозначать, например, расстояние между городами или
стоимость перевозки).Вес графа равен сумме весов его рёбер.
Таблице (она называется весовой матрицей) соответствует граф.
Слайд 54Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро:
на рисунке смежными являются вершины А и В, А и
С.Если ребро графа G соединяет две его вершины V и W, (т.е. ), то говорят, что это ребро им инцидентно.
Слайд 55Если граф G имеет ребро , у которого начало и
конец совпадают, то это ребро называется петлёй. На рисунке ребро
q(С, С) – петля.С
A
B
D
E
q
Слайд 56Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.
На
рисунке смежными являются, например, рёбра х1 и х2 с общей
вершиной С.х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
С
D
F
A
B
E
H
G
Слайд 57Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются
также в одной и той же вершине, называются кратными, или
параллельными.Количество одинаковых пар вида называется кратностью ребра
Число рёбер, инцидентных вершине А, называется степенью этой вершины и обозначается (от англ. degree – степень).
Слайд 58На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В).
Вершинам А и С инцидентны рёбра х3, х4, х5. Следовательно,
ребро АС имеет кратность, равную 3, а ребро АВ – кратность, равную 2.А
С
В
х1
х2
х5
х3
х4
Слайд 59На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С
– 4, вершина D – 2. Записывается это в виде:
deg(A)=1, deg(C)=4, deg(D)=2.х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
С
D
F
A
B
E
H
G
Слайд 60E
Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной.
Граф, состоящий
из изолированных вершин, называется нуль-графом.
Вершина графа, имеющая степень, равную
1, называется висячей.Граф, не имеющий ребер (дуг), называется пустым.
На рисунке вершина
Е – изолированная:
deg(E)=0.
A
B
D
C
Слайд 62
Теорема 1. В графе сумма степеней всех
его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа:
где
- число вершин; - число рёбер графа.
Слайд 63Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное)
число.
На рисунке deg(D)=2, deg(F)=3, значит у графа вершина D
является чётной, а F – нечётной.х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
С
D
F
A
B
E
H
G
Слайд 64 Теорема 2. Число нечётных вершин любого графа – чётно.
Следствие. Невозможно
начертить граф с нечётным числом нечётных вершин.
Граф G называется полным,
если
любые две его различные вершины соединены одним и
только одним ребром.
Слайд 65Дополнением графа называется граф
с теми же вершинами V, что и граф
G, и имеющий те и только те рёбра , которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным.На рисунке дополнением графа G1 до графа G является граф
G
G1
Слайд 66Пути и маршруты в графах
Путем в ориентированном графе называется последовательность
дуг, в которой конечная вершина любой дуги, отличной от последней,
является начальной вершиной следующей дуги.Вершина, от которой проложен маршрут, называется началом пути, вершина в конце маршрута — конец пути.
Путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза, называется простым путем.
Длиной пути в графе называется количество дуг (ребер), составляющих этот путь.
Слайд 67В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из
существующих путей, соединяющих вершины 1 и 3, является последовательность вершин
1, 2, 1, 4, 3. Единственным простым путем для той же пары вершин является последовательность 1, 4, 3. Пути из вершины 1 в вершину 5 для того же графа не существует.
Слайд 68Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь
между каждой парой вершин.
Орграф называется связным, если связен неориентированный граф,
который получается из исходного ориентированного заменой всех дуг на ребра.
Слайд 69Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают.
Замкнутый путь
называется циклом, если все его вершины (кроме начальной и конечной)
различны.Рассмотрим граф. Для него путь 2, 1, 6, 5, 4, 1, 2 является замкнутым; а путь 1, 6, 5, 4, 1 является циклом.
Слайд 70Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного
графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой
вершиной следующего, называется маршрутом.Число рёбер маршрута называется длиной маршрута.
Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом.
Слайд 71На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут
принято задавать как последовательность рёбер, поскольку это удобно при наличии
кратных рёбер.х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
С
D
F
A
B
E
H
G
Слайд 72 В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s,
t, r) – циклы длиной 4, (r, t, q, s,
u) – цикл длиной 5, (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл, (p, u) – 2-цикл, петля (q) – 1-цикл.s
Слайд 73Операции над графами
Объединением графов
и называется граф , множество вершин которого
, а множество рёбер .Пересечением графов и называется граф , для которого - множество рёбер, а - множество вершин.
Кольцевой суммой двух графов называется граф ,порождённый множеством вершин и множеством рёбер , т.е. множеством рёбер, содержащихся либо в , либо в , но не в .
Слайд 76Комбинаторикой называется раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций
(всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или иным условиям, можно составить
из элементов, принадлежащих данному множеству.Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».
Слайд 77В частности, одним из видов комбинаторных задач являются
задачи на
соединения
Виды соединений
размещения
сочетания
перестановки
В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как
факториал ( в переводе с английского « factor» – множитель)n! = 1· 2· 3· …· (n -1)n
Свойство: 0!=1
Слайд 78 Перестановки
Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено
в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до
n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.Перестановки – различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов.
Термин “перестановка” употребил впервые Якоб Бернулли в книге «Искусство предположений».
Р – первая буква французского слова permutation – перестановка.
Формула (число размещений «из эн по эм»):
(1654-1705)
Слайд 79Пример 1: В расписании сессии 3 экзамена (история, геометрия, алгебра).
Сколько может быть вариантов расписаний?
Решение. (обратить внимание на его
оформление!)Основное множество: {история, геометрия, алгебра}
Соединение – вариант расписания сессии
Проверим, важен ли порядок:
{история, геометрия, алгебра} и {геометрия, история, алгебра} – варианты расписания сессии для разных групп порядок важен это последовательность это перестановка из трех элементов.
Перестановки
Ответ: 6 вариантов
Слайд 80Пример 2
Перестановки множества А={a, b, c} из трёх элементов имеют
вид:
(a, b, c); (b, c, a); (c, a, b);
(a, c,
b); (b, a, c); (c, b, a),т. е. P3 = 3! = 1х2х3 = 6 перестановок.
Пример 3
Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?
P4 = 4! = 1х2х3х4 = 24 способа.
Перестановки
Слайд 81 Перестановки с повторениями
Рассматривая перестановки ранее, мы предполагали, что n
элементов различны.
Если среди n элементов есть n1 элемент одного вида,
n2 элементов другого вида и т.д., nk элементов k-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число:Пример 4.
Сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД?
n=3, k=2, n1=2, n2=1
Слайд 82 Пример 5. Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами.
Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»?
Решение.
Всего в слове «МАКАКА»
6 букв (m=6).Определим сколько раз в слове используется каждая буква:
«М» - 1 раз (k1=1)
«А» - 3 раза (k2=3)
«К» - 2 раза (k3=2)
Р =
m!
k1! k2! …kn!
Р1,3,2 =
6!
1! 3! 2!
=
4*5*6
2
=
60.
Перестановки с повторениями
Слайд 83 Размещения
Размещением из n элементов по m ( m ≤
n) называется последовательность, состоящая из m различных элементов некоторого
n элементного множества.Формула (число размещений «из эн по эм»):
Пример 6.
Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 мест?
Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.
Слайд 84 Решение:
Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов,
т.е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по
3. Размещения
Пример 7. Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, физорг и редактор стенгазеты?
Слайд 85Решение (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {1, 3, 5,
7, 9} – нечетные цифры
Соединение – двузначное
число Пример 8. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?
Проверим, важен ли порядок:
разные двузначные числа
порядок важен это последовательность это размещение «из пяти по два».
двузначных чисел
Ответ: 20 чисел.
Размещения
Слайд 86Размещения с повторениями
Размещения с повторениями – соединения, содержащие n элементов,
выбираемых из элементов m различных видов (
) и отличающиеся одно от другого либо составом, либо порядком элементов.Их количество в предположении неограниченности количества элементов каждого вида равно
Слайд 87Пример 9. В библиотеку, в которой есть много одинаковых учебников
по десяти предметам, пришло 5 школьников, каждый из которых хочет
взять учебник. Библиотекарь записывает в журнал по порядку названия (без номера) взятых учебников без имен учеников, которые их взяли. Сколько разных списков в журнале могло появиться?Размещения с повторениями
Решение: Так как учебники по каждому предмету одинаковые, и библиотекарь записывает лишь название (без номера),то список – размещение с повторением, число элементов исходного множества равно 10, а количество позиций – 5.
Тогда количество разных списков равно
= 100000.
Ответ: 100000
Слайд 88Сочетания
Сочетанием из n элементов по m ( m ≤ n)
называется m- элементное подмножество некоторого n элементного множества.
Формула (число
размещений «из эн по эм»): Сочетания – конечные множества, в которых порядок не имеет значения.
Слайд 89Решение. (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {мак, роза, тюльпан,
лилия, гвоздика}
Соединение – букет из трех цветков
Проверим, важен ли порядок:
{тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} – один и тот же букет порядок неважен это подмножество это сочетание «из пяти по три».
Ответ: 10 букетов
Сочетания
Пример 10. Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?
Слайд 90Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями из m по n называют
соединения, состоящие из n элементов, выбранных из элементов m разных
видов, и отличающиеся одно от другого хотя бы одним элементом.Число сочетаний из m по n
обозначают
Слайд 91Сочетания с повторениями
Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный
элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную
выборку – число сочетаний с повторениями – составляетСочетания с повторениями
Слайд 92Пример 11. Сколько костей находится в обычной игре "домино"?
Решение: Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по
две из семи цифр множества (0,1,2,3,4,5,6). Число всех таких сочетаний равно
