ОПІР МАТЕРІАЛІВ Семестр - 2 Лекція - 1 1

10. Динамічне навантажування
10.4 Пружні коливання
10.4.1 Класифікація механічних коливань
10.4.2 Власні гармонічні

коливання пружної системи з одним ступенем вільності
10.4.3 Вимушені коливання пружної системи з одним ступенем вільності

коливання

коливання

коливання

коливання

коливання
Класифікуючи механічні коливання за іншими ознаками, розрізняють наступні типи

коливань.
Власними (вільними) називаються коливання, які виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження, що спричинює початкові відхилення точок системи від положення рівноваги або початкові швидкості, і тривають потім завдяки внутрішнім пружним силам, які відновлюють рівновагу. Власні коливання є згасаючими.
Вимушеними називають коливання пружної системи, які відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх сил, що періодично змінюються і діють неперервно незалежно від коливань у системі. Вимушені коливання є незгасаючими.

коливання
Автоколиваннями, або самоколиваннями, пружної системи називають незгасаючі коливання, що

підтримуються такими зовнішніми силами, характер дій яких визначається самими коливальними процесами механічної системи.

Автоколивання виникають у системі без зовнішньої періодичної дії. Це коливання, які підтримуються внутрішніми джерелами енергії системи.
Наприклад, настінний годинник з маятником або наручний механічний годинник - це механічні автоколивальні системи.
У годинниках потенціальна енергія тягарця (або стиснутої пружини) поступово, окремими порціями передається маятнику і компенсує втрати на тертя.

коливання
На початку 30-х років минулого сторіччя весь авіаційний світ

був шокований рядом авіакатастроф, які відбулися на швидкостях, що для того часу раніше були недосяжними.
Досить швидко з'ясувалося, що руйнування відбуваються через вібрацію, яка виникає від дії повітряного потоку. Цей особливий вид автоколивань було названо флатером (англ. flutter = вібрація).
Явище флатера пов'язано із взаємним розташуванням центру ваги і центру жорсткості крила та іншими характеристиками літака.
Саме флатер довгий час перешкоджав подоланню надзвукового бар'єру — сильна вібрація, перевантаження і страх змушували льотчиків-дослідників відступати.
Значний вклад в розв'язання задачі автоколивань авіаційних конструкцій вніс радянський вчений Мстислав Всеволодович Келдиш (академік АН СРСР).

коливання

коливання
12.4.2 Власні гармонічні коливання пружної системи з одним ступенем

вільності

Розглянемо пружну систему, яка представлена на рисунку. Тертям нехтуємо.

Звідси

або

Використаємо принцип Д’Аламбера для запису диференціального рівняння коливань вантажу.

Отримане рівняння зветься рівнянням власних коливань, а  - колова частота власних коливань.

коливання

коливання
Розглянемо вимушені коливання тіла на пружині, що зображено на

рисунку.
l – початкова довжина пружини, с – жорсткість пружини.

коливання

коливання

коливання
Амплітуда вимушених коливань Ax і початкова фаза 0 залежать

від співвідношення частот ω і  амплітуди Ay зовнішньої сили.
На низьких частотах, коли  << ω, рух тіла масою m, яке закріплено до правого кінця пружини, повторює рух лівого кінця пружини. При цьому x(t) = y(t), і пружина залишається практично недеформованою. Зовнішня сила, яка прикладена до лівого кінця пружини, роботи не виконує, через те, що модуль цієї сили при  << ω прямує до нуля.
Якщо частота  зовнішньої сили наближається до власної частоти ω, виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це явище зветься резонансом.

коливання

коливання
В реальних умовах амплітуда вимушених коливань визначається умовою: робота

зовнішньої сили за період коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя, тим більша амплітуда вимушених коливань під час резонансу.
Явище резонансу може стати причиною руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань співпадуть з частотою періодично діючої сили, яка виникає, наприклад, через обертання незбалансованого двигуна.
Відомий випадок, коли під час резонансу кут закручування валу зріс у шість разів у порівнянні з тим кутом, який був до появи резонансу, — це був випадок руйнування колінчатих валів двигунів «Цеппеліна» під час першого його переліту через Атлантичний океан.

УВАГУ!