Определение силовых факторов с помощью линий влияния

МЕХАНИКА.
Часть I

С
ВГ
ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ

3

влияния
значения силового фактора
от заданной нагрузки называется
загружением линии влияния.

F* yF

M* tg αM
F = M / dx
yF + dy
dy

M

k

k

dx

αM

SM = SFl + SFr =
= ( –F )* yF + F* ( yF + dy ) =
= F* dy = ( M / dx )* dy =
= M* dy / dx = M* tg αM

q (x)

dx
dSq = dF* y (x) =
= q

(x) * y (x) * dx ;

x

q (x)

x

dF = q (x) * dx

а

ωS

При q (x) = const = q:

3. Распределённая нагрузка q

0
yF > 0
Л.В. S
S = Σ F* yF + Σ

M* tg αM + Σ q* ωS

q > 0

M > 0

ωS > 0

αM > 0

эквивалентное преобразование – замена группы сил
другой группой, имеющей такие

же главный вектор и главный момент
(такую же равнодействующую), как и исходная.

Правило: загружение прямолинейного участка линии влияния
любыми статически эквивалентными нагрузками
даёт один и тот же результат.

F2

y2

a

c

R

yR

эквивалентное преобразование – замена группы сил
другой группой, имеющей такие

же главный вектор и главный момент
(такую же равнодействующую), как и исходная.

Правило: загружение прямолинейного участка линии влияния
любыми статически эквивалентными нагрузками
даёт один и тот же результат.

F2

y2

a

c

R

yR

Л.В. S

F

F

F

F

F

q

q

b

b

d

d

F

li

Ri

Rn

R1

R2

yR1

yR2

yRi

yRn

R1 = F

R2 = 2(F + qb)

Ri = qli

Rn = 3F

р и м е р







F1
F2
1
d1
a
b
l
c


M1(x)
M1,max
M1,min
?




d1
d1
d1
d1



M1,min


M1(x)

ab / l

F2ab / l

F1ab /

l

xmin = 0

xmax = l + c

1
S(x)
Случай 2
> 0 при x = x0 – dx

0 при x = x0 + dx

> 0 при x = x0 – dx
= 0 при x0< x < x*
< 0 при x = x* + dx

Условие минимума:

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

= F* yF,min
ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

Sq,max = q* ωS,max
Sq,min = q* ωS,min

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ

НАГРУЗКАМИ

с произвольными разрывами
q

Sq,max = q* ωS,max =

q* Σ ωS+

Sq,min = q* ωS,min = q* Σ ωS–

q

q

Л.В. S

q

q

q

q

q

Загружение
на Smax

Загружение
на Smin

грузов


Л.В. S




F1
F2
…
Fn
a1
a2 …
x
x
S(x) = Σ Fi * yFi

(x)

Smax

Smin

Полигональная
Л.В. S

грузов
Полигональная
Л.В. S
F1
F2
…
Fn
a1
a2

…

x

S(x) = Σ Fi * yFi

…

Fi

yF1

yF2

yFi

yFn

x

F1

F2

…

Fn

a1

a2 …

Fi

…

dx

dx

dyFi

yFi + dyFi

dyFi

dx

αi

S(x) + dS(x) = Σ [Fi * ( yFi + d yFi )]

грузов

dyFi

dx


αi
Σ Fi * dyFi
dyFi = dx * tg

αi

dS(x) = dx * Σ (Fi* tg αi )

dS(x) = Σ [Fi * ( yFi + d yFi )] –

Σ Fi * yFi =

грузов
Полигональная
Л.В. S
F1
F2
…
Fn
xcr


…
Fcr
Груз, при

расположении которого над вершиной
линии влияния фактора S значение S от действия
системы параллельных сосредоточенных грузов
становится экстремальным ( Smax или Smin ),
называется критическим грузом.

грузов
Частный случай полигональной Л.В. S – треугольная
…
a
x

b
l
ув


αl
αr


F1
F2
Fn
…
F1
F2
…
Fn
Fcr
…

ΣFl

ΣFr
tg αl =

yв /a

tg αr = – yв / b

xcr

грузов
F1
F2
…
Fn
a
xcr

Fcr
…
b
l


ΣFl
ΣFr
ув
αr
αl




tg αl = yв /a
tg αr = – yв

/ b

dx

При x = xcr – dx :
dS(x) = (ΣFl + Fcr ) * tg αl +
+ ΣFr * tg αr =

= yв * [(ΣFl + Fcr ) /a –
– ΣFr / b],

dS(x) > 0

dx

грузов
F1
F2
…
Fn
a
xcr

Fcr
…
b
l


ΣFl
ΣFr
ув
αr
αl




tg αl = yв /a
tg αr = – yв

/ b

dx

При x = xcr + dx :
dS(x) = ΣFl * tg αl +
+ ( Fcr + ΣFr ) * tg αr =

= yв * [ΣFl /a –
– (Fcr + ΣFr )/ b],

dS(x) < 0

dx

грузов


Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…

Графическая

интерпретация критерия

Fn

F1

F2

Fn

Fcr

Параллельно

грузов


Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…

Графическая

интерпретация критерия

Fn

F1

F2

Fn

Fcr

Параллельно

грузов


Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…

Критерий

можно применить:

Fn

F1

F2

Fn

Fcr

Параллельно

F2

F1

Fn

Критерий
неприменим:

и я н и я

Задача: определить силовые факторы S1 ,

S2 ,…, Si ,…, Sn от нагрузки,
состоящей из сосредоточенных сил F1 , F2 ,…, Fj ,…, Fm .

A

B

F1

F2

Fj

Fm

1

2

Например, S1= RA , S2 = Q1 , Si = M2 , Sn = MB

Л.В. Si

y1i

y2i

yji

ymi

Определение Si с помощью линии влияния:

В матричной форме: Si = [ y1i y2i …yji …ymi ]*

λSi
матрица (строка) влияния
силового фактора Si

F
матрица
( вектор )
нагрузок

Si = λSi*F

Л.В. S2

y12

y22

ym2

Все искомые силовые факторы:

S = ΛS* F

=

ΛS
( n x m )

ΛS

матрица влияния
силовых факторов S

Матрица влияния силовых факторов – это матрица, строки которой состоят
из ординат линий влияния искомых силовых факторов
в точках приложения сосредоточенных нагрузок.

yj2

( M2 )

( Q1 )

и я н и я

Общий случай загружения
( сосредоточенные и

распределённые, силовые и моментные нагрузки )

A

B

F1

F2

Fj

Fm

q

A

B

F1y

F2y

Fjy

Fmx

qy

x

y

qx

Fjx

F2x

M

M

Разложение нагрузки
на составляющие
в общей системе координат

Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения )

Расчётные
точки
загружения:

1. Границы дисков (узлы)

2. Места сечений с искомыми
внутренними усилиями

3. Любые точки

необходимые;
для СОС – и достаточные

– дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой
точности при нелинейных Л.В. в СНС )

Способ приведения
заданных нагрузок
к расчётным точкам –
статически эквивалентное
преобразование в пределах расчётного участка

j

j + 1

j

j + 1

j

Rj

aj

bj

Fj, j

Fj, j + 1

Rj = Σ yF(j);

aj = Σ mj,F(j)/Rj

Равнодействующая:

эквивалентные
расчётные
узловые
нагрузки

( в случае линейной Л.В.
результат – точный )

и я н и я

Общий случай загружения
( сосредоточенные и

распределённые, силовые и моментные нагрузки )

A

B

F1y

F2y

Fjy

Fmx

qy

x

y

qx

Fjx

F2x

M

Разложение нагрузки
на составляющие
в общей системе координат

Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения )

Расчётные
точки
загружения:

1. Границы дисков (узлы)

2. Места сечений с искомыми
внутренними усилиями

3. Любые точки

необходимые;
для СОС – и достаточные

– дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой
точности при нелинейных Л.В. в СНС )

Способ приведения
заданных нагрузок
к расчётным точкам –
статически эквивалентное
преобразование в пределах расчётного участка

j

j + 1

j

j + 1

j

Rj

aj

bj

Fj, j

Fj, j + 1

Rj = Σ yF(j);

aj = Σ mj,F(j)/Rj

Равнодействующая:

эквивалентные
расчётные
узловые
нагрузки

S = ΛS* F

ΛS = [ ΛSx ΛSy ΛSz ]

От Fx= 1

От Fy= 1

От Fz= 1

В общем случае пространственной системы

( в случае линейной Л.В.
результат – точный )

и я н и я

Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
Расчётные

точки загружения и участки:

Rq= 60

П р и м е р

1

2

А

2 м

2

2

2

2

3

3

4

2

q = 10 кН/м

q = 10 кН/м

М = 20 кН*м

F = 60 кН

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

5

4

6

q

F = 60

30

30

40

20

q

R2= 20

16

4

q

R4= 20

10

10

q

M

Rq= 40

20

20

5

5

F1,1= 50

F2,1= 70

F2,2= 16

F3,2= 4

F3,3= 0

F4,3= 0

F7,6= 0

F7,5= 25

F6,5= 15

F6,4= 10

F5,4= 10

F8,6= 0

F1= 50

F2= 86

F3= 4

F5= 10

F4= 0

F6= 25

F7= 25

F8= 0

Вектор
расчётных
узловых
нагрузок:

1

2

3

4

5

6

7

8

Расчётные
точки
загружения

и я н и я

Формирование матрицы влияния искомых силовых факторов
Расчётные

точки загружения и участки:

П р и м е р

1

2

А

2 м

2

2

2

2

3

3

4

2

q = 10 кН/м

q = 10 кН/м

М = 20 кН*м

F = 60 кН

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

5

4

6

1

2

3

4

5

6

7

8

Л.В. VA

Л.В. M1

Л.В. Q2

1

1

1,5

1,333

1

0,667

0,333

0,167

0,5

0,5

0,5

1

0,333

0,333

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Расчётные точки загружения:

( расчётным усилием ) называется
его экстремальное ( максимальное Smax

или минимальное Smin ) значение
от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий,
каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно
по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении.

q

p

F1

F2

F3

x

xl

xr

Постоянная (const) нагрузка

Временные (temp) нагрузки

Sconst

Stemp

Stemp= Σ Stemp, i
( = Stemp( x, xl , xr ) )

График изменения расчётных усилий
Smax и Smin по длине элементов
( или их объёму – для нестержневых элементов ) называется
объемлющей эпюрой силового фактора S.

Объемлющая эпюра S ( эпюра Sрасч )
имеет две ветви – Smax и Smin ;
которые являются границами области возможных значений силового фактора S
( значений S при произвольных положениях
временных нагрузок ):

Smax

Smin

( расчётным усилием ) называется
его экстремальное ( максимальное Smax

или минимальное Smin ) значение
от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий,
каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно
по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении.

Mmax

Mmin

А л г о р и т м
определения расчётных усилий
и построения объемлющей эпюры

П р и м е р - иллюстрация

F1

F2

F

q

p

const

temp

1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m
в которых будут определяться расчётные
усилия ( расчётные сечения ).

2. В назначенных сечениях определяются
усилия от постоянной нагрузки Sj,const
( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра Sconst .

1

2

3 …

… j …

… m

Эпюра Mconst

Mj, const

M2, const

Построение объемлющей эпюры М

3. Строятся линии влияния усилий в назна-
ченных сечениях – Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ).

Л.В. Mj

4. Каждая Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ) загружает-
ся временными нагрузками на max и min
усилия. Определяются Sj, temp, max и Sj, temp, min .

F1

F2

F1

F2

p

p

p

5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m )
вычисляется пара расчётных значений
Sj, max и S j, min .

6. По найденным парам расчётных усилий во
всех сечениях строится объемлющая эпюра S .

Эпюра Mрасч

Mj, temp, max

Mj, temp, min

Mj, max

Mj, min

и т м
определения расчётных усилий
и построения объемлющей эпюры
П р

и м е р - иллюстрация

F1

F2

F

q

p

const

temp

1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m
в которых будут определяться расчётные
усилия ( расчётные сечения ).

2. В назначенных сечениях определяются
усилия от постоянной нагрузки Sj,const
( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра Sconst .

1

2

3 …

… j …

… m

Эпюра Mconst

Mj, const

M2, const

Построение объемлющей эпюры М

3. Строятся линии влияния усилий в назна-
ченных сечениях – Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ).

Л.В. Mj

4. Каждая Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ) загружает-
ся временными нагрузками на max и min
усилия. Определяются Sj, temp, max и Sj, temp, min .

F1

F2

F1

F2

p

p

p

5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m )
вычисляется пара расчётных значений
Sj, max и S j, min .

6. По найденным парам расчётных усилий во
всех сечениях строится объемлющая эпюра S .

Эпюра Mрасч

Mj, temp, max

Mj, temp, min

Mj, max

Mj, min

З а м е ч а н и е: для выполнения практических расчётов конструкций на прочность
при сложном сопротивлении, кроме расчётных усилий (в первую очередь,
изгибающих моментов), необходимы также возникающие одновременно с ними
( при той же комбинации воздействий ) другие силовые факторы –
поперечные и продольные силы, а в пространственных системах также крутящие моменты:

Мрасч

Qсоотв , Nсоотв

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 32» )
1. Какая операция называется загружением линии влияния? ( 2 )
2. По каким формулам с помощью линии влияния вычисляется силовой фактор S
а) от сосредоточенной нагрузки F? ( 3 ) б) от сосредоточенного момента М? ( 4 )
в) от распределённой нагрузки q(x)? ( 5 ) г) от равномерно распределённой нагрузки? ( 5 )
3. Правила знаков, используемые в операции загружения линии влияния. ( 6 )
4. Что такое статически эквивалентное преобразование нагрузок ( 7 )
и как его можно использовать при загружении линий влияния? ( 8 )
5. Условие экстремума силового фактора S при действии подвижной нагрузки. ( 9, 10 )
6. Как с помощью линии влияния S определяется функция S(x) от действия подвижной
системы сосредоточенных паралельных грузов? ( системы сосредоточенных паралельных грузов? ( 11 системы сосредоточенных паралельных грузов? ( 11 )
7. Как записываются условия максимума и минимума S в случае кусочно-линейной
линии влияния? ( 12 )
8. Как определяются опасные положения подвижных нагрузок и соответствующие им экстремальные значения фактора S в случаях:
а) одиночной сосредоточенной подвижной силы F? ( 13 )
б) подвижной полосы равномерно распределённой нагрузки q? ( 14 )
9. Как располагается равномерно распределённая нагрузка q с произвольным разрывами при загружениях на максимум и минимум силового фактора S? ( 15 )
10. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил в случае полигональной линии влияния. ( 18 )
11. Что такое критический груз? ( 19 )
12. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил
в случае треугольной линии влияния: а) аналитическое выражение критерия – ? ( 20–23 )
б) графическая интерпретация критерия – ? ( 23, 24 )
____________________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 33» )
13. Каковы ограничения в использовании критерия определения критического груза
при треугольной линии влияния? ( 25 )
14. По какой матричной формуле вычисляется совокупность ( вектор )
искомых силовых факторов S? ( 26 )
15. Что такое матрица влияния силовых факторов? ( 27 )
Как она формируется ( смысл строк матрицы влияния )? ( 26 )
16. Какие величины включаются в вектор F при нагрузках,
отличных от сосредоточенных сил? ( 27 )
17. По каким правилам назначаются расчётные точки загружения? ( 27 )
18. Как выполняется приведение заданных произвольных нагрузок
к расчётным точкам загружения? ( 27 )
19. Если нагрузки на рассчитываемую систему изменяются, то нужно ли
вносить изменения в матрицу влияния силовых факторов? ( 27 )
20. Какова структура матрицы влияния силовых факторов и вектора расчётных узловых
нагрузок в случаях двух- и трёхмерных систем? ( 28 )
21. Что называется расчётными усилиями и как они вычисляются? ( 31 )
22. Какие усилия называются соответствующими расчётным усилиям? ( 33 )
23. Что такое объемлющая эпюра некоторого силового фактора? ( 31 )
24. По какому алгоритму осуществляется построение объемлющей эпюры? ( 32 )
25. Как по объемлющей эпюре определить область возможных значений
силового фактора S? ( 31 )
___________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»