Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла. Математика

Содержание

1. Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла. Математика
2. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 5. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения.
3. ЛИТЕРАТУРА[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.
4. Вычисление объемов тел вращенияТеорема. Пусть функция
5. Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,x i-1,xi,…,xn=b
6. На каждом из частичных отрезков [xi-1
7. Найдем объем соответствующего ступенчатого
8. Таким образом, что и требовалось доказать
9. Пример. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг
10. Фигура, ограниченная данными линиями, является криволинейной трапецией, поэтому получим
11. Пример. Найти объем тела, полученного при вращении
12. Площадь поверхности вращения Пусть дана поверхность, образованная
13. Пример. Найти площадь поверхности шара радиуса R.Решение.
14. Площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями можно вычислить по формуле
15. Площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярной
16. Контрольная работа № 3Найти интегралы, ,
17. Скачать презентанцию

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 5. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения.

Главная
Разное
Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла. Математика

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла.

Математика ППИ.
ЛЕКЦИЯ № 14.

Слайд 2 ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ
5. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения.

Слайд 3ЛИТЕРАТУРА
[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва:

Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс

высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 229-250;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей математики IV. Челябинск: Челябинский военный авиационный краснознамённый институт штурманов, 2002 г.с. 80-94.

ЛИТЕРАТУРА[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375;[3] Б.П. Демидович, В.А.

Слайд 4 Вычисление объемов тел вращения
Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна и

неотрицательна на отрезке [a;b]. Тогда тело, образованное вращением вокруг оси

Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), имеет объем V, который может быть найден по формуле:

Вычисление объемов тел вращенияТеорема. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a;b]. Тогда тело, образованное

Слайд 5Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,x i-1,xi,…,xn=b на n частей;

причем xi- x i-1 = Δxi , обозначим λ=max

Δxi .

Слайд 6 На каждом из частичных отрезков [xi-1 ; xi] выберем

произвольно точку сi ; а также на каждом частичном отрезке

[xi-1 ; xi] построим прямоугольник, который при вращении вокруг оси Ox опишет цилиндр с высотой Δx i и радиусом основания f(ci), объем которого
ΔVi= π∙f 2(сi)∙Δxi.

На каждом из частичных отрезков [xi-1 ; xi] выберем произвольно точку сi ; а также на

Слайд 7 Найдем объем соответствующего ступенчатого тела, составив интегральную

сумму

Для непрерывной функции f(x) предел интегральной суммы существует при λ→0 (n→∞) и равен объему рассматриваемого тела вращения

Слайд 8Таким образом,

что и требовалось доказать

Слайд 9Пример.
Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,

ограниченной линиями y=ex, x=1 и осями координат .
Решение.

Пример. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=ex, x=1 и осями координат

Слайд 10 Фигура, ограниченная данными линиями, является криволинейной трапецией, поэтому получим

Слайд 11Пример. Найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной

прямой и кривой

, вокруг оси Оу.

Пример. Найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной прямой и

Слайд 12Площадь поверхности вращения
Пусть дана поверхность, образованная вращением дуги

линии y=f(x), a≤x≤b, относительно оси Ox.
Предположим, что на отрезке [a;b]

функция y=f(x) и её производная f´(x) непрерывны и, кроме того,
f(x) ≥0. Тогда площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

Площадь поверхности вращения Пусть дана поверхность, образованная вращением дуги линии y=f(x), a≤x≤b, относительно оси Ox.Предположим, что на

Слайд 13Пример. Найти площадь поверхности шара
радиуса R.
Решение. Можно считать, что

поверхность шара образована вращением полуокружности

, -R≤x≤R, вокруг оси Ox. По формуле находим

Слайд 14 Площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями

можно вычислить по формуле

Слайд 15Площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярной системе координат уравнением

,