Определитель n— го порядка. Решение СЛАУ по формулам Крамера

комбинаторики

отличающиеся порядком расположения элементов.

Пример. Числовые перестановки.

(1,2,3); (2,1,3); (2,3,1) –перестановки

из 3-х элементов;
(1,2,3,4,…,n); (2,3,1,…,n) – перестановки из n элементов.
(1,2,3,…,n) – основная перестановка

перестановки («рокировка»).

Пример. Рассмотрим перестановки из 3-х элементов:
а) (1,2,3);

б) (2,1,3); в) (1,3,2) г) (3,1,2)
При переходе
из а) в б) 1 транспозиция,
из а) в г) 2 транспозиции.

сумме всевозможных произведений элементов матрицы A(n x n), с

учетом числа транспозиций:

где Ni – число транспозиций, переводящих основную перестановку (1,2,..,n)
в перестановку (i1,i2,..,in)

справедливы для определителей любого (n-го) порядка. Свойство 8) можно записать в

виде:

(а) (б)
Разложение определителя: (а) по i-й строке,
(б) по j-му столбцу.
Свойство 9)

строке

СЛАУ
не равен нулю, то СЛАУ имеет единственное решение, вычисляемое

по формулам:

обе части каждого уравнения на алгебраическое дополнение 1-го коэффициента строки

и сложим все уравнения.





Получим:

По свойствам определителя 8-9) имеем:
т.е.
откуда Аналогично

доказываются формулы для xj (j=2,..,n). Док-но.

равны нулю, то СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.
2) Если главный определитель

СЛАУ равен нулю, но имеется побочный определитель, не равный нулю, то СЛАУ не имеет решений.

не равен нулю, то СЛАУ имеет только
тривиальное (нулевое) решение.
Док-во: По теореме Крамера имеем:



Док-но.

Теорема 2. Если однородная СЛАУ имеет нетривиальное (ненулевое) решение, то её определитель равен нулю.
Док-во: (от противного).
Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда по Теореме 1 СЛАУ имеет только нулевое решение. Но по условию, СЛАУ имеет ненулевое решение.
Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и определитель СЛАУ равен нулю.
Док-но.