ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ Введение в теорию оптимизации Москва,

факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова v.v.syss@mail.ru

«…а) степень антропогенной трансформации природных ландшафтов…; б) наличие или отсутствие

антропогенной регуляции; в) социально-экономические функции, выполняемые ландшафтами».
В соответствии с основными видами природопользования среди природно-антропогенных обоснованно выделяются ландшафты: «…целенаправленно созданные, антропогенно регулируемые:
1) сельскохозяйственные, 2) лесохозяйственные,
3) водохозяйственные, 4) городские и другие селитебные,
5)…»

Введение в учение о природно-антропогенных ландшафтах
[Николаев, и др., 2008, с. 7]

решить две взаимосвязанные ландшафтно-экологические задачи планетарного масштаба. Первая состоит в

оптимизации всех существующих природно-антропогенных ландшафтов с целью преобразования их в истинно культурные (ноосферные). Вторая – в сбережении, уходе и восстановлении естественных природных комплексов, наиболее надежно гарантирующих относительную стабильность природной среды за счет гомеостазиса…
Важнейшим инструментом проектирования культурного ландшафта признано ландшафтное планирование. Его суть в научном обеспечении оптимальной природно-хозяйственной организации ландшафтного пространства на принципах геоэкологической адаптивности»
[Николаев, 2013, с. 284].

Дж. К. Джонс
Выражения, связывающее цель со средствами ее

достижения: критерий функционирования, критерий или показатель
эффективности, целевая или критериальная функция, функция цели

I. ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИРОДНО-АНТРОПОГЕННЫХ ЛАНДШАФТОВ

Планирование, проектирование и управление устойчивым природопользованием и задачи условной оптимизации предполагают наличие одинаковых предпосылок: имеется цель, которую нужно достичь, учитывая всевозможные ограничения.
Мощный аппарат решения этих проблем имеет теория оптимизации (оптимального управления).

между начальными н и конечными значениями к. Целевая функция —

зависимость громкости F от угла . Путем измерений получим значения целевой функции F( ) и начертим ее график. Из графика видно, что наибольшему значению целевой функции соответствует оптимальный угол (опт). Математическое выражение (или алгоритм вычисления) целевой функции F( ), график которой хорошо совпадает с экспериментальной кривой, и называют математической моделью.

Логический пример оптимизация:
настраивая радиоприемник, мы добиваемся максимальной громкости некоторой радиостанции:

Оптимизация - нахождение max (min) целевой функции

множество всех вариантов Х, а его элементы – x, то

сопоставив каждому варианту x из множества Х (x Х) число — критерий оптимальности, получим функцию F(x), определенную в области Х. Эта функцию, показывающая «качество» выбираемых вариантов, целевая функция, а область Х — допустимая область

Выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию F(X)
В) Установить возможные

ограничения, которые должны накладываться на переменные
Г) Выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин

интервала неопределенности
Метод «золотого сечения» и др.
2). Методы с использованием производных
Дважды

дифференцируемая функция f(x) достигает минимума
при f '(x)=0, если f ''(x)>0

Метод Ньютона-Рафсона


Критерий прекращения итераций

овражный,
нанесены линии уровня z=F(x,y)
Рельеф функции F(x,y)= x2 + y2
Минимум

функции нескольких переменных

нулевое приближение x0 , y0 , z0 .
1. Фиксируем

значение двух координат y= y0 , z=z0 . Функция f1= F(x,y0,z0) только одной переменной – отыщем ее минимум и обозначим его x1.
т.е. сделали шаг из т. (x0 , y0 , z0) в т. (x1, y0, z0), и значение F(x,y,z) уменьшилось
2. Из новой точки сделаем спуск по оси y, т.е. найдем минимум f2= F(x1, y, z0) → попадем в точку (x1, y1 , z0)
3. Третий шаг – спуск по оси z из т. (x1, y1 , z0) в т. (x1, y1 , z1) – цикл или первая итерация завершена

выпускает х1 единиц продукции вида П1 и x2 единиц вида

П2

основная задача линейного программирования

Найти min

приходим к системе
неравенств
многоугольник решений системы неравенств
Оптимальная точка

Q(5, 3)

Оптимальное решение задачи: x1= 5, x2 = 3.

отправления,
b1, b2, b3 груза на станциях назначения,
сij - стоимость перевозки

единицы груза
xij количество ед. груза, предназначенного к отправке

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

= 10, x12 = 10, Fmin = 300.
Численный пример

транспортной задачи

предъявляемых
к насаждениям требований
и неотрицательности переменных:
сj( ) – запас,

прирост или другая специфическая функция j-ой породы
в возрасте количественной спелости;
xj – доля участия j-ой породы в данных ТУМ xj 0, j = 1,..., n,
apj( ) – норма потребности j-ой породы в p-ом ресурсе;
bp( ) – количество имеющихся p-ых ресурсов;
akj( ) – нормы требуемых от насаждения дополнительных специфических
функций (средообразующих, биоразнообразия, защитных и др);
bk( ) – оценки требований к этим функциям;
 - количество выделов.

Задача рационального распределения пород деревьев
по соответствующим им ТУМ [].

Основная задача линейного программирования

(1)

(2)

[Нестеров, Бредихин, 1970 ]

оптимизации состава древесных пород на дерново-среднеподзолистых почв на покровных суглинках

[Нестеров, Бредихин, 1970]

коэффициентами функционала цели «достижение максимального прироста» из таблиц получена максимальная

продуктивность 19,3 м3/га в год при оптимальном составе древостоя 85% ели и 15% осины.
Решая ту же задачу на максимальный доход получили максимальную валовую продукцию на 77,8 у.е. при наличие состава древостоя 94,5% ели и 5,5% дуба.

Условия ограничения:
1. По удовлетворению

потребностей экономики
в лесной продукции

2. По распределению лимитированных ресурсов

3. По использованию других ресурсов

неотрицательных переменных

где: хks - доля использования s-го варианта в k-м участке;
arks() - объем получения r-го вида лесной продукции в k-м участке при s-м варианте;
br() - потребности экономики в r-м виде лесной продукции;
aiks()- норма затрат i-го ресурса на проведение s-го варианта в k-м участке;
Li() - объем i-го вида лимитированных ресурсов;
bik() - объем i-го вида ресурсов в k-м участке;
I - множество всех ресурсов;
I1 - множество лимитированных ресурсов;
R - множество видов лесной продукции;
ar, ai - заданные вероятности соблюдения ограничений по удовлетворению потребностей и наличию ресурсов;
cks() - чистый доход от проведения s-го варианта в k-м участке.

Dtks() - доход от реализации s-го варианта в k-м участке в t году; Ztks() - затраты на проведение s-го варианта в k-м участке в t-м году;
E - норма эффективности вложений; u - год, к которому приводится
значение показателя; t - рассматриваемый год; Tks - время, в течение которого будет получен эффект от проведения s-го варианта в k-м участке.

Оптимизация лесопользования [В.Г. Нестеров, М.А. Бредихин, 1971].Основная задача линейного программирования в вероятностной постановке

Cks(ω) - чистый доход с дисконтированием затрат с помощью нормы эффективности вложений:

эволюционирует во времени) в каждый момент времени пребывает в одном

из некоторого числа возможных состояний.
Смена состояний системы с течением времени и составляет её развитие или функционирование.
Предполагается, что состояние динамической системы в каждый момент времени может быть однозначно охарактеризовано определенным конечным набором n числовых параметров или функций состояния.
Управление – это есть воздействие, способное изменить текущее состояние, а значит и все последующее развитие системы.
Функционированием многих природно-антропогенных систем можно (необходимо) управлять.

2. Задачи оптимального управления природопользованием

поведение (функционирование) данного объекта и
2. Критерий оптимальности (функционал), который

следует максимизировать или минимизировать,
3. Выбор управляющих переменных.
4. Введение ограничений на переменные и граничные условия
5. Формулировка принципа максимума Л.С. Понтрягина. Этот принцип - необходимое условие существования оптимального управления динамическими системами, принимает разный вид в зависимости от задачи. В его формулировке участвуют функции специального вида – гамильтониан и сопряженные переменные. Существует схема применения принципа максимума, в общем случае
его использование требует высокой математической квалификации.
Решением задачи оптимального управления является оптимальный процесс, т.е. оптимальное управление и соответствующая ему оптимальная траектория функционирования системы.

леса на выделенной территории. Доля доходов тратится на рост производства;

темп этого роста уменьшается с уменьшением запаса леса: a–g/R, а – максимальный темп роста производственной мощности при неограниченном запасе леса R=∞, g – некоторая константа зависимости от ресурса. cV - интенсивность потребления леса, которая значительно превосходит естественную скорость лесовосстановления

Если запас R0 достаточно велик, так что

При затрате доли средств, на лесовосстановление, снижается рост производства на величину u. Скорость восстановления леса считаем пропорциональной u с коэффициентом α (эффективность затрат). Если u удастся задать так, что запас стабилизируется на некотором уровне Rс тогда:

Решение – пунктирные линии

(Решение сплошные линии)

Оптимальное управление лесопользованием. Простейшая модель

–м типом леса; - интенсивность

перехода из j-го состояния в i-е состояние (тип леса), определяется по времени - необходимому для смены типа леса; ui, uNi – интенсивность изменения площади вырубки и потери лесных площадей в результате пожаров; uv, up – потери лесной площади на расширение мощности предприятия и инфраструктуры

Оптимальное управление рубками:

V - мощность лесозаготовительного предприятия, v - выпуск продукции, ui – площадь, вырубаемая в каждом типе леса. стоимости древостоев, вырубаемых с площади u, входят потери прибыли на увеличение мощности предприятия uv и на штрафы за нарушение экологических условий (равновесия)

деревья,
подрост x
p(y,z) – скорость рождения деревьев
γ(z)x - отмирание подроста
qy -

отмирание деревьев

hz –отмирание деревьев

u1(t) - скорость вырубки

u2(t) - скорость вырубки

интенсивность перехода деревьев в средневозрастную группу

интенсивность перехода деревьев в старшую возрастную группу

fx

qy

деревьев среднего и старшего возрастов:
Цель управления - максимизация функционала

J(u) - прибыль, полученную от продажи вырубленного леса:

Постановка задачи оптимального управления лесопользованием [Андреева, Шилова, 2014]

где:

- стоимость реализованной древесины и себестоимость затрат на выращивание и рубки

управления лесопользованием
Строится функция Понтрягина из функций специального вида (гамильтониана H

и сопряженных переменных pi) и функция переключения

Пусть

локально-оптимальный процесс

сформулированной задачи, тогда оптимальное управление определяется условием:

Сопряженные функции pk ,k=1,2,3 являются решением системы дифференциальных уравнений: