Основные понятия математической статистики

методах регистрации, систематизации и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в

результате наблюдения массовых случайных явлений.

Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками, которые являются наиболее важными (типичными) для характеристики этих объектов.
Серия измерений какого либо признака совокупности – это совокупность значений случайной величины.

Объём совокупности N –это число членов совокупности.

характеристику или признак. Это все возможные значения случайной величины.

Выборочная

совокупность (выборка) – это отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности.
Из одной генеральной совокупности можно отбирать сколь угодно много выборок, главное, чтобы выборка была репрезентативной (представительной), а для этого элементы выборки должны отбираться случайным образом.

Варианта – это числовое значение изучаемого признака( отдельные значения случайной величины).

случайной величины по имеющимся статистическим данным ( по выборке –

закон распределения для всей генеральной совокупности).

2. Определение неизвестных параметров распределения ( по выборке оценить параметры генеральной совокупности).

3. Задача проверки правдоподобия выдвигаемых статистических гипотез.

распределения случайной величины, нужно провести серию измерений или подсчётов для

интересующей нас случайной величины (признака).
В результате получаем статистический ряд – это совокупность числовых данных или выборка объёмом n:
Затем производят упорядочивание членов выборки – эта операция называется ранжирование.
Ранжирование -- это расположение всех имеющихся вариант по возрастанию. Получаем ранжированный статистический ряд.

90, 110, 65, 80, 90, 60, 70, 80, 70, 80
Ранжированный ряд имеет вид: 60, 65, 70, 70, 80, 80, 80, 90, 90, 110.
Колебания изучаемого признака называются варьирование. В нашем примере варьирование - это изменение частоты пульса.

распределение) -- набор пар значение – частота, с которой это

значение встретилось в выборке.
Если случайная величина изменяется дискретно, то составляем дискретный вариационный ряд.

пар вид интервал – частота.
Для построения интервального вариационного ряда выборку

разбивают на интервалы. Есть несколько рекомендаций по вычислению числа интервалов:
k=log2n+1 (формула Стерджесса), k=√n и др , подробнее см.
http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Z_lab_8.htm
Длина интервала ΔX рассчитывается по формуле:

1,5 кг, max вес 5 кг.

Число интервалов берём к=7, следовательно:
Определяем границы интервалов, подсчитываем число новорожденных, вес которых попадает в каждый интервал и составляем таблицу интервальный вариационный ряд

объёма выборки (n→∞), относительные частоты стремятся к вероятностям соответствующих значений

с.в., то есть к закону распределения.

(статистики)
- среднее арифметическое
- дисперсия
-стандартное отклонение (среднее

квадратическое)

Статистические характеристики совокупности

свободы
Sn-стандартное отклонение

сами будут являться значениями случайной величины
Все эти значения

имеют отклонения (рассеивание) от истинного значения М[X].
Это отклонение называется ошибка среднего арифметического, она в n раз меньше отклонения каждого xi от для данной выборки объёмом n

Ошибка среднего арифметического

М[X] генеральной совокупности.

Чем больше объём выборки n, тем ближе среднее арифметическое к М[X] генеральной совокупности ( т.е., ошибка меньше, чем больше n). Этот вывод получил название Закон больших чисел.

что практически невозможно. По выборке из этой совокупности мы находим

лишь их точечные оценки и , но насколько их значения близки истинным М[X] и D[X]? Например, как велика разность
Поэтому наряду с точечными оценками, применяют интервальные оценки параметров генеральной совокупности по выборке.
То есть мы хотим найти интервал ΔX, такой что:

или

?

Доверительный интервал и доверительная вероятность

соотношения:

зная границы интервала, можно найти вероятность случайной величины

принимать значения из данного интервала.
Но нам требуется решить обратную задачу: определить границы интервала, следовательно, для этого надо заранее задать вероятность, с которой мы этот интервал будем определять. Эту вероятность называют доверительной вероятностью РД, а определённый с её помощью интервал -- доверительным интервалом ΔXд.

можно сказать, что с вероятностью РД он содержит в себе

этот параметр.

Доверительную вероятность обычно берут равной РД=0,95, но в особо ответственных случаях принимают РД=0,99 или даже РД=0,999.
С доверительной вероятностью связан уровень значимости α=1-РД.
Уровень значимости α --это вероятность того, что значение исследуемого параметра не попадёт в доверительный интервал.

нормальному закону распределения, следовательно, задав доверительную вероятность можно определить доверительный

интервал:

Например, при РД=0,95

отклонение для случайной величины

Но для малых выборок (n<30) распределение может значительно отличаться от нормального.

В 1908 г английский математик и химик Уильям Госсет под псевдонимом Стьюдент предложил распределение случайной величины для малых выборок.

Где Вn -- параметр , зависит от n.
По мере увеличения

объёма выборок n, распределение Стьюдента довольно быстро приближается к нормальному распределению Гаусса и при n˃30 практически не отличается от него.

Распределение Стьюдента

для М[X] с заданной доверительной вероятностью РД:

коэффициент Стьюдента, находим в таблице для заданной РД и известного n.
Таким образом, определив доверительный интервал, можно записать:

результаты (в мг/л):110, 112, 115, 113, 114. Найти среднее значение,

стандартное отклонение и доверительный интервал для Рд=0.95.

интервал (случайную ошибку).
для заданной доверительной вероятности, например,





4.Найти

систематическую ошибку.
а). если указан класс точности прибора:

Алгоритм обработки результатов прямых измерений

или термометр)
5. Вычислить общую ошибку:

Эту ошибку называют еще

абсолютной ошибкой.

6. Записать окончательный результат:

7. Кроме абсолютной ошибки желательно также найти коэффициент вариации (или относительную ошибку, выраженную в процентах):

где Х шкалы – это предел шкалы (максимальное значение на шкале)

случайной величины.
3.Основные понятия математической статистики.
4.Схема предварительной обработки экспериментальных данных.
5.Статистические характеристики

совокупности.
6.Ошибка среднего арифметического.
7.Доверительный интервал и доверительная вероятность.
8.Распределение Стьюдента.