Основы финансовых вычислений сложные проценты

служила базой для их начисления, называют капитализацией процентов, а способ

вычисления процентных платежей по сложным процентам – вычислением "процента на процент".

один раз в год. P − первоначальная сумма долга,
i −

сложная процентная ставка (годовая),
n − число периодов (лет)
В конце первого года сумма долга с присоединенными процентами составит: P + Pi = P (1+i); к концу второго года: P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)2
…
к концу n-го года первоначальная сумма достигнет величины
S = P(1+i)n,
S – наращенная сумма, Р – первоначальная сумма,
i – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды, выраженный в годах.

при ставке сложных процентов, равной 20% годовых. Определить величину процентного

платежа и сумму накопленного долга.
Решение. По формуле находим: S = P(1+i)n = 700·(1+ 0,2)4 = 1451,52 руб. – наращенная сумма.
Проценты за 4 года: I = S – P = 751,52 руб.
Для тех же данных при начислении простых процентов мы получили S = 1260 руб.

процентов.
j – годовая ставка сложных процентов,
m – число периодов начисления

в году.
Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной.
S=P(1+ j/m)mn
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения!

Номинальная ставка сложных процентов – 20% годовых. Определить сумму накопленного

долга, если начисление процентов производится: (1) раз в году; (2) раз в полугодие; (3) раз в квартал.
Решение.
(1) m = 1; j/m = 0,2; nm = 4.
S=P(1+ j/m)n=700·(1+0,2)4=700·2,0736 = 1451,52руб.
(2) m = 2; j/m = 0,2/2 = 0,1; nm = 4·2 = 8. S=700·(1+0,01)8=700·2,143589=1500,51руб.
(3) m=4; j/m = 0,2/4 = 0,05; nm = 4·4 = 16. S=700·(1+0,05)16=700·2,182875=1528,01руб.

тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке

j/m.
(1+iэ)n=(1+ j/m)nm
(iэ – эффективная, j – номинальная ставки)
Связь между эффективной и номинальной ставками:


При m > 1 iэ > j.

m-разовой капитализации начислении процентов
1 раз в год дает одинаковый

результат.

где N – число (возможно дробное) периодов начисления;
2) Смешанный метод
S=P(1+j/m)а·(1+b·j/m),
(a

– целое число периодов начисления (a=[N]), b – оставшаяся дробная часть (b=N-a));
3) Начисление только за целое число периодов начисления: S=P(1+j/m)а.

m раз в году, получим:

лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется

ставка сложных процентов, равная 15% годовых.
Решение. Дисконтный множитель для данных условий составит 1/(1+0,15)5=0,49718.
Современная величина равна P = 5000·0,49718 = 2485,88 руб.
Дисконт D = 2514,12 руб.

D = S – P = S(1– (1– dсл)n).
При использовании

сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением.

которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной

учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?
Решение. Полученная сумма (современная величина) равна
P = 5000·(1 - 0,15)5=5000·0,4437=2218,53 руб.
Дисконт составил D = 5000 – 2218,53 = 2781,47 руб.
При простой учетной ставке того же размера:
P=5000·(1 - 5·0,15)=1250 руб.;
D= 5000 - 1250=3750 руб.

применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f.

P=S(1-f/m)mn
Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом. Определить сумму,

полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15%.
Решение. f = 0,15; m = 4; mn = 20
Полученная за долг сумма составит
P = 5000·(1-0,15/4)20 = 5000·0,4656= 2328 руб.
D = 2672руб.

(В примере (4) P=2218,53 руб.; D= 2781,47 руб.)

эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований

в году m.
(1-f/m)mn=(1-dсл)n
dсл=1-(1-f/m)m; f=m(1-(1-dсл)1/m)
Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m>1, меньше номинальной ставки (для одинаковых периодов).

например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

(m) имеем:

S=Pen

Формула эквивалентного перехода от одних ставок к другим:
(1+i)n=en,
откуда следует:


= ln(1+i), i=e –1.

Определим современную стоимость платежа из примеров (4 – 5) при

условии, что дисконтирование производится по силе роста 15% (S = 5000 руб., n = 5)
Решение. Современная величина равна
P =5000·е-0,15·5= 5000·0,472366=2361,83 руб.
При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину P=2218,53 руб.

по сложной годовой ставке i:



При наращении по номинальной ставке процентов

j m раз в году:

по постоянной силе роста:

дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d:


При наращении по постоянной

силе роста:

при данной процентной ставке?
а) начисляются простые проценты:


б) начисляются сложные проценты:



При

N=2: