в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина
больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за единицуВиды измерений и погрешностей
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Содержание
- 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
- 2. Виды измерений классифицируются:– по способу получения результата
- 3. При прямых измерениях измеряется непосредственно исследуемая
- 4. Абсолютные измерения – это прямые измерения
- 5. Равноточные измерения проводятся в одинаковых условиях одними
- 6. Избыточные измерения имеют по сравнению с необходимыми
- 7. Снять показания с прибора – не значит
- 8. Под истинным значением измеряемой величины принято считать
- 9. Основные источники ошибок Первый источник заключен в
- 10. Третий источник – сам наблюдатель, который из-за
- 11. Случайная погрешность – это погрешность, которая в
- 12. Случайные погрешности различаются в отдельных измерениях, сделанных
- 13. Систематическая погрешность – это погрешность, вызванная факторами,
- 14. Грубая погрешность или промах вызывается просчетом экспериментатора
- 15. Абсолютная погрешность – это разность между результатом
- 16. Чтобы выявить случайную погрешность измерений,
- 17. Наиболее вероятным значением измеряемой величины
- 18. Абсолютные погрешности
- 19. В качестве оценки неизвестной величины
- 20. Среднюю квадратическую (стандартную) погрешность (СКО) находятся по
- 21. При этом предполагается: 2) при большом числе
- 22. Эти предположения приводят к закону распределения погрешностей,
- 23. Известно, что под кривой распределения в пределах
- 24. Известно, что под кривой распределения в пределах
- 25. Замечание. В ряде случаев экспериментальные данные лучше
- 26. Пусть измеряемая величина Z является
- 27. Если Z является суммой не двух, а
- 28. Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух
- 29. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в
- 30. Пример: пусть X и Y – два
- 31. 2. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического равна
- 32. Пусть измеряемая величина Z является
- 33. Невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины,
- 34. Слайд 34
- 35. Слайд 35
- 36. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в
- 37. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в
- 38. где 2n – количество опытов, образующих полный
- 39. Слайд 39
- 40. Слайд 40
- 41. Если поверхность отклика не может
- 42. где 2n – количество опытов, образующих полный
- 43. Переменные величины здесь j – номер опыта;
- 44. Это план 2-ого порядка после преобразований (*)Эти
- 45. где i ≠ 0 Коэффициенты регрессии при
- 46. где i ≠ 0 Для расчета оценок
- 47. Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет
- 48. Ротабельный план 2-ого порядка Для того,
- 49. При ротатабельном ЦКП для вычисления
- 50. Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют следующий вид где i ≠ k
- 51. Оценки дисперсий в определении коэфф-тов регрессии вычисляют
- 52. Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по формуле С
- 53. Пример. Рассмотреть ротатабельное ЦКП для двух факторов.
- 54. Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим следующие вспомогательные
- 55. Слайд 55
- 56. Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на основании
- 57. Пользуясь таблицей значений критерия Стьюдента, находим для
- 58. Число степеней свободы, связанных с этой оценкой
- 59. Подставляя их в полученное в этом примере
- 60. Планирование активного экспериментаПри планировании экспериментов чаще всего
- 61. Планирование первого порядкаВ качестве факторов выбираются только
- 62. Представления плана эксперимента (на примере эксперимента с
- 63. Свойства матрицы представления эксперимента1. Свойство симметричности –
- 64. Определение коэффициентов b уравнения регрессииПо свойствам матрицы планированияМетодом наименьших квадратов находятся оценки b коэффициентов Получаем
- 65. Планирование второго порядкаПрименяется если описание функции отклика
- 66. Скачать презентанцию
Виды измерений классифицируются:– по способу получения результата (прямые и косвенные);– по методу измерений (абсолютные, относительные и пороговые);– по условиям измерений (равноточные, неравноточные);– по степени достаточности измерений (необходимые, избыточные)
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением какой-либо физической величины называется операция,
Слайд 2Виды измерений классифицируются:
– по способу получения результата (прямые и косвенные);
–
по методу измерений (абсолютные, относительные и пороговые);
– по условиям измерений
(равноточные, неравноточные);– по степени достаточности измерений (необходимые, избыточные)
Слайд 3 При прямых измерениях измеряется непосредственно исследуемая величина
При косвенных
измерениях исследуемая величина измеряется как функция по результатам измерения других
величин Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности – по массе и объему
Слайд 4 Абсолютные измерения – это прямые измерения в единицах измеряемой
величины
Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой величины к величине
играющей роль единицы или к величине, принимаемой за исходную При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске
(по принципу "да/нет")
Слайд 5Равноточные измерения проводятся в одинаковых условиях одними и теми же
измерительными приборами и с одинаковой степенью тщательности.
При этом в
ряду измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям
Слайд 6Избыточные измерения имеют по сравнению с необходимыми большее число измерений
либо большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают
избыточную информациюНадежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений
Под точностью измерений понимают степень соответствия результата измерения действительному значению измеряемой величины
Слайд 7Снять показания с прибора – не значит только измерить. Необходимо
еще оценить ошибки (погрешности) измерений
Погрешность измерения – это отклонение
результата измерения от истинного значения измеряемой величины 
Слайд 8Под истинным значением измеряемой величины принято считать
– среднюю арифметическую
величину ряда измерений;
– известное эталонное значение;
– величину, полученную в
результате более точных (не менее чем на порядок) измерений 
Слайд 9Основные источники ошибок
Первый источник заключен в датчике, который неправильно
реагирует на измеряемую величину. Например, если тензосопротивление плохо наклеено на
упругий элемент, то деформация его решетки не будет соответствовать деформации упругого элементаВторой источник – измерительное устройство, в котором возможны погрешности из-за неправильного функционирования его механических или электрических элементов
Слайд 10Третий источник – сам наблюдатель, который из-за неопытности или усталости
неправильно считывает показания прибора
Ошибки могут возникнуть из-за влияния измерительного
устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе контроля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методических погрешностей, допущенных экспериментатором 
Слайд 11Случайная погрешность – это погрешность, которая в отдельных измерениях может
принимать случайные, заранее конкретно неизвестные значения.
Случайные погрешности обязаны своим
происхождением ряду как объективных, так и субъективных факторов, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок: случайных, систематических и грубых
Слайд 12Случайные погрешности различаются в отдельных измерениях, сделанных в одинаковых условиях
одними и теми же измерительными приборами. Исключить случайные погрешности нельзя.
Можно только оценить их значениеСлучайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей
Слайд 13Систематическая погрешность – это погрешность, вызванная факторами, действующими одинаковым образом
при многократном повторении одних и тех же измерений с помощью
одних и тех же измерительных приборов В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, P=(1000±0,1) г
Слайд 14Грубая погрешность или промах вызывается просчетом экспериментатора или неисправностью средств
измерения, или резко изменившимися внешними условиями
Грубые погрешности приводят к
явному искажению результата, поэтому их надо исключить из общего числа измерений 
Слайд 15Абсолютная погрешность – это разность между результатом измерения и его
истинным значением:
где x – результат измерения; a – истинное значение
По форме числового представления погрешности делятся на абсолютные и относительные
Относительная погрешность – это погрешность, приходящаяся на единицу измеренной величины; обычно выражается в процентах
Слайд 16 Чтобы выявить случайную погрешность измерений, необходимо повторить измерение
несколько раз
Случайные погрешности и их распределение
Если
каждое измерение дает заметные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль 
Слайд 17 Наиболее вероятным значением измеряемой величины из серии измерений
является ее среднее значение
Разброс измеряемой величины относительно
ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения 
Слайд 18Абсолютные погрешности
рассматривают как случайные величины
Пусть в эксперименте в результате независимых и равноточных измерений постоянной величины получены значения х1, х2, …, хnНезависимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин , а равноточность – как подчинение величин одному и тому же закону распределения (кроме того измерения сделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности)
Слайд 19 В качестве оценки неизвестной величины по
данным измерений обычно берут среднее арифметическое результатов измерений
Дисперсия отдельных
измерений обычно неизвестна, и для ее оценки используется величина
Слайд 20Среднюю квадратическую (стандартную) погрешность (СКО) находятся по формуле
Величина
для
ее оценки вычисляется величина
называется коэффициентом вариации
Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин 
Слайд 21При этом предполагается:
2) при большом числе наблюдений погрешности равных
значений, но разных знаков встречаются одинаково часто;
1) погрешности измерений
могут принимать непрерывный ряд значений; 3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин погрешностей
Слайд 22Эти предположения приводят к закону распределения погрешностей, описываемому формулой Гаусса:
Форма кривых Гаусса зависит от величин .
Чем
больше , тем больше рассеивание случайной погрешности 
Слайд 23Известно, что под кривой распределения в пределах по оси абсцисс
от до заключено
68,3% всей площади; в пределах от –2 до +2 – 95,5%, в пределах от –3 до +3 – 99,7%
Слайд 24Известно, что под кривой распределения в пределах по оси абсцисс
от до заключено
68,3% всей площади; в пределах от –2 до +2 – 95,5%, в пределах от –3 до +3 – 99,7%
Слайд 25Замечание. В ряде случаев экспериментальные данные лучше описываются другими законами
распределения случайных величин, например, законом Пуассона:
Слайд 26 Пусть измеряемая величина Z является суммой (или разностью)
двух величин X и Y, результаты измерений которых независимы.
Закон
сложения случайных ошибок Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Слайд 27Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых,
то закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя
квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемыхДля нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты
Слайд 28Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых
величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 29Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает
по мере их уменьшения. Выводы:
В первую очередь стоит уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину
Относительная погрешность суммы
Слайд 30Пример: пусть X и Y – два слагаемых, определенных со
средними квадратичными ошибками и
, причем, известно, что в два раза меньше, чем . Тогда ошибка суммы будет
Слайд 312. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического равна средней квадратической погрешности
отдельного результата, деленная на корень квадратный из числа измерений:
–
средняя квадратичная погрешность отдельного измерения 
Слайд 32 Пусть измеряемая величина Z является разностью двух величин
X и Y, результаты измерений которых независимы.
Тогда ее относительная
погрешность 
Слайд 33Невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины, строя измерения так,
что она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух
величин, существенно превышающих искомую
Слайд 36Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает
по мере их уменьшения. Доверительный интервал и доверительная вероятность
Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 37Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает
по мере их уменьшения. Доверительный интервал и доверительная вероятность
Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 38где 2n – количество опытов, образующих полный факторный эксперимент; 2n
– число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих
координаты (±α, 0, 0, ..., 0); (0, ±α, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0)Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:
Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле
Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования
Слайд 41 Если поверхность отклика не может быть описана многочленом
вида
Закон сложения случайных ошибок
для адекватного математического описания используется многочлен более высокой степени, например, отрезок ряда Тейлора, содержащий члены с квадратами переменных. Тогда используют центральное композиционное планирование (ЦКП) эксперимента.
Различают два вида ЦКП:
ортогональное и
ротатабельное
Слайд 42где 2n – количество опытов, образующих полный факторный эксперимент; 2n
– число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих
координаты (±α, 0, 0, ..., 0); (0, ±α, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0)Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:
Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле
Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования
Слайд 43Переменные величины
здесь j – номер опыта; i – номер
фактора, введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и
коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов. Чтобы получить уравнение регрессии в обычной формеУравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде
находят величину
Слайд 44Это план 2-ого порядка после преобразований (*)
Эти преобразования позволяют усреднить
случайные погрешности
Ортогональный план
Ортогональный план 2-ого порядка
Тогда уравнение регрессии
В итоге уравнение
регрессии преобразуется к виду
Слайд 45где i ≠ 0
Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП считают
по следующим формулам
где i ≠ k
Слайд 46где i ≠ 0
Для расчета оценок дисперсий в определении
коэфф-тов регрессии используют следующие выражения
Коэффициент bi, считается значимым, если
. Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера где i ≠ k
Слайд 47 Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет получать более точное
математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что
достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α.Метод ротатабельного центрального композиционного планирования
Это план, у которого точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах)
Точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая, что позволяет наилучшим образом извлечь максимальное количество (несмещенной) информации из плана
Слайд 48Ротабельный план 2-ого порядка
Для того, что бы привести
план 2-ого порядка к ротатабельному, величину плеча выбирают из условия
Слайд 49 При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов регрессии и
соответствующих оценок дисперсий находят следующие константы
где n – число
факторов; N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана На основании результатов эксперимента вычисляют след. суммы
(где i=1,2,…,n),
(где i ≠ k),
(где i=1,…, n)
Слайд 51Оценки дисперсий в определении коэфф-тов регрессии вычисляют по следующим формулам
Коэффициент bi, считается значимым, если
. Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии(где i=1,2,…,n)
(где i≠k)
Слайд 52Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по формуле
С ней связано число
степеней свободы
Проверку адекватности уравнения регрессии осуществляют с помощью критерия Фишера
Слайд 53Пример. Рассмотреть ротатабельное ЦКП для двух факторов. Матрица планирования и
результаты эксперимента приведены в таблице
Матрица планирования и результаты эксперимента
Слайд 54Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим следующие вспомогательные коэффициенты
На основании
результатов опытов вычислим вспомогательные суммы
Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам
Слайд 56Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на основании результатов опытов, проведенных
в центре плана
Эта величина найдена при числе степеней свободы
Оценки дисперсий в определении коэфф. регрессии
Слайд 57Пользуясь таблицей значений критерия Стьюдента, находим
для
и
Для проверки значимости
коэффициентов регрессии рассмотрим соотнош.Все коэффициенты регрессии значимы. Вычисляем оценку дисперсии адекватности
Слайд 58Число степеней свободы, связанных с этой оценкой дисперсии
Расчетное значение
критерия Фишера
Из таблицы значений критерия Фишера соответствующее значение критерия
. Условие выполнено, следовательно, уравнение регрессии адекватно представленным результатам эксперимента
Перейдем в уравнение регрессии от кодированных переменных к физическим
Пусть в нашем примере кодированные переменные X1 и X2 представляют собой температуру и концентрацию, причем координаты центра плана
x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования Δx1= 5°С и Δх2= 1% . Тогда
Слайд 59Подставляя их в полученное в этом примере уравнение регрессии, преобразуем
его к виду
Пользуясь таким уравнением, исследователь избавляется от необходимости переводить
всякий раз условия опыта в кодированные переменные 
Слайд 60Планирование активного эксперимента
При планировании экспериментов чаще всего применяются планы 1-ого
и 2-ого порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за
их большой вычислительной сложностиПланы 1-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения
Планы 2-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов
Слайд 61Планирование первого порядка
В качестве факторов выбираются только контролируемые и управляемые
факторы (переменные)
Обеспечивается возможность независимого изменения каждого из факторов и поддержание
его на определенном уровнеДля каждого фактора указывается интервал (+/-), в пределах которого ставится исследование
Слайд 62Представления плана эксперимента
(на примере эксперимента с 3-мя независимыми факторами)
Табличное (матричное)
представление
Геометрическое представление
Уравнением регрессии
b0, b1, b2, b3 – коэффициенты регрессии
xi*xu –
члены двойного взаимодействияx1*x2*x3 – члены тройного взаимодействия
Слайд 63Свойства матрицы представления эксперимента
1. Свойство симметричности – алгебраическая сумма элементов
вектор-столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному
члену)2. Свойство нормирования – сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов
3. Свойство ортогональности – скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю
i = номер фактора, j – номер опыта
Слайд 64Определение коэффициентов b уравнения регрессии
По свойствам матрицы планирования
Методом наименьших квадратов
находятся оценки b коэффициентов
Получаем
Слайд 65Планирование второго порядка
Применяется если описание функции отклика первым порядком получается
недостаточным (например, процесс носит нелинейный характер)
Каждый фактор варьируется не менее
чем на трех уровнях – полный эксперимент содержит 3^k (k – количество факторов) опытов.План 2-ого порядка при k=2 n=1
Опыты проводятся
В «крайних точках» - как в планировании 1-ого порядка
В «звездных точках» - xi=(+/-)a, xj=0, 1,…,n; 1,…,n; i!=j
В «центре» - xi=0, j=1,2,3,…,n
Уравнение регрессии для эксперимента с 2-мя факторами
