Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Основы теории вероятностей
Содержание
- 1. Основы теории вероятностей
- 2. Математика и не-факторыНеточностьНеполнотаНекорректностьНедоопределенность… Как выразить неопределенность математически?
- 3. Измерение неопределенностиТеория вероятностей (средние века)Теория возможностей, нечеткие
- 4. Усталый путник идет по пустыне, изнемогая от
- 5. Какой выбрать?P=0.8μ=0.8Вода, P=0,8Яд, P=0,2Мутная жидкость из ближайшего пресного водоема
- 6. Теория вероятностей– это раздел математики, который изучает
- 7. Примеры 1/2Какова вероятность того, что на игральной
- 8. Примеры 2/2Какова вероятность того, что на игральной
- 9. Классификация событийДостоверное событие обязательно произойдетНа игральной кости
- 10. Массовые событияСобытия называются массовыми, если они происходят
- 11. Некоторые виды случайных событийРавновозможные события – ни
- 12. Полная группа событийНесколько случайных событий образуют полную
- 13. Противоположные события– это два несовместных события, образующие
- 14. Вероятность случайного событияВероятность Р(А) случайного события A–
- 15. Классическое определение вероятностиВероятность события – это отношение
- 16. Классическое определение вероятности.Если А – случайное событие,
- 17. Пример при бросании кубика возможно 6 исходов
- 18. Классическое определение вероятностиДостоинства: можно вычислить вероятность, не
- 19. Статистическое определение вероятностиПусть А – случайное событие,
- 20. Статистическое определение вероятностиВероятностью события A называется предел,
- 21. Пример Среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков.тем не менее, известно, что
- 22. Теоремы сложения вероятностейСуммой двух событий А+В
- 23. Теорема 1: Вероятность двух несовместных событий равна
- 24. Следствие 1: Сумма вероятностей событий, которые образуют
- 25. Теорема 3: Вероятность суммы двух совместных событий
- 26. Пример Бросаем 2 кубика: А –
- 27. Условная вероятностьСобытие В не зависит от события
- 28. ПримерыВероятность того, что Вы вытянете сломанную спичку
- 29. Произведением двух событий А·В, называется событие, которое
- 30. Теорема 1. Вероятность совместного появления двух независимых
- 31. Пример 1Вероятность события A=«выпадет 2» равна 1/6Вероятность
- 32. n=10 m₁=7 m₂=3
- 33. Пример 3: Парадокс Монти Холла 1/5назван в
- 34. Парадокс Монти Холла 2/5автомобиль равновероятно размещен за
- 35. Парадокс Монти Холла 4/5Неверное рассуждение: ведущий всегда
- 36. Парадокс Монти Холла 4/5Своим первоначальным выбором участник
- 37. Парадокс Монти Холла 5/5Открывая одну из оставшихся
- 38. если событие А происходит только совместно с
- 39. ПримерСобытие А: попадём в домикН₃Н₁Н₂
- 40. Формула БайесаДо проведения опыта мы имели вероятности
- 41. ПримерН₃Н₁Н₂
- 42. Случайная величинаСлучайная величина – это переменная, которая
- 43. Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их возможные значения прописными буквами:Случайная величина
- 44. Закон распределения случайной величиныЛюбое правило, которое устанавливает
- 45. Дискретная случайная величина1).Таблица: Ряд распределения(может быть конечным
- 46. 2).График: многоугольник распределения.Дискретная случайная величина
- 47. 3) Функция распределения F(x0)– это вероятность того,
- 48. 1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если x2≥x12).F(-∞)=0; F(+∞)=1
- 49. Пример
- 50. Непрерывная случайная величина1).Таблица: Интервальный ряд распределения.2).График: Гистограмма.
- 51. 3).Функция распределения.Непрерывная случайная величина
- 52. 4) Функция плотности распределения f(x): (только для непрерывной случайной величины).Непрерывная случайная величина
- 53. Функция плотности распределенияf(x) неотрицательная функция (f(x)≥0).2) Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.
- 54. 3) Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:Функция плотности распределения4). Условие нормировки:
- 55. Числовые характеристики (параметры) случайной величиныМатематическое ожиданиеДисперсия (рассеивание)Средне-квадратическое или стандартное отклонение
- 56. Математическое ожидание.Дискретная случайная величинаНепрерывная случайная величина- числа
- 57. Дисперсия (рассеивание) это математическое ожидание (среднее значение)
- 58. Стандартное отклонениеСредне-квадратическое или стандартное отклонение:
- 59. Контрольные вопросы.Предмет теории вероятностей.Классификация случайных событий.Теоремы сложения
- 60. Скачать презентанцию
Математика и не-факторыНеточностьНеполнотаНекорректностьНедоопределенность… Как выразить неопределенность математически?
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Основы теории вероятностей
Тишков Артем Валерьевич, к.ф.-м.н., доцент
Микрюкова Надежда Николаевна
Семенова Елена
Михайловна
Слайд 2Математика и не-факторы
Неточность
Неполнота
Некорректность
Недоопределенность
…
Как выразить неопределенность математически?
Слайд 3Измерение неопределенности
Теория вероятностей (средние века)
Теория возможностей, нечеткие множества (Лотфи Заде,
1978)
Вероятность – один из нескольких вариантов с разной степенью осуществимости.
Нечеткость
– несколько вариантов могут осуществляются одновременно, но не совсем в чистом виде.
Слайд 4Усталый путник идет по пустыне, изнемогая от жажды. Вдруг он
видит два сосуда. На них написано :
вода питьевая с вероятностью
P=0,80 вода питьевая с мерой нечеткости μ=80%
Какой выбрать?
P=0.8
μ=0.8
Слайд 6Теория вероятностей
– это раздел математики, который изучает закономерности в массовых
случайных событиях.
Элементарное событие – это результат испытания.
Событие – множество элементарных
событий.
Слайд 7Примеры 1/2
Какова вероятность того, что на игральной кости выпадет число
2?
Элементарные события: выпало 1,2,…,6.
Требуется найти вероятность элементарного события
A=«выпало 2»Какова вероятность того, что на игральной кости выпадет число больше трех?
Элементарные события: выпало 1,2,…,6.
Требуется найти вероятность неэлементарного события B, состоящего из трех элементарных «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6».
Слайд 8Примеры 2/2
Какова вероятность того, что на игральной кости дважды выпадет
четное число?
Элементарные события: выпало 1,2,…,6.
Требуется найти вероятность неэлементарного события
B, состоящего из шести элементарных: при первом испытании «выпало 2», «выпало 4», «выпало 6» И при втором испытании «выпало 2», «выпало 4», «выпало 6».Или
Элементарные события: выпало четное число, выпало нечетное число
Требуется найти вероятность неэлементарного события В, состоящего в том, что первый раз выпало четное число и второй раз выпало четное число.
Слайд 9Классификация событий
Достоверное событие обязательно произойдет
На игральной кости выпадет число 1
или 2 или … или 6
Вы получите зачет по математике..
ну или не получитеСтуденчество когда-нибудь закончится
Невозможное событие никогда не произойдет
На игральной кости выпадет число -1
Подброшенная монета зависнет в воздухе
Завтра наступят еще одни зимние каникулы
Случайное событие может произойти или не произойти
На игральной кости выпадет число 3
Выйдя на улицу, девушка встретит крокодила
Слайд 10Массовые события
События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно
большом числе испытаний или многократно повторяются
Например, много людей бросают
игральные кости или один человек бросает кости много раз
Слайд 11Некоторые виды случайных событий
Равновозможные события – ни одно из них
не является более возможным, чем другие
игральная кость: все элементарные
события 1,2,…,6 равновозможныпопасть к тому или иному преподавателю на физике
Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате испытания.
бросаем 2 кости: выпадение числа 1 и выпадение числа 3
посещение лекции и зачет по физике
Несовместные события – появление одного из них исключает появление другого
бросаем кость: выпадение 3 исключает выпадение другого числа
Пропуск занятий и получение зачета по физике
Слайд 12Полная группа событий
Несколько случайных событий образуют полную группу событий, если
они попарно несовместны и
одно из них обязательно произойдет в
результате испытания.- выпадение чисел 1,2,3,4,5,6
выпадение четного или нечетного числа
выпадение 6 или числа, меньшего чем 6
Слайд 13Противоположные события
– это два несовместных события, образующие полную группу событий.
Появление события исключает появление противоположного события.
орёл или решка
попадание
в мишень или промахкот в ящике жив или мёртв
в момент открывания
Слайд 14Вероятность случайного события
Вероятность Р(А) случайного события A– это число, которое
говорит нам о степени возможности наступления события.
Слайд 15Классическое определение вероятности
Вероятность события – это отношение числа благоприятных исходов
m, к общему числу возможных исходов n. Все исходы равновозможны
и несовместны.
Слайд 16Классическое определение вероятности.
Если А – случайное событие, то 0≤P(A) ≤1
Если
А – достоверное событие, то
Если А –
невозможное событие, то 
Слайд 17Пример
при бросании кубика возможно 6 исходов
Событие А: выпадет
четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.
Слайд 18Классическое определение вероятности
Достоинства: можно вычислить вероятность, не производя испытания.
Недостатки:
1)
не всегда известно число исходов опыта.
2) часто невозможно представить
результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.
Слайд 19Статистическое определение вероятности
Пусть А – случайное событие, опыт проводился n
раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда
m – частота наступления события А.относительной частотой события А
Для разных n , могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , то
к некоторому пределу.
Слайд 20Статистическое определение вероятности
Вероятностью события A называется предел, к которому стремится
его относительная частота W(A) при неограниченном увеличении числа испытаний.
Слайд 21Пример
Среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков.
тем
не менее, известно, что
Слайд 22Теоремы сложения вероятностей
Суммой двух событий А+В называется событие, которое
состоит в том, что произойдёт или событие А или событие
В или оба одновременно.Суммой нескольких событий (А₁+А₂+А₃+…..+Аn) называется событие, которое состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из этих событий.
Слайд 23Теорема 1: Вероятность двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий:
Теорема 2: Вероятность суммы
нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:Теоремы сложения вероятностей
Слайд 24Следствие 1: Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна
1:
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Теоремы сложения вероятностей
Слайд 25Теорема 3: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей
этих событий минус вероятность совместного их появления:
Теоремы сложения вероятностей
Слайд 26Пример
Бросаем 2 кубика:
А – выпадет чётное число
на первом кубике
В – выпадет чётное число на втором кубике
(А+В)
– выпадет чётное число на первом или втором кубике или на первом и втором одновременно:
Сумма=ИЛИ
Слайд 27Условная вероятность
Событие В не зависит от события А, если Р(В)
не изменяется от того, что произошло событие А.
Событие В зависит
от события А, если Р(В) изменяется от того, что произошло событие А. Р(В/А) – вероятность события В, при условии, что произошло событие А – это условная вероятность события В.
Слайд 28Примеры
Вероятность того, что Вы вытянете сломанную спичку изменяется в зависимости
от того, что вытянет предыдущий играющий
Вероятность того, что больной выживет
изменяется в зависимости от того оказали ему медицинскую помощь или нетВероятность того, что на кубике второй раз выпадет число 6 не изменяется от того, что на нем выпало первый раз
Слайд 29Произведением двух событий А·В, называется событие, которое состоит в том,
что произойдёт и событие А и событие В.
Произведением нескольких событий
А·В·С·D·… называется событие, которое состоит в том, что произойдут все эти событияТеоремы умножения вероятностей
Произведение = И
Слайд 30Теорема 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению
их вероятностей.
Теорема 2. Вероятность совместного появления двух зависимых событий (В
зависит от А) равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В.Теоремы умножения вероятностей
Слайд 31Пример 1
Вероятность события A=«выпадет 2» равна 1/6
Вероятность события B=«выпадет четное
число» равна ½
Вероятность того, что выпадет и двойка и четное
число не равна 1/12! Она равна 1/6P(A)=1/6, P(B)=1/2, P(B/A)=1, P(A/B)=1/3
P(A) •P(B)=1/12 не равно P(A•B)
P(A) •P(B/A)=1/6•1=1/6 равно P(A•B)
P(B) •P(A/B)=1/2•1/3=1/6 равно P(A•B)
Слайд 32n=10 m₁=7 m₂=3 7 синих шаров,
3 красных шара
Событие А: первый синий шар.
Событие В: второй красный шар.
В
С=А∙В
А
Пример 2
Шар кладут обратно – события А и B не зависимы, P(C) = 7/10 • 3/10
Шар не кладут обратно – события B зависит от А, P(C) = 7/10 • 3/9
Слайд 33Пример 3: Парадокс Монти Холла 1/5
назван в честь ведущего телешоу
«Let’s Make a Deal»
Представьте, что вы стали участником игры, в
которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Слайд 34Парадокс Монти Холла 2/5
автомобиль равновероятно размещен за любой из 3
дверей;
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и
предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
Слайд 35Парадокс Монти Холла 4/5
Неверное рассуждение:
ведущий всегда в итоге убирает
одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя
не открытыми становятся равны 1/2, вне зависимости от первоначального выбора
Слайд 36Парадокс Монти Холла 4/5
Своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и
две другие - B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной
дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3.Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:
P(B) = 2/3*1/2 = 1/3
P(C) = 2/3*1/2 = 1/3
где 1/2 – условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
Слайд 37Парадокс Монти Холла 5/5
Открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную,
ведущий меняет условные вероятности для B и C соответственно на
1 и 0:P(B) = 2/3*1 = 2/3
P(C) = 2/3*0 =0
Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор P(A) на Р(B)- в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3, а не 1/3.
Слайд 38если событие А происходит только совместно с одним из полной
группы событий, называемых гипотезами и обозначаемых
Тогда полная вероятность события
А вычисляется по формуле:Формула полной вероятности
Слайд 40Формула Байеса
До проведения опыта мы имели вероятности гипотез
После проведения опыта:
Пусть событие А произошло (т.е. попали в домик), вероятности гипотез
изменились.
Слайд 42Случайная величина
Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения
в зависимости от случайных обстоятельств.
– функция, действующая из вероятностного пространство
(множество событий) в множество вещественных чисел..Дискретная случайная величина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)
Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала (масса тела, рост студентов), возможно бесконечного.
Слайд 43Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их возможные
значения прописными буквами:
Случайная величина
Слайд 44Закон распределения случайной величины
Любое правило, которое устанавливает связь между возможными
значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения
принимает, называется законом распределения случайной величины.Закон распределения случайной величины можно задавать в виде:
1) Таблицы
2) Графика
3) Функции распределения.
Слайд 45Дискретная случайная величина
1).Таблица: Ряд распределения(может быть конечным или бесконечным)
Так как
события X=x1, X=x2…. попарно несовместны и составляют полную группу событий,
следовательно
Слайд 473) Функция распределения F(x0)– это вероятность того, что случайная величина
X принимает значения меньшие или равные x0.
Дискретная случайная величина
Слайд 50Непрерывная случайная величина
1).Таблица: Интервальный ряд распределения.
2).График: Гистограмма.
Слайд 524) Функция плотности распределения f(x): (только для непрерывной случайной величины).
Непрерывная
случайная величина
Слайд 53Функция плотности распределения
f(x) неотрицательная функция (f(x)≥0).
2) Вероятность попадания в элементарный
интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.
Слайд 543) Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:
Функция плотности распределения
4).
Условие нормировки:
![3) Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:Функция плотности распределения4). Условие нормировки:](/img/thumbs/e1272e66a259417c73a2701840dad457-800x.jpg "Основы теории вероятностей 3) Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:Функция плотности распределения4). Условие нормировки:")
Слайд 55Числовые характеристики (параметры) случайной величины
Математическое ожидание
Дисперсия (рассеивание)
Средне-квадратическое или стандартное отклонение
Слайд 57Дисперсия (рассеивание)
это математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной
величины X от её математического ожидания.
Если X и Y независимые
случайные величины, то Непрерывная случайная величина:
Слайд 59Контрольные вопросы.
Предмет теории вероятностей.
Классификация случайных событий.
Теоремы сложения вероятностей.
Теоремы умножения вероятностей.
Формула
полной вероятности.
Формула Байеса.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Способы задания закона распределения
случайной величины.Параметры распределения случайной величины.
