ОТНОШЕНИЯ

произведения X х X.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать

только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др.

R  X х X. С другой стороны, если задано некоторое подмножество

множества X х X, то оно определяет на множестве X некоторое отношение R.
Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (x,y) R или x R y. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Х= (2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества X

изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» - стрелкой.

обладать различными свойствами, например:
Рефлексивность: 

Антирефлексивность:

Симметричность: 

каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное

утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.
Матрица – на главной диагонали единицы.

(каждое натуральное число кратно самому себе);
- отношение подобия треугольников (каждый

треугольник подобен самому себе).
Существуют отношения, которые свойством рефлексивности на обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.

идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую

от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.
Матрица – симметрична относительно главной диагонали.

параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х);
-

отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).
Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х.

содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

отношение равенства: если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку z.

Это свойство отражено и на графе отношения равенства.
Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны!

отношение называется отношением эквивалентности.
Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрого порядка.
Антирефлексивное,

асимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрого порядка.

отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством X, т

е имеем разбиение множества X на классы. Это не случайно.
Вообще если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробей соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

деления на 5»; M1 множество чисел {1,2,…., 15}.
R2 «быть равным»; M2 множество чисел

{1,2,3,4,5,6,7,8,9} .
R3 «жить в одном городе»; M3 множество людей.
R4 «быть знакомым»; M4 множество людей.
R5 {(a,b):(a-b) - чётное; M5 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R6 {(a,b):(a+b) - чётное; M6 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R7 {(a,b):(a+1) - делитель (a+b)} ; M7 - множество {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
R8 {(a,b):a - делитель (a+b),a≠1}; M8 - множество чисел
{1,2,…., 15}.
R9 «быть сестрой»; M9 - множество людей.
R10 «быть дочерью»; M10 - множество людей.