Пьер де ферма. Вклад ферма в математику

20 августа 1601 г.

Я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно

бесполезным, Я вижу мало различия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире,, но все же только профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в неё силы….». Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате « О сравнении кривых линий прямыми». Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях «Арифметики» Диофанта.

в монографии по алгебраической топологии. Вникая в геометрические построения древних,

он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум.

нашел достаточные условия нахождения максимумов
научился определять точки перегиба
провел касательные

ко всем кривым второго и третьего порядка.

нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть

интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Современники не содрогнулись. Они мало что поняли, но за то нашли однозначные указания на то, что идея алгоритмизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера « Новая стереометрия винных бочек»

как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана

жизни и творчеству Ферма. Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами.

всего Ферма интересовали способы построения простых чисел. На полях «Арифметики»

он высказал, что «генератором» простых чисел будет формула F(n)= 2²n+1, n=0,1,2… действительно, при n=1,2,3,4 получаем простые числа 3,5,17,257,65537. ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) – простые. Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10¹³5 цифр и делится на 27. Итак Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые числа.

все простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1, причем каждое

из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5

и 8n+7 не представимо в виде x2+2y2 .
3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо в виде x2-2y2 .
4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру.

Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для

любого простого p и любого a³1, которое не делится на p, разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5,
p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2, 53-1-1=3×8, 57-1-1=7×2232, 511-1-1=11×8878.

Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же

“Большая”, она же “Последняя”). На современном языке это звучит так:
не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство
xˆn+yˆn=zˆn
при n>2.

знал знака равенства, а использовал латинское eq.
В отношении Ферма

достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней.