Переходные процессы в линейных электрических цепях

начальные и конечные условия. Подключение реального конденсатора к источнику постоянного

напряжения.

В ТОЭ различают установившиеся и неустановившиеся режимы.
Установившийся режим – состояние цепи, в котором все токи и напряжения являются периодическими функциями времени, либо постоянными величинами (например: в цепях постоянного тока).
Переходные процессы имеют место в неустановившемся режиме. Под переходными процессами понимают переход цепи из одного установившегося режима к другому.

но на практике это время зависит от параметров цепи.
Последовательность

событий такова: установившийся режим → коммутация → переходный процесс → новый установившийся режим.
Возникновение переходных процессов обусловлено коммутацией в цепях с реактивными элементами. Коммутация – включение, выключение; переключение параметров схемы или скачкообразное изменение воздействующего сигнала.
Коммутирующее устройство на схеме изображают в виде идеального ключа, у которого при замыкании сопротивление равно нулю, а в разомкнутом состоянии равно бесконечности:


Момент коммутации называется начальным моментом времени . В момент коммутации действуют два закона коммутации:
I закон коммутации – ток в индуктивности в момент коммутации не изменяется скачком, а сохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации.

может измениться скачком. Принято считать, что коммутация происходит мгновенно во

время . Поэтому при рассмотрении переходных процессов различают два нулевых момента времени: когда коммутация еще не произошла, и после коммутации. Тогда первый закон коммутации можно сформулировать следующим образом: ток в индуктивной катушке до коммутации равен току в момент, наступивший сразу после коммутации, т. е.
II закон коммутации – напряжение на ёмкости в момент коммутации не изменяется скачком, а сохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации.
Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Либо:
Можно дать энергетическое обоснование законов коммутации. Энергию магнитного поля индуктивной катушки определяют по формуле
Мощность

и изменится скачком. Тогда мощность

магнитного поля катушки будет равна бесконечности, что невозможно, так как не существуют реальные источники энергии с бесконечно большой мощностью.
Изучение переходных процессов очень важно, так как они положены в основу принципа действия некоторых устройств и аппаратов. Быстродействие современных ЭВМ таково, что в них практически нет установившихся режимов.
Кроме того, во время переходного процесса могут возникать токи и напряжения большие, чем при установившемся режиме. Электрическая цепь, пригодная для номинального режима работы, может выйти из строя при подключении к источнику энергии.
С помощью законов коммутации определяются начальные условия для тока в индуктивности и напряжения на ёмкости. Под начальными условиями понимают значения токов и напряжений в момент коммутации.
Начальные условия, определяемые с помощью законов коммутации, называют независимыми начальными условиями, то есть

Ома, Кирхгофа по схеме замещения, составленной в момент коммутации
В момент

коммутации в общем случае индуктивность можно заменить источником тока с а ёмкость – источником напряжения с частном случае при и индуктивность заменяется обрывом, а ёмкость – коротким замыканием.



Для качественной оценки переходного процесса важно знать и конечные условия. Конечные условия – это значение токов и напряжений в установившемся режиме при t →∞ . Схемы замещения реактивных элементов для установившегося режима постоянного тока:

замещения электрической цепи. Как известно из математики, решение полученной системы

линейных дифференциальных неоднородных уравнений есть сумма двух слагаемых: частного решения неоднородных уравнений и общего решения однородных уравнений.
В качестве частного решения берут принужденный режим, вызываемый внешними источниками энергии. Составляющие токов и напряжений, найденные в результате частного решения неоднородных уравнений, называют принужденными:
Общее решение однородного уравнения характеризует процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии.

уравнений, называют свободными:
Свободные составляющие стремятся к нулю.
Классический метод

расчета переходных процессов заключается в отыскании закона изменения любого тока и напряжения как суммы принужденной и свободной составляющих:



Когда свободные составляющие станут равны нулю, переходный процесс закончится. Отсюда следует, что принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.
Далее рассмотрим классический метод расчета переходных процессов
на ряде конкретных примеров.

приведена на рис.
Составим систему уравнений электрического состояния. Так как схема

одноконтурная, то можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа:




В этом уравнении во время переходного процесса происходит изменение двух величин: тока i и напряжения на емкостном элементе Напряжение подчиняется второму закону коммутации, поэтому рационально выразить ток по закону Ома

двух слагаемых:

3. Найдем
Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому

принужденный режим рассмотрим как новый установившийся режим при Конденсатор постоянный ток не пропускает
Отсюда
4. Вычислим Из математики известно, что свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения. Запишем уравнение электрического состояния для свободной составляющей:

еще и показатель степени.
В итоге производная

После подстановки в уравнение
электрического состояния получаем


Сократим на Получим:
Сравнив уравнение электрического состояния с характеристическим,
делаем вывод: для получения характеристического уравнения в уравнении электрического состояния правую часть нужно приравнять к нулю, переменную величину заменить единицей, ее производную – р, вторую производную – р2 и т. д.
Решение характеристического уравнения позволяет определить

Величину обозначают τ и называют постоянной времени.

Показатель Так как

ис-
пользованием законов коммутации. Уравнение, по которому проводим решение, справедливо для

любого момента времени, следовательно, и для начального:

По второму закону коммутации До коммутации схема
не была подключена к источнику энергии, поэтому
Принужденная составляющая в данном примере является постоянной
величиной, значит .
Свободная составляющая
После подстановки получим
Тогда закон изменения напряжения Закон изменения тока можно получить как из уравнения по второму закону Кирхгофа, так и из закона Ома.
Из уравнения по второму закону Кирхгофа

(см. рис.) полу чаем суммированием графиков

Составляющая Свободная составляю-
щая изменяется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный мо-
Мент График подтверждает, что напряжение на конденсаторе меняется плавно, что принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

тока не было, при t = 0+ ток

, далее он стремится к
нулю по закону экспоненты. Графики будут меняться при изменении параметров схемы R и С. Величина напряжения от них не зависит. Величина тока обратно пропорциональна сопротивлению R и не зависит от емкости С. Длительность переходного процесса прямо пропорциональна значениям R и С.

Практически переходный процесс заканчивается через (3–5) ф. Постоянная времени ф

– это время, в течение которого свободные составляющие уменьшаются в е раз (см. рис.).







Время

Постоянной времени можно дать геометрическую интерпретацию:
ф – это величина подкасательной к любой точке экспоненты (см. рис.).

цепях первого порядка. Классический метод расчёта переходных процессов
Схема замещения

анализируемой цепи приведена на рис.
1. Уравнение электрического состояния
в дифференциальной форме:


После подстановки выраженных по закону Ома, получим
уравнение с одной переменной:

2. Решение этого уравнения является суммой двух слагаемых:

3. Найдем в схеме при Индуктивный элемент не оказывает
сопротивления постоянному току, вместо него будет закоротка.
Тогда

4. Вычислим по закону экспоненты:
Составим характеристическое уравнение для определения p:

постоянную интегрирования А из начальных условий с
использованием законов коммутации.

В начальный момент времени


По первому закону коммутации До коммутации схема
не была подключена к источнику энергии, поэтому
Принужденная составляющая постоянная величина.

Свободная составляющая в начальный момент
После подстановки получим Отсюда

Тогда закон изменения тока

Закон изменения напряжения

Закон изменения напряжения

График тока (см. рис.) получаем как сумму

графиков Составляющая тока Свободная составляющая меняется по

закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент

Из графика видно, что ток в индуктивной катушке меняется плавно и стремится к принужденной составляющей.

приведены на рис.

График аналогичен графику тока так как
Напряжение в начальный момент возрастает скачком до величины
входного напряжения, а затем по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.
Рационально самостоятельно проанализировать, как будут изменяться
графики при перемене значений