По книге: Фадд e ев М.А., Чупрунов Е.В. Лекции по атомной физике (2008,

(2008, Физматлит).

В качестве показательного примера рассчитаем собственные значения и собственные

функции простейшего гамильтониана.
То есть, определим энергетический спектр простейшей квантовомеханической системы и найдем решения стационарного уравнения Шредингера

для простейших условий.

6.7. Стационарные состояния частицы в одномерной потенциальной яме

Начнем с одномерной задачи о частице «в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном».
Пусть для микрообъекта массы m зависимость потенциальной энергии от единственной координаты имеет вид:

при x=0 и x=a. Для нее
разрешены любые значения энергии частицы.

Время нахождения частицы вблизи любой точки ее траектории одинаково (модуль скорости постоянен).
В волновой механике говорят не о движении, а о состоянии микрообъекта.

Гамильтониан для заданной потенциальной функции U(х) «внутри ямы» (при 0

Одномерное стационарное уравнение Шредингера

с указанным гамильтонианом можно привести к виду:

B – постоянные. Введено обозначение

В областях xa

волновая функция должна обращаться в 0, поскольку попадание частицы в эти области потребовало бы совершения над ней бесконечной работы. Из свойства непрерывности волновой функции получаем граничные условия:

Первое из этих граничных условий задает B=0, а второе приводит к соотношению:

Следовательно, величина k может принимать лишь дискретные значения

Значение n=0 отброшено, поскольку оно задает волновую функцию (x)=0 , которой соответствует нулевая вероятность найти частицу где-либо.

значения гамильтониана.
Каждому значению энергии соответствует собственная волновая функция:

Коэффициент A находится

из условия нормировки вероятности:


Итого: стационарные состояния микрообъекта в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном описываются волновыми функциями


Целое число n, нумерующее дискретные состояния «частицы», называют квантовым числом.
В рассмотренном случае энергия состояния зависит от квантового числа квадратично.

(ограниченной области локализации волновой функции) соответствует дискретный спектр стационарных состояний

и соответствующих значений энергии. В классической физике спектр разрешенных значений энергии частицы в потенциальной яме непрерывен.
Полные волновые функции стационарных состояний можно получить умножением координатной части (x) на экспоненциальные временные зависимости:


Математически они представляют собой стоячие волны, аналогичные фигурировавшим при выводе формулы Рэлея-Джинса (там они были
трехмерными). Дискретная величина kn имеет смысл волнового числа.

Рассмотрим подробнее конкретные состояния.
Начнем с состояния, которое могло бы соответствовать n=0. Его
несуществование означает, что квантовая частица в потенциальной яме не может иметь нулевую (соответствующую потенциальной энергии дна ямы) энергию. Классическая частица могла бы «покоиться на дне ямы». Для квантовой это запрещено.

вероятность обнаружить частицу была бы равномерно распределена в 0

с наименьшей энергией («основному состоянию»)
соответствует квантовое число n=1.
Для него:

эту величину можно назвать энергией «нулевых» (минимальных) колебаний частицы в потенциальной яме – но слова о «колебаниях частицы» здесь нужно понимать фигурально.
Меньше ширина потенциальной ямы a   меньше резонансная длина волны 2/k 
 больше энергия состояния E1 и др.
Волновая функция основного состояния:
соответствует плотности вероятности
обнаружения частицы при разных x:

образом, и в первом возбужденном состоянии частица в яме в

некоторой степени локализована. Причем иначе, чем в основном состоянии.
Данную закономерность можно подтвердить и на примере других возбужденных состояний. На рисунке представлен случай n=3.
Этот вывод важен, он пригодится при рассмотрении состояний атомов.

Энергия первого возбужденного состояния с n=2 превышает энергию основного состояния в 4 раза:


Волновая функция


определяет плотность вероятности


У этой функции уже два максимума,

xa.
Рассмотрим отдельно случаи E

E>U0 . Первому из них в классической физике соответствует финитный (ограниченный размерами потенциальной ямы), а второму – инфинитный характер движения частицы.

Следующий, несколько более сложный случай – нахождение стационарных состояний (собственных функций гамильтониана) для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины.

Пусть зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид:


Обозначим путь нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана, определяющих спектр энергии частицы и волновые функции стационарных состояний.

для волновой функции уравнения:
где вновь
Положительный

параметр ϰ определен формулой:

Рассмотрим сначала случай EПо определению, гамильтониан выражается как:


В рассматриваемом случае:

и гармонические функции для области 2. Для последующего анализа их

удобно записать в виде:



Присутствующие здесь коэффициенты (постоянные интегрирования) определяются из граничных условий и условий нормировки.
Коэффициенты A2 и B2 следует приравнять 0, чтобы волновая функция оставалась ограниченной в пределе x – и x + соответственно.
Для вычисления оставшихся констант нужно воспользоваться свойством непрерывности волновой функции (1, 2 и 3 – это одна и та же функция на различных участках оси x) и ее производной.
«Сшивка» должна производиться при x=0 и при x=a .
Получим систему уравнений для коэффициентов AA1, BB1 , A0 и  .

первого уравнения на второе и третьего на четвертое дают:

После ряда

преобразований от тангенсов можно перейти к синусам:

где введено новое обозначение
Первое из этих уравнений дает

(Постоянная  изначально вводилась в уравнении

И мы, считая ее положительной, без снижения общности можем потребовать, чтобы она принадлежала интервалу [0,  /2] .)

появляется из-за неоднозначности решения.
Далее он играет роль квантового числа.
После подстановки

 из первого уравнения получаем уравнение относительно k:


Заметим, что при E<
(Это ясно из определений k и ϰ0 :
и .)

можно представить графически.  


Каждое пересечение графиков левой и правой частей уравнения соответствует одному из значений «волнового числа» k=k1, k2, … . Количество пересечений определяется параметрами задачи (a, m, U0).

уменьшается наклон прямой, а набор пересекаемых с ней фрагментов синусоиды

не изменяется.
Точки пересечения смещаются вправо – растут значения kn, а следовательно, и энергии состояний.
При этом число возможных состояний (число точек пересечения) уменьшается.
Число локализованных состояний (с E

представлен качественный вид графика плотности вероятности

для волновых функций двух первых локализованных стационарных состояний частицы в потенциальной яме конечной глубины.
Основное состояние вновь
соответствует квантовому числу n=1.
И вновь его энергия ненулевая – выше дна ямы.
Внутри потенциальной ямы (0волновые функции синусоидальны, вне ямы экспоненциально спадают. На границе этих областей (и даже за этой
границей, где Eвероятности обнаружить частицу – ненулевая.

локализованных состояний частицы, в классической физике соответствующей частице, совершающей финитное

движение в потенциальной яме.
Перейдем теперь к случаю E>U0 (при тех же остальных условиях задачи), соответствующему инфинитному движению частицы через область потенциальной ямы 2 в направлении из области 1 в область 3.
Вид гамильтониана сохранится:

Но из-за изменения знака разности
(E–U0) уравнения Шредингера
для областей теперь удобнее записать в виде:

Введены обозначения:

первые члены каждой суммы представляют волну, бегущую в положительном направлении

оси координат, а вторые – волну, бегущую в отрицательном направлении.
Постоянные интегрирования A, B и C должны быть найдены из граничных условий.
Четыре уравнения, позволяющие определить постоянные интегрирования, можно получить из условий «сшивки» волновых функций и их производных на границах областей.
Для делокализованных состояний (соответствующих инфинитному движению частиц в классической модели) условие нормировки полной вероятности на 1 использовать нельзя. Нормировка должна быть определена специальным
образом – например, заданием «амплитуды падающей волны» A1.
В общем случае, нельзя использовать и условие обращения волновой функции в 0 на бесконечности. Однако, если рассматривать волну (частицу), бегущую
из – в положительном направлении оси координат, можно положить, что
отраженная волна в области 3 будет отсутствовать: B2=0.

условий для случая E>U0 не накладывается никаких условий, приводящих к

дискретности значений k и k1.
Вследствие этого и спектр собственных значений гамильтониана оказывается непрерывным.

Итого, спектр собственных значений гамильтониана, совпадающий со спектром энергий стационарных состояний частицы, в присутствии потенциальной ямы конечной глубины состоит из двух частей – дискретной и непрерывной.
Дискретная часть спектра собственных значений всегда содержит хотя бы одно значение – даже для ямы сколь угодно малых (но конечных) глубины и ширины. Полное число собственных значений конечно.
Наименьшее из собственных значений соответствует энергии основного состояния частицы в яме. Она всегда больше энергии дна ямы – на величину «энергии нулевых колебаний».
Дискретным собственным значениям соответствуют локализованные состояния частицы, плотность вероятности которых в основном сосредоточена внутри ямы. Тем не менее, она не обращается в 0 и за ее пределами – кроме как на бесконечности.

стоячих волн. Плотность вероятности обнаружения частицы в разных точках внутри

ямы распределена неравномерно и различным образом для разных состояний.
Непрерывной части спектра собственных значений гамильтониана соответствуют полностью делокализованные состояния, описываемыми волновыми функциями в виде бегущих волн.