Подготовка к ЕГЭ по математике

информатики,
эксперт предметной комиссии
ЕГЭ по математике
Савин Владимир Николаевич

оценки:
"2" (неудовлетворительно) - от 0 до 6 баллов
"3" (удовлетворительно) -

от 7 до 11 баллов
"4" (хорошо) - от 12 до 16 баллов
"5" (отлично) - от 17 до 20 баллов

балл 3,97.
Высокие показатели успешности – выше 80% –продемонстрированы при решении

заданий
1 (вычислительный пример),
3 (решение простейшей задачи на проценты),
6 (решение простейшей задачи на действия с целыми числами),
9 (знание площадей, длин, масс реальных объектов),
11 (чтение диаграмм, графиков),
12 (решение простейших задач на действия с числами, получение информации из таблиц),
14 (чтение графика),
18 (логическая)

то объём V=Sосн*h



Если есть вершина и только 1 основание (пирамида,

конус), то объём в 3 раза меньше V=Sосн*h/3

В заданиях на объёмы важно помнить, что
при увеличении всех размеров плоской фигуры в k раз площадь увеличивается в k2 раз,
при увеличении всех размеров объёмного тела в k раз объём увеличивается в k3 раз,

высота больше в 1,5 раза, значит, объём больше в 4*1,5=

6 раз.
Ответ. 6

В заданиях на объёмы важно помнить, что
при увеличении всех размеров плоской фигуры в k раз площадь увеличивается в k2 раз,
при увеличении всех размеров объёмного тела в k раз объём увеличивается в k3 раз,

второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько

раз объём второй кружки больше объёма первой?
Ответ: 8

Площадь основания увеличилась в 42=16 раз, а высота уменьшилась в 2 раза. Значит, объём увеличился в 16/2=8раз

80 см. Её перелили во второй цилиндрический сосуд, у которого

радиус основания в 4 раза больше, чем у первого. На каком уровне будет вода во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.
Так как площадь основания увеличится в 4*4=16 раз, то высота жидкости уменьшится в 16 раз и станет равна 80/16=5см. Ответ: 5

которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания

точной музейной копии этой пирамиды равна 23 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.


Ответ: 14,7

удобно заранее построить таблицу для ответов:

проведены касательные в четырёх точках.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь

графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

ТОЧКИ

А)K
Б)L
В)M
Г)N

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1)−4
2)3
3)2/3 
4)−0,5

Производная положительна (№2 и 3), если функция возрастает, то есть в точках K и N.
В точке K касательная сильнее наклонена, значит, в точке К модуль производной больше, поэтому K=п.2)
N=п.3)
В точке L наклон круче, чем в точке M, значит, модуль отрицательной производной больше в точке L. Но 4>0,5, значит, L=п.1)

Ответ. 2143

выполнено, 2 выполнено (февраль и март) А=п.2
Б: п.1, 3 не

выполнено. Б = п.4
В =п.1; Г=п.3 (последний пункт всё равно нужно проверять)
Ответ. 2413

1

2

3

4

п.1
Г=п.2
Ответ. 3412

п.2)
Б) –x > 1; x < –1 – п.4
В) методом интервалов
Значит,

В=п.3

Г) методом интервалов
Г= п.1

Ответ. 2431

(35/100) = 100 / 35 > 70/35=2
100 / 35

105 /35 = 3; Г=п.2

Ответ. 4132

–1 прибавим 6:
4

положительны, поэтому
1 < m2 <4 , значит, M=п.2
3) Отнимем 1 от всех частей неравенства *: 0 < m < 1, значит, L=п.3
4) 1 < 2/m < 1/2 –0,5 < – 2/m < –1 , значит, K=п.4

Ответ. 4321

множество
В
Множество В – это пересечение множеств А и Б. Тогда

Общее количество элементов в множествах А и Б равно:
Кол(А+Б) = Кол (А) + Кол (Б) – Кол (В)
Различные варианты ответов получаются изменением Кол(В) от минимально возможного до максимально возможного

множество
Обе сети
Кол(F+В) = Кол (F) + Кол (В) – Кол

(обе) 10<25<30.
10+25=35>30, поэтому все могут быть пользователями
35 –30=5, поэтому действительно найдутся 5 человек в обоих сетях
25>10, поэтому не могут все из Facebook быть Вконтакте
Это верно, так как Вконтакте 10 человек
Ответ. 24

чем Марий. Верно.
Про эти имена нет информации, значит, утверждение не

следует из условия.
Мальчиков больше, чем девочек, значит, есть мальчики и среди них Андреев больше всего, значит, утверждение верно.
Это неверно, так как количество различных имён неизвестно. Например, 100 мальчиков из них 20 Андреев и по 10 других имён. При это 50 девочек, их них 30 Марий и и по 10 других имён
Ответ. 13

В городе Z в 2013 г. мальчиков родилось больше, чем девочек. Мальчиков чаще всего называли Андрей, а девочек — Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
Среди рождённых в 2013 г. в городе Z:
1) девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана.
2) мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх.
3) хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем.
4) мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

баллов в тексте нет, так что это не следует из

условия задачи
Распределение баллов в тексте не описывается, поэтому п.3 не верен
Минимум 36 ≥ 35, поэтому утверждение верно.
Ответ. 14

сказано насколько поэтому нельзя сравнить, а, значит, утверждение неверно
Верно
Верно
И принтер,

и стол дороже доски, но не сказано насколько, поэтому они могут стоить одинаково. Утверждение неверно.
Ответ. 23

на 1 и само на себя.
Первые простые числа нужно запомнить:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (все простые числа невозможно запомнить, так как их бесконечно много)
Признаки делимости на числа:

а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится

на 9.
Решение. Сумма цифр постоянна. Порядок цифр неважен. Поэтому цифры будем брать в возрастающем порядке. Остаток от деления числа на 3 и на 9 совпадает с остатком суммы цифр этого числа
659 не проверяем, так как цифры совпадают с 569, значит, последняя цифра не 9. Пробуем последнюю цифру 8.

Ответ: 578
Примечание. Есть ещё ответы 587, 758, 785, 857, 875.

делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки

и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Если число делится на 5*6=30, то оно делится на 5 и 6. Попробуем числа 30n+k, где k от 0 до 4.
Например 420. 4 это среднее 2 и 6, но 426 делится на 6, но не на 5. Далее 450. 4 это среднее 5 и 3, значит, нам подойдёт 453.
Проверка. 453:5=90 (ост.3), 453:6 = 75 (ост.3)
(5+3) / 2 = 4
Ответ. 453
Примечание. Возможны также ответы 573 (ост.3), 693 (ост.3) Есть ещё 480 (ост.0), но оно не подходит, так как в условии говорится, что остатки ненулевые.

600, которое при делении на 4, на 5 и на

6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
Решение. Возьмём число на 3 меньше искомого, оно делится на 4, 5, 6, значит, делится на их НОК (наименьшее общее кратное), то есть 22*3*5=60, значит, наше число 60n+3. Начинаем с 600, пока не выполнится условие: 603, 663, 723, 783, 843 – последнее подходит
Ответ. 843

Примечание. Ответ 963 также является верным

и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли

второе и получили 4536. Приведите ровно один пример такого числа.
Решение. Число кратно 5, значит, это abc0 или abc5, но 0cba – трехзначное число, значит было число abc5, а получилось 5cba.
a b c 5
–
5c b a
4 536, значит, abc5 = 5cba + 4536, поэтому цифра a не меньше 9, значит a =9.
9bc5 = 5cb9 + 4536.
36+9=45, значит, с=b+4 или с = b +4 –10=b –6
Если с=b+4, то в следующий разряд ничего не переносится и получается b =с+5, чего быть не может (с больше и меньше b одновременно)
с =b – 6 (единица переносится в следующий разряд), тогда b = c+5+1, что совпадает с предыдущим условием. Осталось выбрать b и с, например, b = 6; c=0.
Проверка. 9605 – 5069 = 4536 верно
Ответ. 9605

Примечание. Есть ещё ответы 9715, 9825, 9935

по дереву на 3 м, а за ночь спускается на

2 м. Высота дерева 10 м. Через сколько дней улитка впервые окажется на вершине дерева?

Решение. Лучше сделать таблицей, указывая все состояния (на какой высоте будет улитка после каждого действия)





Значит, улитка впервые окажется на вершине дерева через 8 дней.

Ответ. 8
Примечание. Популярна следующая ошибка: на 3 – 2 = 1 м в день поднимается улика, значит, 10/1=10 дней. Однако, в данном случае улитка через 10 дней СПУСТИТСЯ на вершину дерева, значит, она должна раньше была подняться. Такое решение неверно.

одну из двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5

серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

Решение. Выделяем особые моменты:
При каждом обмене добавляется 1 медная монета, значит, всего было 90 обменов.
В итоге нет золотых монет, значит их нужно сразу разменивать, но 5 золотых не имеет общих множителей с 4, значит нужно сначала сделать 4 обмена 2 типа: 4*7=28 серебряных монет меняется на 20 золотых и 4 медных, а затем 5 обменов 1-го типа: 20 золотых меняется на 5*5=25 серебряных и 5 медных.
В итоге за 4+5=9 обменов мы из 28 серебряных получаем 25 серебряных (на 3 меньше, чем было) и 4+5=9 медных.
Так как нужно сделать 90 обменов (см.п.1), то нужно провести 90/9=20 обменов по п.2, тогда количество серебряных монет уменьшится на 3*10=30 монет.

Ответ: 30

рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется

хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Решение. Смотрим по самому плохому варианту, так как среди 11 точно есть один рыжик, значит, не рыжиков (груздей) не наберётся больше 10.
Аналогично, не груздей (рыжиков) не больше 15.
р+г ≤ 25, но так как р+г=25 по условию, то г=10, р=15


Ответ. 15

таймером и возможностью многократной проверки правильности ответов)
http://alexlarin.net/ege/baza/main.html - альтернативный генератор

вариантов базовых заданий (неофициальный сайт, без ответов)
http://mathb.ege.sdamgia.ru/test?a=catlistwstat – список рассмотренных задач (неофициальный сайт, с ответами и решенями)

по математике
Савин Владимир Николаевич