Понятие и принципы построения математической модели физических систем

на нити и совершающего периодические или периодические затухающие колебания (рис.

2).

не равномерное: в какой-то момент времени груз движется быстро, а

в другой момент времени медленнее. Такое ускоренное движение, согласно второму закону Ньютона, может происходить только под действием внешней силы, в противном случае груз совершал бы, согласно принципу Галилея, прямолинейное равномерное движение. Попытаемся выяснить, какие силы здесь задействованы. Груз электрически нейтрален, значит, на него не могут действовать электрические и магнитные поля. Из гравитационных полей существенный вклад вносится только со стороны Земли. Солнце и остальные планеты, как легко показать, действуют на маятник со значительно меньшими силами, и ими с высокой точностью можно пренебречь.

воздух. При малых скоростях движения груза эта сила пропорциональна скорости

и плотности воздуха. Коэффициент пропорциональности очень мал. Сила трения существенно меньше силы притяжения Земли и ею можно пренебречь, только если рассматриваются колебания в относительно небольшие времена. Это обусловлено специфическим характером сил трения, под действием которых из системы непрерывно уходит энергия. За большой промежуток времени маятник может потерять значительную часть своей энергии и это потеря скажется на движении маятника как заметное падение амплитуды колебания.
К малозначительным факторам, влияющим на движение маятника, отнесем и вращение Земли. Тогда можно считать маятник совершающим движение в одной плоскости, образованной осями Оx и Оy декартовой системы координат.

Земли на оси координат x и y, то согласно механике

Ньютона уравнения движения маятника будут иметь вид


где m – масса маятника.
Но мы воспользуемся механикой Лагранжа, так как нахождение всех компонентов сил в более сложной системе относительно трудоемкая работа.
Для нашего маятника

Отсчет потенциальной энергии ведется от нижнего положения равновесия. Символами x

и y здесь обозначены координаты груза. Так как груз совершает движение по дуге окружности, заданной уравнением x2 + y2 = l2, то функции x(t) и y(t) во-первых, не являются независимыми переменными, во-вторых, удобно перейти в полярную систему координат по формулам

и потенциальную энергию можно записать как

При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа в общем случае под

x мы подразумевали координату, но не уточняли, что понимается под словом координата и о какой системе (декартовой, полярной и т.д.) идет речь. Для уравнения Эйлера – Лагранжа это не принципиально. Применительно к колебанию маятника мы это уравнение можем записать в виде

должно быть дополнено начальными условиями для угла и его скорости.

Колебания, описываемые уравнением не затухают со временем, так как мы не учитывали явление трения.

их кинетическую энергию, то тело испытывает силу сопротивления, если же

уменьшает, то на тело будет действовать ускоряющая сила.
Т.к. качающийся маятник приводит в движение воздух, что легко обнаружить, то мы сразу же заключаем, что маятник испытывает силу сопротивления, которое иначе называют еще силой трения.
В науке о движении жидкостей – гидродинамике доказано, что сила Fc сопротивления, действующая со стороны среды на тело, зависит от его геометрических форм, относительной скорости V тела и среды, ее плотности  и физической характеристики, называемой вязкостью .

называется числом Рейнольдса. Для тела достаточно малого размера L и

скорости V если Re = LV/ << 1, то сила Fc прямо пропорциональна V: Fc ~ V. Пусть груз маятника имеет форму шара с радиусом а. С точностью до числового множителя порядка единицы силу сопротивления можно вычислить по формуле
Fc = a V.

вместо V подставим окружную скорость самого маятника, а влияние скорости

воздуха на величину силы сопротивления и других параметров будем считать учтенным в коэффициенте пропорциональности k = a. Тогда в полярных координатах имеем

этой силы трения уравнение движения маятника будет выглядеть следующим образом:

 = k/m.

Рассмотренный пример с математическим маятником не демонстрирует всех достоинств механики Лагранжа. Уравнение (1) можно легко получить и в рамках механики Ньютона. Приведем другой пример маятника с подвижной точкой подвеса, где подход Лагранжа существенно упрощает вывод уравнений движения, по сравнению с подходом Ньютона. На рисунке 3 точка подвеса маятника с массой m1 без трения скользит по горизонтальной поверхности. Массу подвешенного груза обозначим за m2.

m2 – за x2 и y2. По рисунку 3 определяем




Учитывая,

что величины x2, y2 и  зависят от времени, определим производные:

Тогда полная кинетическая энергия системы T равна сумме кинетической энергии

движения грузов с массами m1 и m2:

Искомые уравнения движения из функции Лагранжа


где неизвестными параметрами механической

системы являются угол  и смещение y подвеса, получаются из дифференциальных соотношений

соответствующие уравнения

Чтобы привести их в нормальную форму необходимо из первого уравнения

с помощью второго исключить d2/dt2. Аналогичным образом поступаем и со вторым уравнением. Простой расчет дает


m = m1 +m2.

x, float v, float t);

int main()
{
FILE *f;
f=fopen ("D:\\Inf\\dif_2.dat",

"w");

float x0, x, xp, xt, xn, h, t, tc;
float v0, v, vp, vn;
x0=0; v0=5.25;
tc=10.0;
h=0.01;

xt=v0/omeg*sin(omeg*t);
printf (" t= %.3f, x= %.3f xt= %.3f

\n", t, x, xt);
fprintf (f,"%.3f %.3f %.3f\n", t, x, xt);

xn=x; vn=v;
xp= xn +h*Fx(xn,vn, t);
vp= vn +h*Fv(xn,vn, t);
x= xn +0.5*h*(Fx(xn, vn, t)+Fx(xp, vp, t+h));
v= vn +0.5*h*(Fv(xn, vn, t)+Fv(xp, vp, t+h));
}
getch();
}

c=v;
return c;
}

float Fv(float x, float

v, float t)
{ float c;
c=-omeg*omeg*sin(x);
return c;
}

изучить поведение маятника в той или иной ситуации