Сформулировать свойства неопределённого интеграла
«Математика есть способ называть
разные вещи
одним именем»Анри Пуанкаре
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Понятие определенного интеграла
Содержание
- 1. Понятие определенного интеграла
- 2. Актуализация опорных знанийВопросы1) Что называется первообразной?2) Что
- 3. Актуализация опорных знаний
- 4. Актуализация опорных знаний
- 5. Актуализация опорных знанийВопросы:4) Назовите действие обратное интегрированию.5)
- 6. СодержаниеЗадача о площади криволинейной трапецииПонятие интегральной суммыГеометрический
- 7. Задача о площади криволинейной трапецииПусть на отрезке
- 8. Понятие интегральной суммы
- 9. Геометрический смысл интегральной суммы Sл= S1 + S2 +...+ Sn
- 10. Понятие определенного интеграла
- 11. Геометрический смысл определенного интеграла
- 12. Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
- 13. Экономический смысл интеграла
- 14. Экономический смысл интеграла
- 15. Условие существования определенного интегралаТеорема. Если функция у
- 16. Пример нахождения определенного интеграла на основании определенияВычислить
- 17. Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда
- 18. Интересно отметить, что впервые задачу этого рода
- 19. 1. Свойства определенного интеграла Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулюДоказательство
- 20. 2. Свойства определенного интеграла При перемене местами
- 21. 3. Свойства определенного интеграла Доказательство
- 22. 4. Свойства определенного интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.Доказательство
- 23. 5. Свойства определенного интеграла Интеграл от алгебраической
- 24. 6. Свойства определенного интеграла По свойству 5
- 25. 7. Свойства определенного интеграла Если отрезок интегрирования
- 26. 8. Свойства определенного интеграла Если M –
- 27. a) Интеграл от нечетной функции по симметричному
- 28. 9. Свойства определенного интеграла Доказательство
- 29. Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка, чтоТеорема о среднем Доказательство
- 30. Интеграл с переменным верхним пределом
- 31. Формула Ньютона - ЛейбницаТеорема. Если F(x)есть некоторая
- 32. Формула Ньютона - Лейбница
- 33. Пример
- 34. ПримерВычислить:
- 35. Решение
- 36. РешениеИспользуя формулуполучим
- 37. ПримерВычислить:
- 38. Решение
- 39. Использованная литератураВысшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш.(ред.)
- 40. Скачать презентанцию
Актуализация опорных знанийВопросы1) Что называется первообразной?2) Что называется неопределённым интегралом?3) Сформулировать свойства неопределённого интеграла «Математика есть способ называть разные вещи одним именем»Анри Пуанкаре
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Актуализация опорных знаний
Вопросы
1) Что называется первообразной?
2) Что называется неопределённым интегралом?
3)
Сформулировать свойства неопределённого интеграла
одним именем»Анри Пуанкаре
Слайд 5Актуализация опорных знаний
Вопросы:
4) Назовите действие обратное интегрированию.
5) Назовите методы интегрирования.
5)
Правильность интегрирования можно проверить…
6) Дописать продолжение формул
Слайд 6Содержание
Задача о площади криволинейной трапеции
Понятие интегральной суммы
Геометрический смысл интегральной суммы
Понятие
определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Экономический смысл интеграла
Условие существования определенного интеграла
Пример
нахождения определенного интеграла на основании определенияСвойства определенного интеграла
Теорема о среднем
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула Ньютона - Лейбница
Слайд 7Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана
неотрицательная функция у=f(х). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y=f(x), прямыми х = а, х =b и осьюабсцисс у =0
S ~ Sл
За искомую площадь S возьмем предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.
![Задача о площади криволинейной трапецииПусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция у=f(х). Требуется найти площадь S](/img/thumbs/50750e26a1cfba1bff25d2a387cae05f-800x.jpg "Понятие определенного интеграла Задача о площади криволинейной трапецииПусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная")
Слайд 12 Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для
площадей плоских фигур. Например,
Слайд 15Условие существования определенного интеграла
Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна
на
отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.
![Условие существования определенного интегралаТеорема. Если функция у =f (x) непрерывнана отрезке [а, b], то она интегрируема на](/img/thumbs/15bcbc030112f2421bbf3d54c7b436ba-800x.jpg "Понятие определенного интеграла Условие существования определенного интегралаТеорема. Если функция у =f (x) непрерывнана отрезке")
Слайд 17Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна
Пример нахождения определенного
интеграла на основании определения
Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями
– интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.
Слайд 18Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При
помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил
площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.
Слайд 191. Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
равен нулю
Доказательство
Слайд 202. Свойства определенного интеграла
При перемене местами верхнего и нижнего
пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак.
Доказательство
Слайд 22
4. Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла, т.е.
Доказательство
Слайд 235. Свойства определенного интеграла
Интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
Доказательство
Слайд 246. Свойства определенного интеграла
По свойству 5 получаем
т.е. обе части
неравенства можно почленно интегрировать.
Если на [а, b]
, то
Доказательство
![6. Свойства определенного интеграла По свойству 5 получаемт.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.Если на [а, b],](/img/thumbs/394f01f9b8bfda067659c92b1e982b16-800x.jpg "Понятие определенного интеграла 6. Свойства определенного интеграла По свойству 5 получаемт.е. обе части неравенства")
Слайд 257. Свойства определенного интеграла
Если отрезок интегрирования разбит на части,
то интеграл
на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из
возникшихчастей, т.е. при любых а, b, с:
Доказательство
Слайд 268. Свойства определенного интеграла
Если M – наибольшее значение функции
f(x) на отрезке [a;b], а m – наименьшее значение функции
f(x) на отрезке [a;b], то:
Доказательство
![8. Свойства определенного интеграла Если M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], а m –](/img/thumbs/09a89b71173e8e6ad246753168fb9469-800x.jpg "Понятие определенного интеграла 8. Свойства определенного интеграла Если M – наибольшее значение функции f(x)")
Слайд 27a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю
9.
Свойства определенного интеграла
b) Интеграл от четной функции по симметричному
отрезку равен удвоенномуинтегралу по половине отрезка
Слайд 29Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая
точка, что
Теорема о среднем
Доказательство
![Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка, чтоТеорема о среднем Доказательство](/img/thumbs/1432b609aa101d538b0ef49340a7de34-800x.jpg "Понятие определенного интеграла Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка, чтоТеорема о среднем Доказательство")
Слайд 31Формула Ньютона - Лейбница
Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной
функции f(x), то справедлива формула
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Слайд 39Использованная литература
Высшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш.(ред.) – М.: Банки
и биржи, ЮНИТИ, 2010
Дадаян А.А. Математика– М.: ФОРУМ, 2012
