Построение математической модели

в результате:
Изучения и обобщения экспериментального материала;
Изучения частных моделей

и их обобщения методом индукции;
Применения процесса дедукции, в результате которого модель получается как частный случай из некоторой более общей модели.

Исходным пунктом служит некоторая эмпирическая ситуация, весьма расплывчатая и сложная, так что точное описание ситуации чаще всего невозможно.

Что является отправной точкой в построении моделей?

Процедура преобразования такой ситуации к виду, когда для её изучения можно применить математические методы, и есть процедура построения математической модели.

построения модели начинается с изучения и анализа объекта:

выявления его основных, существенных особенностей, необходимых для достижения целей моделирования,
перечисления всех элементов, оказывающих влияние на конечный результат.

Изучая каждый элемент, устанавливают его зависимость от выбора вариантов решения. Элементы, для которых такая зависимость отсутствует или пренебрегаемо мала, исключают из рассмотрения. Для каждого из оставшихся элементов выясняют является ли он постоянным или переменным. Каждому элементу присваивают символическое имя.

и т.д.
3. После этого анализируются цели исследования. Они могут

быть качественными и количественными.

Качественные цели чаще всего носят психологический или социальный характер, их иногда называют неосязаемыми, так как очень трудно измерить степень достижения этих целей. Все цели должны быть непротиворечивыми и независимыми. Противоречивые цели необходимо исключить, а зависимые объединить. Объект схематизируется, идеализируется, все его несущественные свойства игнорируются. Результатом этого этапа может быть изобразительная или аналоговая модель.

Построение математической модели

Основные этапы математического моделирования

задачи.

Процесс постановки задачи при моделировании идёт непрерывно, постановка задачи

меняется и уточняется.
При этом:
выясняется возможность постановки задачи,
оценивается ориентировочная стоимость решения,
определяются условия моделирования и предусматриваются меры для их выполнения,
уточняются и формулируются задачи, решение которых необходимо для достижения целей моделирования,
намечаются пути (стратегии) достижения целей и каждая стратегия анализируется.

быть использованы из-за ограниченности ресурсов (материальных и временных), нарушений обязательных

ограничений (например, экологических) и т.д.

Построение математической модели

Основные этапы математического моделирования

После завершения постановки задачи необходимо знать:

цели моделирования,
условия необходимые для реализации модели,
альтернативные варианты моделирования и способы их сопоставления между собой,
"узкие места" моделирования и возможные способы их преодоления,
необходимые и имеющиеся ресурсы,
способ оценки эффективности решения.

Постановка задачи завершается определением критериев эффективности, которые должны позволять выбирать

наиболее эффективные стратегии достижения целей.
Критерии эффективности, как и цели, бывают качественные и количественные.

Мера эффективности может изменяться во времени и поэтому необходимо установить способ отображения изменений эффективности каждой стратегии относительно каждой цели, т.е. построить функцию эффективности, которую желательно выразить, через переменные, определяющие объект моделирования.

E = F(X,Y)

И тем самым свести задачу к определению таких управляемых переменных, которые обеспечивают максимальную эффективность.

математической модели –

формулирование законов, связывающих основные объекты модели и

описывающих динамику её функционирования,
запись на математическом языке всех соотношений и зависимостей, присущих идеализированному объекту.

Полученная модель должна быть непротиворечивой и корректной.

Задача называется корректной, если решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных, т.е. решение устойчиво.

используется два подхода.

В первом на некоторый момент t определяется

состояние x(t) моделируемого объекта и оператор Т, представляющий процедуру перехода объекта в состояние x(t + Δt).

Состояние x(t) рассматривается как точка фазового пространства Ф, в котором изменение состояния объекта отождествляется с траекторией движения этой точки по фазовой траектории. Фазовое пространство Ф и оператор Т определяют математическую модель объекта.

Исследование объекта на математической модели при таком подходе сводится к изучению способов деления фазового пространства на траектории и установлению зависимости физических параметров объекта от структуры разбиения фазового пространства на траектории.

и "выходы", связанные между собой оператором Т. При этом не

требуется знать внутреннюю структуру моделируемого объекта, математическая модель определяется пространством входов и выходов и оператором Т однозначного преобразования "входов" в "выходы".

Построение математической модели

Основные этапы математического моделирования

Т

t+D

экспериментов на модели, получение и анализ результатов моделирования.
Основной задачей

анализа результатов является оценка адекватности модели относительно целей моделирования.
При этом возникает две ситуации:

В первом случае считается, что модель полностью определена, все её параметры известны. Тогда по уклонениям результатов моделирования от теоретических следствий судят о качестве модели, её адекватности объекту. Если уклонения выходят за допустимые границы, то модель бракуется.

Их значения находят в процессе моделирования так, чтобы результаты моделирования

с необходимой точностью согласовывались с результатами наблюдений изучаемых объектов. Если ни при каком выборе значений характеристики этим требованиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений.

Проблема организации вычислительного процесса связана с потерей точности из-за ошибок выполнения арифметических операций на компьютере и приближённости числовых значений переменных и констант. Поэтому прежде, чем выполнять вычисления, необходимо предпринять возможные меры по устранению или оценке и учёту влияния этих факторов.

Построение математической модели

Основные этапы математического моделирования

и модернизация модели в связи с полученными результатами моделирования, появлением

новой информации об изучаемом объекте или изменением целей моделирования. Метод математического моделирования сводит исследование объектов и явлений к математическим задачам. Он позволяет проектировать сложные технические средства, работающие в оптимальных режимах, находит применение в экономике, системах автоматизированного проектирования и управления, определения состояния объектов и эволюции состояния. Он позволяет заменить натурный эксперимент - математическим.