ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Содержание

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
2. Лекция 2.1Два определения предела функции в точке,
3. Два определения предела функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).x1aAf(x1)x2x3x4f(x2)f(x3)f(x4)xyy = f(x)0
4. Пусть функция f(x) определена в
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).aAxyy = f(x)0A - εA + εa + δa - δ
6. Пусть функция f(x) определена в Число А
7. ТЕОРЕМА. Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.
8. Критерий Коши существования предела функции. ТЕОРЕМА. Для того,
9. Односторонние пределы. Пусть функция f(x) определена в
10. Пусть функция f(x) определена в
11. ПРИМЕР.
12. ТЕОРЕМА. Для существования
13. Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности. Пусть
14. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(х) называется бесконечно большой при
16. Аналогично определяются пределы а также пределы
17. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.Алгебраическая
18. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
19. Скачать презентанцию

Лекция 2.1Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функции.Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента к бесконечности.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Главная
Разное
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Раздел 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Слайд 2Лекция 2.1
Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
Критерий

Коши существования предела функции.
Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента

к бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Лекция 2.1Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функции.Односторонние пределы и пределы

Слайд 3Два определения предела функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).
x1
a
A
f(x1)
x2
x3
x4
f(x2)
f(x3)
f(x4)
x
y
y =

f(x)

0

Два определения предела функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).x1aAf(x1)x2x3x4f(x2)f(x3)f(x4)xyy = f(x)0

Слайд 4
Пусть функция f(x) определена в

Число А называется пределом функции f(x) в

точке а,
если для любой последовательности значений её аргумента
сходящейся к точке а
(т.е. ),
соответствующая последовательность значений функции {f(хn)}
сходится к А
(т.е. ).
В этом случае пишут

Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом

Слайд 5ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).
a
A
x
y
y = f(x)
0

A - ε
A + ε

a +

δ
a - δ

Слайд 6 Пусть функция f(x) определена в
Число А называется пределом функции

f(x) в точке а, если для любого числа ε >

0 найдется число δ(ε)>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | x – a| < δ, выполняется неравенство
⎢f(x) – A ⎢< ε.

Последнее определение можно записать с помощью логических символов, используя понятие окрестностей:

Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого

Слайд 7 ТЕОРЕМА.
Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.

Слайд 8Критерий Коши существования предела функции.
ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы функция f(x)

имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы для

любого ε>0 существовала такая проколотая δ-окрестность точки а , что для всех
выполнялось бы неравенство ⎢f(x') – f(x'') ⎢< ε.

Критерий Коши существования предела функции. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке а, необходимо и

Слайд 9Односторонние пределы.

Пусть функция f(x) определена в

Число А1 называется пределом

слева функции f(x) в точке а и обозначается
или f(а – 0), если ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству
а – δ < x < a,
выполняется неравенство
⎢f(x) – A1 ⎢< ε.

a - δ

A1 + ε

y = f(x)

A1 - ε

Односторонние пределы. Пусть функция f(x) определена в Число

Слайд 10

Пусть функция f(x) определена в

Число А2 называется пределом справа функции

f(x) в точке а и обозначается
или f(а + 0), если ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству
а < x < a + δ,
выполняется неравенство
⎢f(x) – A2 ⎢< ε.

a + δ

A2 + ε

y = f(x)

A2 - ε

Пусть функция f(x) определена в Число А2 называется

Слайд 11ПРИМЕР.

Слайд 12ТЕОРЕМА.
Для существования

необходимо и достаточно, чтобы

существовали пределы этой функции в точке а слева и справа и

Слайд 13Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Пусть функция f(x) определена

в

Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если ∀ε>0 ∃ δ(ε)>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству | x | > δ, выполняется неравенство
⎢f(x) – A ⎢< ε.
В этом случае пишут

A+ε

A - ε

- δ

+ δ

Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности. Пусть функция f(x) определена в

Слайд 14Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Функция α(х) называется

бесконечно малой при стремлении аргумента х к точке а, если

т.е. для любого ε > 0 существует такая проколотая δ -окрестность точки а что для всех
ЗАМЕЧАНИЕ.
Пользуясь определением предела функции в точке а и определением бесконечно малой при х → а нетрудно показать, что
f(x) = А + α(х), где α(х) → 0 при х → а.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция α(х) называется бесконечно малой при стремлении аргумента х к

Слайд 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х

к точке а, если для любого ε > 0 существует

такая проколотая δ -окрестность точки а что для всех
выполняется неравенство ⎢f(x) ⎢> ε.
В этом случае пишут

- ε

y = f(x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х к точке а, если для любого ε

Слайд 16 Аналогично определяются пределы

а также пределы

Слайд 17Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Алгебраическая сумма конечного числа

бесконечно малых при х→ а функций есть бесконечно малая при

х→ а функция.
Произведение бесконечно малой при х→ а функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая при х→ а функция.
Пусть α(х) ≠ 0 в
α(х) – бесконечно малая при х → а функция тогда и только тогда, когда 1/α(х) – бесконечно большая при х → а.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х→ а функций есть

Слайд 18СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Скачать презентацию

Разделы презентаций

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Раздел 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Слайд 2Лекция 2.1
Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
Критерий

Коши существования предела функции.
Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента