Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Предельный переход в неравенствах
Содержание
- 1. Предельный переход в неравенствах
- 2. Предельный переход в неравенствах.ТЕОРЕМА 1. Пусть
- 3. СЛЕДСТВИЕ. Если
- 4. ТЕОРЕМА 3. (О «двух милиционерах») Пусть числовые последовательности
- 5. Возьмем N(ε) = max{ N0, N1(ε), N2(ε)}.
- 6. Определение монотонной числовой последовательности и точной грани
- 7. К известным из школы свойствам вещественных
- 8. Бином Ньютона
- 9. Число е. Рассмотрим последовательность окажем, что эта последовательность
- 10. (1)(2)Все слагаемые в суммах (1) и (2)
- 11. Кроме того, число слагаемых в сумме (2)
- 12. Итак {xn}- возрастает и ограничена сверху, а
- 13. Скачать презентанцию
Предельный переход в неравенствах.ТЕОРЕМА 1. Пусть
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция 3.
Предельный переход в неравенствах.
Существование предела у ограниченной монотонной последовательности
(свойство Вейерштрасса).
Слайд 2Предельный переход в неравенствах.
ТЕОРЕМА 1.
Пусть
Тогда а ≥ 0.
Доказательство.
Предположим противное: а < 0.
Так как а – предел числовой последовательности, то вне любой окрестности этого числа может содержаться лишь конечное число элементов последовательности. Выберем ε так, чтобы Uε(a)⊂(–∞,0). Но, по условию теоремы, все элементы последовательности лежат на положительной полуоси, т.е. вне Uε(a) находится бесконечно много ее элементов, что противоречит определению предела. Следовательно наше предположение неверно и а ≥ 0.
Слайд 3СЛЕДСТВИЕ.
Если
то а ≤ 0.
ТЕОРЕМА 2.
Пусть
Тогда найдется такое натуральное число N , что xn > 0 для всех n ≥ N.
Доказательство.
Возьмем ε = а/2. Тогда, согласно определению предела, найдется такое N(ε), что для всех n ≥ N(ε) будет выполнено неравенство
⎜ хn – а ⎜< а/2 ⇔ а/2 < хn < 3а/2,
т.е. xn > 0 для всех n ≥ N.
Слайд 4ТЕОРЕМА 3. (О «двух милиционерах»)
Пусть числовые последовательности {хn}, {уn},{zn} таковы,
что
1) хn ≤ уn ≤ zn ∀n ≥ N0
;2)
Тогда {уn} сходится и
Доказательство.
Возьмем ∀ε > 0.
Слайд 5Возьмем N(ε) = max{ N0, N1(ε), N2(ε)}.
Тогда уn∈Uε(a) для
∀n ≥ N(ε).
Т.е. {уn} сходится и
ТЕОРЕМА 4.
Если
и хn ≥ уn ∀n, то а ≥ b.Доказательство.
По теореме о пределе разности
хn – уn → а – b и хn – уn ≥ 0,
тогда по теореме о сохранении пределом знака членов последовательности
a – b ≥ 0, т.е. a ≥ b.
Слайд 6Определение монотонной числовой последовательности и точной грани числовой последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Числовая
последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если хn+1≥ хn (хn+1≤ хn)
∀n и строго возрастающей (убывающей), если хn+1> хn (хn+1< хn) ∀n. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называются монотонными.ПРИМЕР.
{1/n}– убывающая, {n}– возрастающая, {sinn} – не является монотонной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Число а называется точной верхней (нижней) гранью числовой последовательности {xn}, если
xn ≤ а (xn ≥ а) ∀n ;
∀ε > 0 ∃N(ε): xN > a – ε (xN < a + ε).
Слайд 7 К известным из школы свойствам вещественных чисел добавим еще одно
важное Свойство Вейерштрасса .
В
Всякая возрастающая (убывающая), ограниченная сверху
(снизу) числовая последовательность имеет предел, причем, еслито
Слайд 9Число е.
Рассмотрим последовательность
окажем, что эта последовательность сходится.
Для этого
достаточно доказать что она:
возрастает;
ограничена сверху.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона при
где
Слайд 10
(1)
(2)
Все слагаемые в суммах (1) и (2) положительны, причем каждое
слагаемое
суммы (1) меньше соответствующего слагаемого суммы (2), так как
Слайд 11 Кроме того, число слагаемых в сумме (2) на одно больше,
чем в сумме (1). Поэтому
Теперь докажем, что последовательность ограничена
сверху. Заметим, чтоВ результате получим оценку:
Итак
Слайд 12 Итак {xn}- возрастает и ограничена сверху, а значит, согласно свойству
Вейерштрасса, имеет предел. Этот предел обозначается буквой е. Переходя к
пределу в последнем неравенстве, получим, что 2 < e < 3. Более точными оценками можно получить, что справедливо приближенное равенствое ≈2,718281828459045.
Доказывается также, что число е иррационально и, более того, трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Число е играет в математическом анализе особую роль. Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов.
