Предмет вычислительной математики. Классификация погрешностей. Численное

– Леонард Эйлер, метод ломаных
Леонард Эйлер (1707 – 1783)

ядер, ~ 55 PFlops
1950-ые
Первая Советская атомная бомба
БЭСМ-6, 1 MFlops
Трехмерное моделирование
Первые

Сложные трехмерные расчетные сетки

Серийные двумерные расчеты с достаточной разрешающей способностью

1970-ые

Женщины с арифмометрами, работали пока не уставали…

Кластеры типа Beowolf, ~ 10 GFlops

1990-ые

2014 год

Предмет вычислительной математики. Погрешности. Численное дифференцирование.

дело не только с непрерывными, но и с дискретными объектами

Погрешность вычислений в связи с ошибками округления;

Имеет значение обусловленность задач, т.е. чувствительность решения к малым изменениям входных данных;

Выбор вычислительного алгоритма, вообще говоря, влияет на результат вычислений;

Важная черта численного метода – экономичность, т.е. требование минимизации числа операций.

погрешность
Предмет вычислительной математики. Погрешности. Численное дифференцирование.

= | φ3 – φ | = | φ3 –

ΔΣ ≤ Δ1 + Δ2 + Δ3

Неустранимая погрешность – трение зависит от скорости не совсем линейно + погрешность определения g, l, начальных условий; Δ1 = | φ1 – φ |.

Погрешность метода – дифференциальное уравнение не решается точно, требуется применить какой-либо численный метод; Δ2 = | φ2 – φ1 |.

Вычислительная погрешность связана, например, с конечностью разрядной сетки; Δ3 = | φ3 – φ2 |.

+ ε(x) ), где мерой ε(x) может служить «машинное эпсилон»

Утверждение 1.1. Относительная погрешность округления при представлении вещественного числа в ЭВМ ε ≈ 2–t, где t – разрядность мантиссы.

В расчетах с двойной точностью t = 52, εdouble ≈ 10–16

Машинное представление вещественных чисел:

дифференцирование.
Приближенное вычисление значения синуса с помощью разложения в ряд Тейлора
Ряд

Напишем программу для вычисления значения синуса при:
X1 = π / 6 ≈ 0.52366
X2 = 12π + π / 6 ≈ 38.22277

(Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001. – С. 439.)

= 0;
double curr_sum = 0.0, curr_sum_old = 0.0, fact;
do {
fact

Результат расчета значения синуса:

Иллюстрация понятия вычислительной погрешности (2)

Для X1 = 0.52366: 0.500053…

Для X2 = 38.22277: 1.165079…

округления
Для | X | > 1: | ak | сначала

Иллюстрация понятия вычислительной погрешности (3)

Для | X | < 1: | ak | монотонно убывают

| ak | ~ 1015
ε ~ 10–16
Δ| ak | ~ 0.1

≈ ?

как мера малости по степеням h. Говорят, что погрешность метода

неустранимой погрешностью δ
Погрешность метода прямо пропорциональна h, неустранимая – обратно

для линейной функции u(x), погрешность метода 0

?
Метод неопределенных коэффициентов:

случай k = 1

неизвестных равно числу уравнений при условии:
n = l + m
Остаточный

A – детерминант Вандермонда. В случае различия всех узлов шаблона

N точек с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить

дифференцирование.
с максимальным порядком