Представление чисел в компьютере

целых чисел.
Представление вещественных чисел.
12.09.2011 г

плавающей точкой

компьютере хранятся в памяти в формате
с фиксированной запятой.

При хранении чисел в памяти в формате с фиксированной запятой каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки.


Достоинства:
простота и наглядность представления чисел;
простота алгоритмов реализации арифметических операций (вычитание заменяется сложением).
Недостаток:
конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения задач, в которых используются очень малые и/или очень большие числа.

1010=10102

памяти (8 битов).
Минимальное число:
Максимальное число:
Для n-разрядного представления

максимальное целое неотрицательное число равно 2n – 1.

Минимальное число равно 0.

Максимальное число равно 25510.

111111112 = 1000000002 -1 = 28 – 1 = 25510

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до 255.

формата «знак-величина» называется прямым кодом числа.
Старший (левый) разряд отводится под

знак числа:
0 – положительное число,
1 – отрицательное число.

Для хранения целых чисел со знаком отводится
две ячейки памяти (16 битов).

Для хранения больших целых чисел со знаком отводится
четыре ячейки памяти (32 бита).

выделения одного разряда на знак):
максимальное положительное число равно 2n-1

– 1,
минимальное отрицательное число равно – 2n-1

Диапазон хранения
целых чисел со знаком
от – 32 768 до 32 767.

Диапазон хранения
больших целых чисел со знаком
от – 2 147 483 648 до 2 147 483 647.

А10 = 215 – 1 = 3276710
А10 = – 215 = – 3276810

А10 = 231 – 1 = 2 147 483 647 10
А10 = – 231 = – 2 147 483 648 10

из способов выполнения операции вычитания является замена знака вычитаемого на

противоположный и прибавление его к уменьшаемому:
A – B = A + (–B).
Этим операцию арифметического вычитания заменяют операцией алгебраического сложения. Последняя и становится основной операцией.
Для машинного представления отрицательных чисел используют коды:
прямой,
обратный,
дополнительный,
модифицированный.

код обычно используется при хранении чисел в запоминающем устройстве, а

обратный и дополнительный коды — при выполнении над числами арифметических и некоторых других операций. При пересылках из запоминающего устройства в арифметическое и обратно числа перекодируются.
Все три кода состоят из кода знака (число отведённых разрядов l), кода целой части (m) и кода дробной части (n) числа. Сумма d =l+т+n называется длиной кода. Как правило l, т и n фиксированы. В случае целых чисел n=0, для правильных дробей обычно т=0, когда все числа одного знака, l=0.
Для положительных чисел код знака обозначается последовательностью нулей, для отрицательных — последовательностью единиц. Для положительных чисел прямой, обратный и дополнительный коды совпадают.

n-разрядным двоичным кодом один разряд (как правило, самый старший) отводится

для знака числа. Остальные n-1 разрядов - для значащих цифр. Значение знакового разряда равно 0 для положительных чисел, 1 - для отрицательных.


где - значение цифры в i-ом разряде, q –основание системы счисления.
Пример
. Таким образом, прямой код положительного числа совпадает с самим числом, а прямой код отрицательного числа отличается от самого числа единицей в старшем разряде.

обратного кода для отрицательных двоичных чисел. Для преобразования прямого кода

двоичного отрицательного числа в обратный код и наоборот необходимо знаковый разряд оставить без изменения, а в остальных разрядах 0 заменить на 1, а 1 на 0.
Пример: А1 = 0,11010; [А1]обр = 011010 (без изменений);
А2 = -0,11010; [А2]обр = 100101.
Обратный код двоичного числа является дополнением модуля числа до наибольшего числа без знака, умещающегося в разрядную сетку, т.е. до величины 1,111…1.

Обратный код строится только для отрицательного числа. Обратный код двоичного числа является инверсным изображением самого числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное значение.

Пример:+1210=11002=0_1100(прямой)=0_0011(обратный)
-15.2510=-1111.012=1_1111.01(прямой)=1_0000.10(обр.)

прямого кода усложняет структуру компьютера. В этом случае операция сложения

двух чисел, имеющих разные знаки, должна быть заменена на операцию вычитания меньшей величины из большей и присвоения результату знака большей величины. Введение дополнительного кода позволяет заменить вычитание на обычное сложение, что упрощает устройство процессора.

Таким образом, для преобразования прямого кода q-ичного отрицательного числа в дополнительный , надо преобразовать его в обратный код и в младший разряд добавить 1.
Примеры:

отрицательного числа необходимо:
модуль отрицательного числа представить прямым кодом в k

двоичных разрядах;
значение всех бит инвертировать:все нули заменить на единицы, а единицы на нули(таким образом, получается k-разрядный обратный код исходного числа);
к полученному обратному коду прибавить единицу.
При выполнении операции сложения с помощью специальных кодов знаковые разряды участвуют в сложении также как цифровые разряды. Знаковые разряды и цифры переноса из старшего цифрового разряда складываются как одноразрядные двоичные коды. Если при этом формируется перенос из знакового разряда, то он добавляется в младший разряд результата при использовании обратного кода и отбрасывается при использовании дополнительного кода.

абсолютной величине больший единицы, что ведет к искажению результатов вычислений.

Переполнение разрядной сетки легко обнаружить, используя модифицированный прямой, модифицированный обратный или модифицированный дополнительный коды. Отличие модифицированных кодов от обычных заключается в том, что на изображение знака числа отводится два разряда. “Плюс” изображается двумя нулями, а ”минус” – двумя единицами.
Например, обратные модифицированные коды чисел  А1 = 0,11010 и  А = -0,11010  запишутся в виде  [А1]обр = 00,11010;   [А2]обр = 11,00101.

компьютерном представлении.
00000000 000101002
11111111 111000102
11111111 111101102
2010 – 3010  11111111 111101102
+
+
Дополнительный

код

3010  11111111 111101102
Переведем полученный дополнительный код в десятичное число:

Инвертируем дополнительный код:
00000000 00001001

2. К полученному коду прибавим 1 (получим модуль отрицательного числа):
00000000 00001010

3. Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -10

3010  11111111 111101102
Переведем полученный дополнительный код в десятичное число:

Отнимем 1 от дополнительного кода:
11111111 11110101

2. Инвертируем полученное число:
00000000 00001010

3. Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -10

ограниченности диапазона
допустимых значений.

Выход результата за границы
допустимого диапазона называется

переполнением.

Переполнение при вычислениях с целыми числами не вызывает прерывания работы процессора, но результаты могут оказаться неправильными.

ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой
(положение

запятой в записи числа может изменяться).

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи:
А = m  qn,
где m – мантисса числа,
q – основание системы счисления,
n – порядок числа.

Для однозначности представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:
1/n ≤ |m| < 1,
т.е. мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

С фиксированной точкой - 25.43
С плавающей точкой – 0.2543 * ; 2.543 * ; 254.3*
С плавающей запятой удобно представлять числа очень близкие к нулю.

байт и три разряда второго байта выделяются для размещения мантиссы,

в остальных разрядах второго байта размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

В 4-байтовом формате представления вещественного числа первые три байта выделяются для размещения мантиссы, в четвертом байте размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

следующим образом (см. рис.).
На мантиссу отводится 23 бита, поэтому максимальная

величина мантиссы равна 223 —1 = 8 388 607, т.е. 7 десятичных цифр.
Компьютер при вычислениях отбрасывает лишние цифры в мантиссе, поэтому все вычисления с вещественными числами всегда выполняются приближенно (с ошибкой). Вещественные числа обрабатываются в компьютере медленнее, чем целые.

определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа,
а точность

(количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Преобразуем десятичное число 888,888 в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой:

888,888 = 0,888888  103

Число в форме с плавающей запятой занимает в памяти компьютера четыре байта (число обычной точности) или восемь байтов (число двойной точности).

Нормализованная мантисса m = 0,888888, порядок n = 3.

При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

11111112 = 12710, следовательно, максимальное число:
2127 = 1,7014118346046923173168730371588  1038.



Максимальное

значение положительной мантиссы:
223 – 1 ≈ 223 = 2(102,3) ≈ 10002,3 = 10(32,3) ≈ 107.

Максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411  1038, т.к. количество значащих цифр десятичного числа ограничено 7 разрядами).

Задача. Определить максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака – 24 разряда.

и вычитании чисел в формате с плавающей запятой сначала производится

выравнивание порядков (меньший по модулю порядок числа увеличивается до величины большего по модулю порядка числа, а мантисса уменьшается в такое же количество раз), а затем сложение или вычитание мантисс.

При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делится на мантиссу делителя.

После выполнения арифметической операции производится нормализация.

Выполнить арифметические операции с числами 0,1  25 и 0,1  23.