Представление чисел в компьютерных системах

операции над числами с плавающей точкой.

сигналов смыслом делает их СИМВОЛАМИ

естественные языки. Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки

для профессионального применения их в какой-либо сфере. Представление информации с помощью какого-либо языка часто называют кодированием.
Код — набор символов (условных обозначений) для представления информации.
Код — система условных знаков (символов) для передачи, обработки и хранения информации(со общения).
Кодирование — процесс представления информации (сообщения) в виде кода.
Все множество символов, используемых для кодирования, называется алфавитом кодирования. Например, в памяти компьютера любая информация кодируется с помощью двоичного алфавита, содержащего всего два символа: 0 и1.
Декодирование- процесс обратного преобразования кода к форме исходной символьной системы, т.е. получение исходного сообщения. Например: перевод с азбуки Морзе в письменный текст на русском языке.
В более широком смысле декодирование — это процесс восстановления содержания закодированного сообщения. При таком подходе процесс записи текста с помощью русского алфавита можно рассматривать в качестве кодирования, а его чтение — это декодирование.

быть использованы разные способы;
их выбор зависит от ряда обстоятельств:

цели кодирования,
условий,
имеющихся средств.

Если надо записать текст в темпе речи — используем стенографию; если надо передать текст за границу — используем английский алфавит; если надо представить текст в виде, понятном для грамотного русского человека, — записываем его по правилам грамматики русского языка.

«Здравствуй, Саша!»
«Zdravstvuy, Sasha!»

предполагаемым способом ее обработки.
Покажем это на примере представления чисел —

количественной информации. Используя русский алфавит, можно записать число "тридцать пять". Используя же алфавит арабской десятичной системы счисления, пишем «35». Второй способ не только короче первого, но и удобнее для выполнения вычислений. Какая запись удобнее для выполнения расчетов: "тридцать пять умножить на сто двадцать семь" или "35 х 127"? Очевидно — вторая.

Бодо в конце XIX века. В нем использовалось всего два

разных вида сигналов. Не важно, как их назвать: точка и тире, плюс и минус, ноль и единица. Это два отличающихся друг от друга электрических сигнала. Длина кода всех символов одинаковая и равна пяти. В таком случае не возникает проблемы отделения букв друг от друга: каждая пятерка сигналов — это знак текста. Поэтому пропуск не нужен.
Код называется равномерным, если длина кода всех символов равна.
Код Бодо — это первый в истории техники способ двоичного кодирования, информации. Благодаря этой идее удалось создать буквопечатающий телеграфный аппарат, имеющий вид пишущей машинки. Нажатие на клавишу с определенной буквой вырабатывает соответствующий пятиимпульсный сигнал, который передаетсяпо линии связи.
В честь Бодо была названа единица скорости передачи информации — бод.
В современных компьютерах для кодирования текста также применяется равномерный двоичный код.

Telex
Это интересно:
Отель, не имеющий телекса, не может иметь рейтинг "пять звезд".

представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1.

Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами.
С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование.
Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.
Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Эти знаки называются двоичными цифрами, по-английски — binary digit или

сокращенно bit (бит).

счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение

других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц, если представить эти значения как два возможных устойчивых состояния электронного элемента:
0 – отсутствие электрического сигнала;
1 – наличие электрического сигнала.
Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

для их записи – естественную и экспоненциальную.
Экспоненциальная форма записи чисел

используется для обозначения очень больших или очень маленьких чисел.
Например 0,000002=0,2*10-5 или 1000=103.

(положительные и отрицательные)
Для хранения чисел в памяти отводится определённое количество

разрядов, в совокупности представляющих собой k-разрядную сетку.

числа.
Память дискретна и адресуема.
Каждое число хранится в определенной ячейке

памяти.
Байты памяти нумеруются (адрес ячейки).

представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двубайтовом формате - от 00000000 000000002 до 11111111111111112.

100111 2 в двубайтовом формате:


Число 65 53510 = 11111111 111111112

в двубайтовом формате:

обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта,

при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак "плюс" кодируется нулем, а "минус" - единицей.
Диапазоны значений целых чисел со знаком

(кодирования) целых отрицательных чисел: прямой код, обратный код, дополнительный код.

одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины

кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами,

а единицы –нулями.

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

разряды цифровой части – двоичный код его абсолютной величины.
Пример
Прямой

код числа -1:

Знак числа «-»

числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы –

нулями.
Пример
Число: -1.
Код модуля числа: 0 0000001.
Обратный код числа: 1 1111110.

к его младшему разряду.
Пример
Число: -1.
Код модуля числа: 0

0000001.
Обратный код числа: 1 1111110
+1
1 1111111

помощью дополнительного кода.
Записать представление положительного числа.
Инвертировать код.
К инвертированному числу

прибавить 1.
ПРОВЕРИТЬ: при сложении с положительным числом получаем 0.

+ 1 = ?
1 + 1 = 10
10 + 1

= 11
10
+ 1
_____________
11

0

1

1

1

0

1

1 1 0
+
1011101+1100110 =
11000011
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1

. 101=
11110
1 1 0
1 0 1
х
1 1 0
0 0 0
1

1 0

+

1 1 1 1 0

сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет

существенно упростить конструкцию АЛУ.

Вычитание

100000-11=11101
Решение:

выполняем действия в двоичной системе счисления.    

101010:111=110
Решение:


Любые машинные вычисления содержат погрешность.

Поэтому корень из числа 4 вполне может быть равен 1,997

4. Деление

все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных

слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:



Получен правильный результат.

величине больше, чем А.
Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –710.

величине меньше, чем А. Например:



Компьютер исправляет полученный

первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы!!!

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –1110 вместо обратного

кода числа –1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.


При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –1010.

либо равна 2n–1, где n – количество разрядов формата чисел

(для однобайтового формата n=8, 2n–1 = 27 = 128). Например:





Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых (знак суммы – отрицателен, знак слагаемых – положительный), что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

В больше, либо равна 2n–1.
Например:
632 =01111112

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

1, рассмотренного для обратного кода, т.к. дополнительный код используется только

для отрицательных чисел.
 
 
 

больше, чем А. Например:



Получен правильный результат

в дополнительном коде.
При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –710.

величине меньше, чем А.
Например:




Получен правильный результат.

Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из

знакового разряда компьютер отбрасывает. Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

переполнением.
Переполнение приводит к ошибкам при автоматических расчетах или остановке выполнения

программы.
Программист должен правильно определять тип данных (диапазон чисел).

опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел. Нормализованная запись отличного

от нуля действительного числа A - это запись вида: А= m* qn, где m – мантисса числа (правильная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю), q – основание системы, n – порядок числа.

m=0.25324 — мантисса,
n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое

количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка».
Однако справедливы и следующие равенства:
25,324 = 2,5324*101 = 0,0025324*104 = 2532,4*102 и т.п.

Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа

в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:
0,1p ≤ m < 1p.

не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 25,324=0.25324

* 102.

формат с плавающей точкой (запятой).
Форма с плавающей точкой использует представление

вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком:

R = m * рn

m – мантисса,
n – порядок,
p – основание системы.

плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку

размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

1-й байт                    2-й байт     3-й байт   4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе

это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними выразится такой формулой:
Мр = р + 64.

имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой

процессор это смещение учитывает.
В двоичной системе счисления смещение:
Мр2 = р2+100 00002

с плавающей точкой.
1)Переведем его в двоичную систему счисления с

24 значащими цифрами.
25,32410= 11001,01010010111100011012
2)Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:
0,110010101001011110001101*10101

Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (510=1012)записаны в двоичной системе.

3) Вычислим машинный порядок.
Мр2 = 101 + 100 0000 = 100 0101.

4) Запишем представление числа в ячейке памяти.

Знак числа

порядок

мантисса

31

0

4 байта (число обычной точности) или 8 байт (число двойной

точности).
Мы рассмотрели пример представления числа 25,324 обычной точности

в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0

на 1.

в форме с плавающей запятой.