Приложения определенного интеграла Площади плоских фигур, заданных в

в полярных координатах

=f (x), где f (х) неотрицательна на отрезке [a; b],

где функция х = φ(t) монотонна на отрезке [α; β], причем φ(α) = а, φ(β) = b,
и имеет на этом отрезке непрерывную производную.
Тогда по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

стрелки:
точка А - начало обхода (при t = α),
точка В

2.

3.

В частности, если фигура ограничена замкнутой кривой, заданной в параметрической форме: x=x(t), y=y(t), 0 ≤t≤ T, то

Сначала выясним значения 
которые задают точки пересечения прямой 
 с первой аркой циклоиды.

Значение параметра 
соответствует точке В,
а значение
соответствует точке С.

а значение

в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), α ≤ φ ≤

Площадь S криволинейного сектора может быть вычислена по формуле