Приложения производной.Дифференциал функции

а) частные производные;
б) дифференцирование сложной

функции;
в) экстремум функции двух независимых переменных

равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний

существует (в указанном смысле).


Примеры:
1 .

2 .

по определению производной


При малых это отношение

сколь угодно мало
отличается от производной ф-и в т х0, т.е. можно
принять, что или

(1)
левая часть (1) есть приращение ф-и (*)

Это приближённое значение приращения ф-и
Называется дифференциалом функции и обозначается dy.

производной
функции на дифференциал независимой
переменной.
Def: Дифференциалом второго порядка
функции f(x) называется

дифференциал от
дифференциала первого порядка этой
функции

Дифференциалы высших порядков от
независимой переменной равны 0.

числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т. е. придать им

постоянные значения.
Определение 1. Если каждой паре действительных чисел (х;у)
из области D ставится в соответствие по определенному
правилу только одно число z из области E, то говорят, что
на множестве D задана функция двух переменных z = z (x, y).
Здесь D – область определения функции, E – множество ее
значений, х, у – независимые переменные.
Значение z (a; b) функции z (x, y) есть значение этой функции,
вычисленное при x = a, y = b.

Пример 1. Дана функция . Найти значение


функции в т. М (0; 1). .

(x, y) по аргументу х
называется производная этой функции по х

при постоянном у.

Обозначения: z’x, .

Аналогично частной производной функции
z = z (x, y) по аргументу у называется производная этой функции по у при
постоянном х.
Обозначения: z’y, .

Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении
частных производных справедливы обычные правила и формулы
дифференцирования функций одной переменной.
При дифференцировании полезна следующая таблица:
x′x = 1, x′y = 0
y′y = 1, y′x = 0
C′x = 0, C′y = 0, C = const.

и

Тогда произведение каждой
частной производной на дифференциал
соответствующей независимой
переменной называется частным
дифференциалом

данной
функции, взятым по этой переменной.

частный дифференциал по x

частный дифференциал по y

точки непрерывные частные
производные по каждой переменной. Тогда полный
дифференциал этой функции

равен сумме всех её
частных дифференциалов и обозначается так:
dz для функции z=f(x,y)

Пример:

z (x, y) называются
производные от частных производных первого

порядка т.е.




Порядок

дифференцирования указан в индексе при
прочтении слева направо.
Последние две производные, отличаются только
порядком дифференцирования, называются
смешанными и в случае их непрерывности равны.

= x(u, v), y = y (u, v),
u и v

– независимые переменные,
т.е. z = z (x (u, v), y (u, v)) = f (u, v) – сложная
функция. Тогда ее частные производные z′u
и z′v могут быть найдены по формулам:
z′u = z′x ⋅ x′u + z′y ⋅ y′u (1)
z′v = z′x ⋅ x′v + z′y ⋅ y′v (2).

.
Найти z′u и z′v

окрестности точки .
Говорят,что

функция имеет в этой
точке строгий максимум (минимум) ,
если
для всех точек (x,y), достаточно
Близких к .

вместе со
своими частными производными первого и второго порядков
и т.

P (x0, y0) является критической. Найдём в точке P
производные второго порядка и примем следующие обозначения:



Если , то функция имеет в т. P экстремум:
---- максимум при A<0 и
---- минимум при A>0
Если <0, то в т. P нет экстремума
Если =0, то заключение об экстремуме сделать нельзя. В этом
случае требуются дополнительные исследования.