Применение производной в физике и технике

исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но

и процессы: движение »
Ф. Энгельс

«… Нет ни одной области в математике, которая когда – либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …»
Н.И. Лобачевский

1820 - 1895

1792 - 1856

ЭПИГРАФ К УРОКУ

показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных

задач;
обратить внимание на связь данной темы с физикой и другими науками

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

способствовать формированию умений применять приемы: сравнения , обобщения, выделения главного, перенос знаний в новую ситуацию,;
развитию математического кругозора, мышления, математической речи, внимания и памяти.

РАЗВИВАЮЩАЯ :

содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, развивать культуру общения, активность;
способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

ЦЕЛЬ УРОКА

знаний.
III. Самопроверка знаний.
IV. Решение прикладных задач.
V. Подведение итогов.
Дерзай !!!
ПЛАН УРОКА

И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в

данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. . Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s’=f ’(t) и подставить в неё соответствующее значение t.

вычисления скорости движения
точки в любой момент времени

t ( t > 0);
б) найдите скорость в в момент t = 2c;
в) через сколько секунд после начала
движения точка остановится?
Решение:
а) v(t) = - t 2 + 4 t + 5.
б) v(2) = - 2 2 + 4∙2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).
в) v(t) = 0, - t 2 + 4 t + 5 = 0, t1 = -1, t2 = 5,
-1 < 0, не удовлетворяет условию задачи.
Точка остановится через 5 секунд после начала движения.

по закону

, где h – путь в метрах, t- время в секундах.
Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если , g = 10м/с2.
Решение:

=125.


Ответ: 125 м.

характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые

из них.

N = A ‘ (t)
Пусть дан неоднородный

стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:
ρ(l) = m ‘ (l)
3) Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:
C(t) = Q ’(t)
4) Сила тока есть производная заряда по времени:
I = q ‘ (t)

масса (в граммах) распределяется по закону

, где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня.
Решение:
ρ(l) = m(l)
ρ(l)= 8l – 2, ρ(4) = 32 – 2 = 30

Ответ: 30 г\см3

нагревания тела массой 1 кг от С

до температуры (по Цельсию), известно, что в диапазоне от до , формула
дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение:

= t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен

нулю?

Решение:
I(t) = q ‘ (t), ,


Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи.
Ответ: t = 2.

равномерно испаряясь так ,что её масса m изменяется по закону

m(t)=1-2t/3.
Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

t=3/2/
Капля испарится на 3/2 сек.
Обозначим время падения капли

через t;
V(t)=gt; ω(t)=m(t)∙V²(t) ⁄ 2.
Найдем критические точки на [0;3/2]

РЕШЕНИЕ:

g²t(1-t)=0

t=0 или t=1

3) ω(0)=0; ω(1)=g²/6; ω(3/2)=0;


ОТВЕТ: через 1 секунду после падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.

ее скорость и ускорение в момент времени t=2с.


2. Тело, масса

которого 5кг, движется прямолинейно по закону S=1-t+t2 , где S - измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

Вариант 2.
1. Материальная точка движется по закону s(t)=16t+2t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

2. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m=2l2 + 3l , где l – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:
отстоящей от начала стержня на 3см;
в конце стержня.

18t;
a(2)=18·2= 36 (м/с²).

2. Ответ: 902,5 Дж.

3. Ответ:

19А.

Вариант 2.
v(t)=s’(t)= 16+6t²;
v(2)= 40 (м/с);
a(t)=v’(t)= 12t;
a(2)= 24 (м/с²).

2.Ответ:15г/см; 103г/см.

3. Ответ: 5,8 К