Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему значению

2.

Функция f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если

на заданном промежутке большему значению аргумента соответствует меньше значение функции, а меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

положительному направлению оси абсцисс расположена касательная к графику?
5.
Какой знак имеет

6.

Какой знак имеет производная данной функции на заданном промежутке?

Вывод.

Если на заданном промежутке функция возрастает, то производная на этом промежутке положительна.

Обратно.

Если на заданном промежутке производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает.

оси абсцисс расположена касательная к графику?
9.
Какой знак имеет угловой коэффициент

10.

Какой знак имеет производная данной функции на заданном промежутке?

Вывод.

Если на заданном промежутке функция убывает, то производная на этом промежутке отрицательна.

Обратно.

Если на заданном промежутке производная отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.

промежутках области определения функция возрастает, на каких – убывает.
Пример 1.
Исследовать

1. Найдем производную данной функции.

У’ = 6х2 + 6х

2. Найдем нули производной.

6х2 + 6х = 0

3. Нанесем их на числовую прямую.

х

0

-1

4. Найдем знак производной на
каждом промежутке.

+

–

+

5. Определим поведение функции на каждом промежутке.

Функция возрастает на промежутках и .

Функция убывает на промежутке .

уꞌ

у

В точках х = - 1, х = 0 меняется монотонность функции.

Касательная к графику функции в этих точках параллельна оси Ох.

Характеристика точек х = -1, х = 0.

Производная в этих точках равна нулю.

0, называются стационарными.
х = - 1, х = 0 –

-1

0

х

уꞌ

у

+

–

+

Точку х = х0 , в которой данная функция переходит с возрастания на убывание, а производная данной функции переходит с «+» на «-», называют точкой максимума (хmax), а значение функции в этой точке называют максимальным значением функции (уmax).

хmax

Точку х = х0 , в которой данная функция переходит с убывания на возрастание, а производная данной функции переходит с «-» на «+» , называют
точкой максимума (хmin), а значение функции в этой точке называют максимальным значением функции (у min).

Пример 2.

Найти точки экстремума функции у = 3х4 – 16х3 + 24х2 – 11 и найти значение функции в этих точках.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значение производной в этих точках – экстремумами функции.

У’ =

12х3 – 48х2 + 48х

У’ = 12х(х2 – 4х + 4)

У’ = 12х(х –2)2

12х(х –2)2 = 0

х = 0 и х = 2

х

0

2

–

+

+

У’

х min

хmin = 0

уmin = у(0) = –11

Ответ: хmin = 0, уmin = – 11

Точку, в которой производная данной функции не меняет знак , называют точкой перегиба.

хmin

у

графику функции в точках х = -1; х = 1?
Чему

У’ (-1) = у’ (1)= 0

Можно ли провести касательную к графику функции в точках х = -2; х = 0; х =3?

Существует ли производная данной функции в заданных точках?

Внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует, называются критическими.

х

у

0

х

0

у

Примеры графиков функций, имеющих критические точки

Критические точки так же как и стационарные называются точками экстремума.

Если функция в данной точке имеет экстремум, то производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

промежутке и имеет внутри промежутка точку экстремума х = х0.

а) х = х0 - точка минимума, если в ней данная функция переходит с убывания на возрастание, а производная данной функции переходит с «-» на «+».

х

х0

+

–

хmin

б) х = х0 - точка максимума, если в ней данная функция переходит с возрастания на убывание, а производная данной функции переходит с «+» на «-».

х

х0

+

–

хmax

в) в точке х = х0 экстремума нет, если по обе стороны от этой точки функция не меняет монотонность, а производная имеет одинаковый знак.

х0

+

+

Экстремума нет, точка перегиба

х

х

–

–

Экстремума нет, точка перегиба

х0