Применение производных к исследованию функций и построение графиков

с осями координат
Промежутки возрастания и убывания функции; экстремумы функции
Промежутки выпуклости

и вогнутости функции; точки перегиба
Дополнительные точки, построение графика
Уравнение касательной в точке перегиба

нечетность:


Функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.

В(0;2)

Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции:
Функция называется возрастающей, если

большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её первой производной.

возрастает;
если на некотором интервале y’

убывает.
Точки, в которых первая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками 1 рода.
Если при переходе через критическую точку x0 слева направо производная поменяла знак с + на - , то x0 называется точкой максимума функции.
Если при переходе через критическую точку x0 слева направо производная поменяла знак с - на +, то x0 называется точкой минимума функции.
Максимум и минимум функции называются её экстремумами.

Точка максимума (-1;4)
Точка минимума (1;0)

x

она лежит ниже своей касательной.
Функция называется вогнутой, если она лежит

выше своей касательной.
Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот называются точками перегиба.
Критическими точками 2 рода называются точки, в которых 2-я производная функции равна 0 или не существует.

функции вогнутый;
если на некотором интервале y’’

интервале график функции выпуклый;

x

точке перегиба:







- уравнение касательной в точке перегиба

предел:

Частной производной функции f(x,y) по переменной y в точке  (x0,y0) называют

предел:


Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Частные производные

y соответственно называют выражения:



Смешанными частными производными второго порядка функции f(x,y)

называют выражения: