Признаки делимости на 7, на 6 на11 и на 4 проект по математике

математике

Выполнила ученица
6Б класса АСОШ№2
Ефимова Анастасия
2019г.

признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои

знания о

признаках делимости чисел.

Задачи:

Изучить историографию вопроса.

2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.

3. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел
на 4, 6.

Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.

Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11.

Сделать вывод

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

выполняя деления можно определить, делится ли

одно натуральное число на

другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и

времен.


Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали

древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно

изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).


При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы

простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел.


Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры

александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето

Эратосфена».

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.
 

6=1+2+3),
2.дружественных чисел :(каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220

и 284

284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),

3.фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),

4.Простых чисел 

необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют

натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например,

числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4

делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

…
Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные

из двух

последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или

образуют число, делящееся на 4.

источниках.
Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда

разность числа тысяч и числа,

выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося

числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится

на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7,

если b+2а делится на 7.

Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

когда результат вычитания удвоенной

последней цифры из этого числа без

последней цифры делится на 7.

Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на

соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.

Примеры:

10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на

7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000

на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от

деления 10 на 7).

цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр,

стоящих на

четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет
слева направо.

Пример:

2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти

группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:
Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре,

которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

группы:


1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)

–

это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на

50;

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это

признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то

действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие

признаки делимости - это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

с разными источниками ,я убедилась в том, что существуют другие

признаки делимости

натуральных чисел (на 7, 11), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков

делимости натуральных чисел.

Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно

упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые

можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых

признаков сложноваты. Может, поэтому они не изучаются в школе.

Собранный материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического

кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы.

Список использованной литературы (источников):
 
 
1.Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
2.Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980, 96 с. – (Популярные лекции по математике.)
3.Гельфанд М. Б., Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., - «Просвещение», 1985.
4.Депман И. Я. История арифметики. М., - «Просвещение», 1965 г.