Проблема V постулата

лежащих в основании классической планиметрии.
Пятый постулат геометрии Евклида гласит:
Если две

прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

Оригинальный текст (др.-греч.) 
Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
— ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

через него лежал путь к созданию новой геометрии – геометрии

Лобачевского, в корне изменившей взгляды на геометрию реального физического пространства и на геометрию как на абстрактную математическую науку.

Роль V постулата

трудно указать крупного математика, который не пытался бы доказывать 5-й

постулат.

В основном попытки доказательства сводились к получению его как логического следствия абсолютной геометрии, но на одной абсолютной геометрии вывести 5-й постулат невозможно.

b проходит через заданную точку A параллельно прямой a; докажем,

что любая другая прямая c, проведенная через ту же точку, пересекается с прямой a. Как упоминалось выше, расстояние между прямыми от точки их пересечения возрастает неограниченно (доказательство этой теоремы не опирается на V постулат). Но тогда в конце концов расстояние между c и b превысит расстояние между параллельными прямыми, то есть прямые c и a пересекутся.
Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено).

Доказательство Прокла

Прокл (V век н. э.)

Евклида» сообщает, что такое доказательство предложил Клавдий Птолемей, критикует его

доказательство и предлагает своё собственное.

Аксиома Прокла: Через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Прокл (V век н. э.)

Прокл (V век н. э.)

Доказательство ал-Джаухари, ученика ал-Хорезми (IX век), неявно подразумевало: если при

пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то тоже имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой.

Ал – Хорезми (IX век)

Ал - Джаухари

он опирается на предположение, что если две прямые удаляются друг

от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. Во втором — исходит из существования равноотстоящих прямых, причём этот факт ибн Курра пытается вывести из представления о «простом движении», т. е. о равномерном движении на фиксированном расстоянии от прямой (ему представляется очевидным, что траектория такого движения — тоже прямая).

Сабит ибн Курра (IX век)

фигуру, позже получившую название «четырёхугольник Ламберта» — четырёхугольник, у которого три

внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях.

Иоганн Генрих Ламберт (1728 — 1777)

Четырёхугольник Ламберта
или трипрямоугольник

геометрию механическое движение. Он предложил заменить V постулат на другой,

более простой: две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения.

Омар Хайям

в своей книге ас-Самарканди, и ряд исследователей считал его доказательством

ас-Самарканди.) Он исходит из верного в абсолютной геометрии утверждения о том, что для всякой прямой, пересекающей стороны данного угла, может быть построена ещё одна прямая, пересекающая стороны этого же угла и отстоящая от его вершины дальше, чем первая. Но из этого утверждения он делает логически необоснованный вывод о том, что через всякую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла, — и основывает на этом последнем утверждении всё дальнейшее доказательство.

стали известны Джону Валлису, и тем самым сыграли роль в

развёртывании исследований по неевклидовой геометрии в Европе.

Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

К XVI веку относится доказательство учёного-иезуита Христофора Клавиуса. Доказательство его, как и у ибн Курры, основывалось на утверждении, что линия, равноотстоящая от прямой — тоже прямая.

перевод сочинения ат-Туси и предлагает эквивалентную, но более простую формулировку:

существуют подобные, но не равные фигуры. Клеро в своих «Началах геометрии» (1741), как и Герсонид, вместо V постулата взял его эквивалент «существует прямоугольник».
В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату — гипотезы острого и тупого угла.

Джон Валлис (1616 — 1703)

Клеро

совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 году итальянский монах-иезуит, преподаватель

математики Джироламо Саккери. Он опубликовал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии». Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив «ложную геометрию», и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного.

Сочинение Саккери

четырёхугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным

соображениям. В этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив — ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает».
После этого Саккери переходит к опровержению «гипотезы острого угла». Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии».

Он рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой;

в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем».

Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

по теории параллельных. В обзоре тех лет (Г. С. Клюгель) исследуется более

30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик И. Г. Ламберт, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана (как и труд Саккери, посмертно) в 1786 году.

К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и

Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.
В своей книге Ламберт проницательно отметил:
«Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод — заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы».

пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны.

Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:
«В этом есть что-то восхитительное, что вызывает желание, чтобы третья гипотеза была справедлива. И всё же я хотел бы <…>, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом <…> неудобств. Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе <…>, астрономии пришлось бы плохо».

Геометрия на поверхности отрицательной кривизны

время и не вызвала интереса у тогдашних математиков. Та же

судьба постигла «астральную геометрию» немецких математиков Ф. К. Швейкарта (1817) и Ф. А. Тауринуса (1826), по идеям близкую к построенной Ламбертом.
Тем временем попытки «смыть пятна» с Евклида продолжались (Луи Бертран, Лежандр, Семён Гурьев и другие). Лежандр дал целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году, за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии.