Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики

Синицын
Анатолий Константинович

Кафедра ВМиП (а.

412 – 5к)

среды, используемых для поддержки принятия решений при проектировании технических систем

А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.:

Выш. Шк., 1988.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007

цели человек создает (или приспосабливает имеющуюся) некую
систему – т.е.

набор связанных элементов, образующих целостный объект.
Например, машина, телевизор, система производства, система нагрева, экономическая, общественная, мировоззренческая,…

Первые системы – рука-палка, колесо-телега, катапульта,..

Чтобы создать нужную систему он должен:

Предугадывать результаты действий системы.
Придумывать, как она должна быть устроена.

при создании полезных систем, человеку приходится постоянно решать две задачи

–

Экспертную и конструктивную.
Э.З. ставится следующим образом - «Что будет, если…». Как ведет себя система(объект) в тех или иных условиях?
Это задача анализа.
К.З. ставится следующим образом – «Как сделать, чтобы…». Как сконструировать систему (объект) с заданными свойствами?
Это задача синтеза.

генерации, усиления, передачи и приема электромагнитных волн
Элементы компьютерной техники- элементы

памяти, записи, преобразования сигналов
Технологические установки выращивания кристаллов с заданными свойствами
Установки сушки, термообработки и охлаждения материалов
Устройства автоматического управления

Все эти и многие другие системы объединяет то, что они описываются дифференциальными уравнениями.
Поэтому, чтобы их спроектировать, необходимо решить ДУ и найти оптимальные условия работы.
Большая доля современных пакетов программ и систем программирования для этого предназначена.

физические явления и решаются задачи
Как оценивается погрешность вычислений?
Откуда

возникают погрешности расчетов?
Итерационные методы решения задач

инженерных и физических задач:
экспериментальный и теоретический.
Экспериментальный метод, как правило,

связан с большими материальными затратами, а иногда в принципе невозможен.
Теоретический метод, или математическое моделирование, опирается на знание фундаментальных законов природы, используя которые строят математическую модель исследуемой системы.

математических символов и операций над ними
Требования к модели:
Адекватность. - В

модели реализуется отображение существенных свойств объекта при его изучении.
Экономичность. Бритва Оккама- отбрасываются незначительные факторы.
Принцип дополнительности. Использовать несколько моделей по возможности.
Математическая постановка задачи -предполагает описание математической модели и указание цели ее исследования.
найти max f(x);
найти x, при котором f(x)=0, и др.

краевых
искажений поля

алгоритм (т.е. строгую последовательность действий) для получения требуемого результата из

исходных данных
К точным методам относятся алгоритмы, позволяющие за конечное число действий получить в принципе (если нет ошибок округления) точное решение. Обычно оно получается в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма.
Приближенные - это методы, позволяющие за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к задаче, имеющей точное решение.
Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, т.е. конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью.

близость между точным и приближенным значениями некоторой величины. Близость мы

привыкли оценивать расстоянием между объектами.

А как оценить близость между двумя функциями f(x) и g(x) (векторами , матрицами A, B)?

соответствие число ║X║ (норма X), удовлетворяющее следующим аксиомам:
1.

- норма (положительное число).
2. только при X = ∅ (∅- нулевой элемент).
3. , α - число
4. - неравенство треугольника.

В качестве элементов рассматриваются функции, векторы или матрицы.
Введены обычные операции + - и умножение * на число α

Расстояние между элементами

определенных на интервале [a, b].
Норма и расстояние в C[a, b]

определяются по формулам:

для которых


В L2[a, b] имеются и разрывные функции,

т.е. C[a, b]⊆ L2[a, b].
Норма и расстояние:

пространстве L2
и "далекими" в пространстве С,
т.е. норма С

более «сильная»:

если (f, g)=0.

s порядка.
Норма определяется как


Расстояние


В этом пространстве близость

между функциями характеризует также близость их производных.
Функции f и h на рис. 1.1 будут «близкими» по норме и «далекими» по норме , причем

значениями некоторого элемента определяется через норму разности

Относительная

погрешность δX определяется как отношение абсолютной погрешности к норме элемента

которых следует помнить при выполнении расчетов

1. Неточность математической модели
2.

Погрешность исходных данных
3. Погрешность метода
4. Ошибки округлений

и описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной технической

задачи.
Уточнение модели за счет введения описания дополнительных факторов обычно приводит к ее усложнению и, как следствие, к трудности использования, поэтому необходим определенный компромисс (Бритва Оккама).
Выбор удачного компромисса - это творческий процесс, требующий большого опыта и инженерной интуиции.

наоборот, по этим данным затем делается устройство. В каждом случае

имеется так называемая неустранимая погрешность между исходными данными, участвующими в расчетах, и теми, которые реализуются. В результате этого получаемое решение также будет отличаться от реализуемого в устройстве.
В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса: корректные и некорректные.
Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения.
Задача называется некорректной, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах,.
Для решения некорректных, но правильных с физической точки зрения задач разрабатываются специальные методы

виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий.
При ограничении

лишь конечным числом вычислений вносится погрешность, контролируемая некоторыми параметрами метода.
Получение зависимости погрешности решения от параметров вычислительного метода является одной из основных задач вычислительной математики
Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность решения εh стремится к нулю, т.е. при . . В этом случае, если выполняется оценка , где С - const и не зависит от h, считается, что порядок погрешности равен p и обозначается коротко

членов ряда





Погрешность:

цифр, определяемым объемом ячеек памяти. Поэтому при вычислении, например, 1/3

= 0,3333...3..., и если округление производится на седьмом знаке, то вносится ошибка ε ≈ 10-8.
Когда вычислений много, то такие ошибки могут накапливаться и, наоборот, компенсироваться (положительные и отрицательные).
В зависимости от реакции на погрешность округлений вычислительные методы разделяются на устойчивые и неустойчивые.
Метод устойчив, если в процессе вычислений ошибки округлений не накапливаются, в противном случае метод неустойчив.
При увеличении количества вычислений по неустойчивому методу ошибки быстро нарастают, что приводит к переполнению ЭВМ.
Одной из задач вычислительной математики является установление условий устойчивости и разработка рекомендаций по созданию устойчивых методов.

сходящейся к точному решению x* бесконечной рекуррентной последовательности

элементов той же природы, что и x*.
Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу

Для реализации m-шагового метода требуется задать m первых членов, называемых начальным приближением

Процесс получения следующего k-го члена через предыдущие называется k-й итерацией.

Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член xk не будет удовлетворять заданной точности, т.е.

Ввиду того, что точное решение x* заранее неизвестно, обычно сходимость метода определяют по близости двух последних членов, т.е. расчеты производят до тех пор, пока не выполнится условие или более точно

Получаем x*≅xk

условие x0 и находим x1, x2, … xk
Условие сходимости