Производная функции

определена в некоторой окрестности точки (включая

точку ).
Определение 1.


Определение 2.
Касательной прямой l к графику функции
в точке называется предельное положение секущей , когда

Производной функции называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.

х

y

0

M

M

l

в точке
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции

в точке
где

0

XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из

физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.
И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

в точке
называется

прямая N, проходящая через точку
перпендикулярно касательной прямой

Уравнение нормали к графику функции.

Производная функции (3)

l

0

шаг.

.
,

Т.к. u и v не зависят от

условию, то она непрерывна, следовательно, по 2-му определению непрерывности:


Также по

условию существует производная

Значит

В итоге имеем

малых:

есть



2.
3.


Доказательство.
1..Возьмем

(предполагаем, что )
2.


3.

(ч.т.д.)

Функции
называются взаимно обратными,
если

или

0

х

y

Y

X

Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.

и логарифмическая функция

.

x

x

x

y

y

y

1

1

Обычно
x – аргумент
y - функция

Д.з. Построить график
логарифмической
функции при

других
обратных тригонометрических
функций.

функция
x = φ(y), f(x) в точке имеет

конечную производную .
Тогда обратная функция x = φ(y) в соответствующей точке
имеет производную, равную

произвольное приращение , тогда

соответствующее приращение получит функция x = φ(y).
При ввиду однозначности функции y = f(x) и . Тогда



Если , то, в силу непрерывности функции x = φ(y) и .

или

Эта функция является обратной для .





так как .


В результате

XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t

:

Пример 1. Окружность

Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)

Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)

0

0

0

y

y

y

x

x

x

t

R

M(x,y)

(t=0)

Первая арка

t

R

M(x,y)

параметрически:

t – параметр (вспомогательная переменная) .
Пусть x(t) и y(t) имеют производные для всех t из интервала
и пусть x(t) имеет обратную функцию t = Ф(x), также имеющую производную.

y(t), а t = Ф(x), т.е. Y=y(Ф(x)).
( t –

промежуточный аргумент).

По правилу нахождения производной сложной функции:
.

По теореме об обратной функции , тогда

производной первого порядка
называется производной второго порядка
функции

Определение 3.
Производная от производной

(n-1) -порядка
называется производной n – порядка
функции

Пример.

малыми
при

( или при ) ;
2)

3)

Тогда



( правило раскрытия неопределенности )

Теорема 2.
Пусть выполнены условия:
1) функции
являются бесконечно большими
при ( или при );
2)


3)

Тогда




( правило раскрытия неопределенности )