ПРОИЗВОДНАЯ. НЕСТАНДАРТНЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

2
Поздняков Павел Викторович

отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством

решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и жизнедеятельности, улучшения качества жизни является широкое внедрение математических методов в технику и практику.

важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую

для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
Это задачи математического анализа.

помощью дифференциального счисления эффективно решаются многие практические задачи.
Производная характеризует скорость

изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу. Термин

производная и современные обозначения y' , f ' ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

нахождения оптимального значения функции, описывающей реальный процесс.
Ведущая цель - показать

значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни и практической деятельности.
Методы исследования:
- сбор фактов (изучение литературы)
- качественный анализ, синтез, сравнение, обобщение полученной информации.
- самостоятельное решение практических задач методами дифференциального счисления, анализ и сравнение результатов с реальной действительностью.

на экстремум из различных областей науки, техники и практики;
3)

показать применение производной к решению конкретных практических задач а также продемонстрировать широкий спектр возможностей её применения.
 

языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи,

но и задачи практического характера в разных областях науки и техники

точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю,

если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции

и радиоактивный распад вещества и т.д.
Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. 

наибольшее или наименьшее значение функции. В качестве функции могут рассматриваться

периметр или площадь

фигуры или, например, объем тела, а аргументом функции служит какой-либо параметр фигуры или тела − длина стороны, угол между сторонами и т.п.

S ΄(t),
и ускорение
как производная скорости
a = v

΄(t),

тока электрический заряд меняется с течением времени

по закону q=q (t). Сила тока есть производная заряда q по времени.
I=q´(t)

переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого

содержит производную магнитного потока.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея :
ЭДС индукции в контуре, находящемся в переменном магнитном поле, равна по величине и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, которую ограничивает данный контур:
Еинд=Ф´(t)
 

одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях

научно-производственной деятельности. 
Если Q(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:
v(t)=Q`(t).
 

вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся

между собой и частично или полностью изолированных от других популяций).
Р = х´ (t) где, х(t) -численность в момент времени t, Р(t) – скорость изменения популяции,
Р(t0) – относительный прирост
в данный момент.

поля земли
3. Радиоактивность ядерно-геоифзичексих показателей
4. Многие значения в экономической географии
5.

Вывести формулу для
вычисления численности
населения на территории
в момент времени t.
у’= к у

экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:
1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?
3. Отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат)
4. Скорость и темпы изменения различных экономических показателей.
Также с помощью экстремума функции
(производной) в экономике можно
найти наивысшую производительность
труда, максимальную прибыль,
максимальный выпуск и минимальные
издержки.

момента в расчетной точке от расстояния до ближайшей опоры моста,

что является залогом прочности и безопасности моста.
2) в архитектуре, строительстве и эксплуатации зданий - распределение нагрузки для устойчивости конструкции и оптимальное использование строительных материалов.

длины поезда и его загрузки.

сравнение результатов с реальной действительностью.

площадке ездит кран. По другую сторону стены на расстоянии 10

м от неё лежит груз. Башня крана имеет высоту 20 м, а его стрела, прикрепленная к верхней точке башни, может быть расположена под любым углом к горизонту. При какой наименьшей длине стрелы кран может поднять груз через стену? (длина троса не ограничена)

и стеной. Это показывает опыт:

крана до стены,
Рассмотрим функцию
на промежутке

на наименьшее значение.

, если

;

х=10 – стационарная точка функции.
Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке х=10
Значит, х=10 - точка минимума


Ответ: 28,3 м

вода. При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных

других условиях) будет наибольшей?

радиусу профиля сечения (заполненного водой).

сечения к длине смоченного (подводного) периметра профиля.

Нижний ярус должен иметь форму цилиндрического зала, а верхний -

форму правильной четырехугольной призмы. Остальное – подсобные помещения. При какой высоте цилиндрической части объем второго яруса будет наибольшим?
Найти этот объем яруса в
форме призмы, если высота
всего комплекса – H,
радиус цилиндрического
яруса – R.

высоте должно быть равно отношению длины диаметра цилиндра к его

высоте.

осевое сечение конуса – треугольник SAT, содержащее диагональное сечение призмы

– прямоугольник MCLF.

под прямым углом. Определить наибольшую длину бревен, которые можно сплавлять

по данной системе каналов.

от ширины каналов сплава.

нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять в различных сферах

человеческой деятельности.
2) Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.
3) Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.