Простейшие движения твёрдого тела

В. Г. Непейвода
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

тела
3. Угловая скорость тела
4. Угловое ускорение

5. Равномерное вращение

9. Векторные выражения скорости и ускорений точки вращающегося тела

8. Скорость и ускорение точки вращающегося тела

6. Равнопеременное вращение

7. Переменное вращение

такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная через

и криволинейные, рис. 1 – 3.

координат Oxyz, рис. 4.

равенство

получим

образом, скорости точек тела при поступательном движении равны.
Найдём

поступательном движении тела все его точки описывают геометрически одинаковые (при

Как видим, ускорения точек тела при поступательном движении равны.

вполне определяется движением какой-нибудь одной из его точек. Следовательно, изучение

Поэтому для задания поступательного движения твёрдого тела достаточно знать параметрические уравнения движения произвольной точки тела. На практике обычно задают параметрические уравнения движения центра тяжести тела.

тела называется такое движение, при котором все точки тела, лежащие

не лежащих на оси вращения, будут окружности, плоскос-ти которых перпендикулярны

постоянно сталкиваемся в повседневной жизни: вращательное движение барабана стиральной машины

Чтобы задать в пространстве положение тела при его вращательном движении рассмотрим тело D, вращающееся вокруг неподвижной оси, рис. 6.

Связи, наложенные на это тело: в точке А расположен подпятник, в точке В – цилиндрический шарнир.

Через ось вращения Az проведём две полуплоскости: неподвижную Р и подвижную Q (связанную с вращающимся телом), рис. 7.

полуплоскость Q вращается вокруг оси вместе с телом. Следовательно угол

Угол ϕ принимается положительным, если со стороны положительного направления оси вращения видно, что тело вращается против хода часовой стрелки. В противном случае угол ϕ считается отрицательным

Измеряется угол ϕ в радианах, градусах или оборотах. Уравнение вращения тела в общем виде имеет такой вид:

быстроту и направление вращения тела.
Допустим, что за

тело совершает поворот на угол

Средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет численно равна

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется предел, к которому стремится значение ωср при стремлении промежутка времени Δt к нулю:

времени равна первой производной по времени от угла поворота тела.

Размерность угловой скорости равна радиан/время или 1/время. Так как радиан – величина безразмерная, то единица измерения угловой скорости обычно записывается так: 1/с.

называется величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени.

угловая скорость тела изменится на величину

Среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени будет равно

Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется предел, к которому стремится значение εср при стремлении промежутка времени Δt к нулю:

времени равно первой производной по времени от угловой скорости тела,

Размерность углового ускорения будет 1/время2, единица измерения ускорения обычно записывается так: 1/с2.

Вращение тела будет ускоренным, если ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, когда знаки разные.

во всё время движения остаётся постоянной (ω = const), то

Найдём закон равномерного вращения. Представим угловую скорость так

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении.

Интегрируем это равенство, учитывая начальные условия вращения: t = 0; ϕ = ϕ0

В результате интегрирования и преобразований получим

остаётся постоянным (ε = const), то вращение тела называется равнопере-менным.

Представим угловое ускорение так:

Разделим переменные в этом уравнении.

Выполним интегрирование этого равенства с учётом начальных условий.

6. Равнопеременное вращение

равнопеременном вращении тела.
Представим угловую скорость в виде производной:

Интегрируем это выражение, учитывая начальные условия: при t = 0 ϕ = ϕ0.

После интегрирования получим закон равнопеременного вращения тела

каждого из этих случаев.
Вращение тела с переменным во

1. Представим первое равенство в (12) в виде дифференци-ального уравнения:

Разделим переменные

Проинтегрируем это выражение с учётом начальных условий.

7. Переменное вращение

в виде дифференциального уравне-ния.
Разделим переменные.
Выполним интегрирование

2. Представим второе равенство в (11) в виде дифференци-ального

Разделим переменные, умножив обе части равенства на dϕ.

Производная в левой части равенства равна угловой скорости тела.

Интегрируем это равенство, учитывая начальные условия вращения тела.

скорости тела:
Представим равенство (15) в виде дифференциального уравнения.

Интегрируем это равенство с учётом начальных условий.

Если интеграл в левой части равенства является простым алгебраическим выражением,

Если интеграл в левой части равенства является трансцендентным выражением (угол ϕ в явном виде не выражается от t), то связь между временем и углом ϕ представляется трансцендентным уравнением:

Это трансцендентное уравнение решается на ЭВМ и связь между ϕ и t представляется в виде таблицы или графика.

дифференци-ального уравнения:
Разделим переменные, умножив равенство на dt и

Интегрируем это равенство с учётом начальных условий вращения:

Допустим, что интеграл в левой части равенства (16) – простое алгебраическое выражение и удалось представить угловую скорость в виде явной функции от t.

Разделим переменные, умножив равенство на dt.
Интегрируем это равенство

В результате получим уравнение вращения тела в общем виде:

трансцендентное выражение ( ω в явном виде не выражается функцией

Задавая серию значений t, это уравнение решают численно на ЭВМ и представляют зависимость ω от t в виде таблицы или графика.

Чтобы найти зависимость ϕ от t таблицу или график, полученные на ЭВМ по уравнению (17), интегрируют численно или графическим способом. Очевидно, что результат будет представлен в виде таблицы или графика.

Как было отмечено ранее, прямые, проведенные в теле параллельно оси

Траекториями всех точек, не лежащих на оси вращения, являются окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси, рис. 5.

плоскостью, перпендикулярной оси вращения, рис. 8
Рассмотрим какую-нибудь точку

Положение точки M на траектории определяется дуговой координатой s, начало которой совпадает с плоскостью P.

при вращении тела остаётся постоянным (α=const).
Рис. 8
Дуговая координата

Проекция скорости точки на касатель-ную к траектории точки равна

Таким образом, скорость точки вращающегося тела равна произведению его угловой скорости на расстояние от этой точки до оси вращения и направ-лена перпендикулярно радиусу её траектории,
рис. 8.

Из (18) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональна их расстояниям до оси вращения.

линии, проходящей через ось вращения приведен на рис. 9.

Подставляя сюда скорость точки из (15), получим:

тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения.
Касательное ускорение

полного ускорения точки M от радиуса траектории определяется по формуле:

Характер распределения ускорений точек вращающегося тела приведен на рис. 11.

тела

вектору углового ускорения, который тоже направлен вдоль оси

При этом, если вращение тела ускорен-ное, то направления векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают. В противном случае направления векто-ров угловой скорости и углового уско-рения противоположны, рис. 11.

точки М (причем угол MСO = 90° и MС =

Приведем векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела.

произведения.
Результат векторного произведения равен третьему вектору, построенному в

скорости по времени:
Или

что вектор ускорения равен векторной сумме двух векторов. Найдём модуль

Таким образом, вектор касательного ускорения точки тела, совершающего вращательное движение, равен

ускорение точки тела при вращательном движении равно сумме двух ускорений:

КОНЕЦ