Проверка качества спецификации модели

уравнения регрессии;
- качество выбора набора регрессоров (факторов)
Пусть имеем модель в

виде уравнения парной регрессии:
Yt = a0 + a1xt + ut (11.1)
Задача: оценить степень влияния экзогенной переменной Х (фактора) на величину эндогенной переменной Y.
Другими словами: насколько правильно предположение, что поведение эндогенной переменной зависит от значения фактора Х.

X и u.

Знаем, что уравнение регрессии описывает поведение среднего значения

эндогенной переменной:
Y* = a0 + a1xt (11.2)
Тогда уравнение (11.1) можно записать как:
Yt = Y*t +ut (11.3)

переменной (Total sum of squares )

RSS – регрессионная сумма квадратов (Regression sum of squares
ESS – сумма квадратов остатков (ошибок) (Error sum of squares

в виде:
TSS = RSS + ESS (11.4)
В качестве показателя степени

влияния выбранного регрессора на поведение эндогенной переменной принимается отношение:

(11.5)

R2 – называется коэффициентом детерминации

для моделей, в спецификации которой присутствует коэффициент a0.
Если коэффициент a0

отсутствует, то нарушается равенство (11.4).
Поясним это графически.

Y=0.786x

Y=2+0.5x

TSS=RSS=2.625
ESS=0

TSS=2.625
RSS=237.7
ESS=8.57

TSS≠RSS+ESS

такая модель называется «абсолютно хорошей». Это означает, что выбранный регрессор

полностью объясняет поведение эндогенной переменной.

Если R2 =0, т.е. RSS=0, а ESS=TSS, то такую модель называют «абсолютно плохой». В этом случае весь диапазон изменения эндогенной переменной объясняется влиянием случайного возмущения, а выбранный регрессор не оказывает влияния, не объясняет поведение эндогенной переменной.

значение вычисляется по результатам случайной

выборки
Это означает, что полученное значение коэффициента детерминации отличное от нуля еще не является достаточным основанием считать модель качественной.
Необходимо проверить статистическую гипотезу о равенстве нулю R2: (H0: R2=0).
Внимание! Формулируется гипотеза о равенстве нулю R2, т.е гипотеза о том, что модель плохая.

величину с известным законом распределения
(11.6)
где: к - количество регрессоров

в модели
n – количество наблюдений в выборке
Случайная величина FTest подчиняется закону распределения вероятностей Фишера.
Критическое значение зависит от уровня доверительной вероятности и двух параметров: k и (n-k-1).

данным выборки значение FTest.
3. Находится по таблице значение Fкр(Pдов, k,

n-k-1).
4. Сравниваются значения Fкр и FTest.
Если FTest ≤ Fкр
то гипотеза H0: R2=0 не отвергается
Значит модель имеет плохое качество спецификации.
Т.е. выбранный регрессор не объясняет поведение эндогенной переменной.
Замечание. Значения R2 и FTest вычисляются функцией «ЛИНЕЙН» в EXCEL.

(11.7)

дохода в Великобритании
R2
FTest
Результат «ЛИНЕЙН»
Fкр=F(0.95,1,17)=4.4
FTest > Fкр
Вывод: Спецификация модели качественная
Диаграмма рассеяния

и график модели

регрессоров.
В случае модели в виде уравнения множественной регрессии применяется модифицированный

коэффициент детерминации Ř2:

(11.8)

Здесь: R2 - коэффициент детерминации в форме (11.5)
n – объем выборки
k – количество регрессоров в модели

регрессии принятие гипотезы H0: R2=0 означает, что все регрессоры не

объясняют (не влияют) поведение эндогенной переменной.
Отклонение гипотезы H0: R2=0, означает, что не все регрессоры объясняют (влияют) поведение эндогенной переменной.
Другими словами, в составе выбранных на этапе спецификации модели регрессоров есть как влияющие, так и не влияющие регрессоры.
Вопрос. Как определить влияющие и не влияющие регрессоры?
Ответ. Необходимо проверить гипотезу H0: ai=0

Гаусса-Маркова дробь (11.9) подчиняется закону распределения Стьюдента
(11.9)
где: ãi –

оценка i-го параметра модели
с – заданная константа
σai-оценка стандартной ошибки оценки параметра
В данном случае с=0, т.е. сравнивается вычисленное значение оценки с нулем.
Если гипотеза не отвергается для i-го регрессора, то этот регрессор не оказывает влияние на эндогенную переменную и его можно исключить из уравнения модели.

и цен на жилье (Р)
Модель 1:
Y=a0+a1x+a2p+u
ti= 1.62

8.74 1.33

ti= 9.8 8.5

Модель 2:
Y=a0+bp+v

Выводы: регрессор x2 не значим, его можно убрать
модель 2 качественно объясняет поведение Y