Разбор 5 задания ЕГЭ по информатике

для того, чтобы сообщение, записанное с помощью неравномерного по длине

кода, однозначно раскодировалось, достаточно, чтобы никакой код не был началом другого (более длинного) кода.
Обратное условие Фано также является достаточным условием однозначного декодирования неравномерного кода. В нём требуется, чтобы никакой код не был окончанием другого (более длинного) кода.
Для возможности однозначного декодирования досточно выполнения одного из условий — или прямого, или обратного.
Заметим, что существуют варианты неравномерного кодирования, для которых оба условия нарушены, и тем не менее они однозначно раскодируемые.

Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию

Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 0; для буквы Б – кодовое слово 10. Какова наименьшая возможная сумма длин всех шести кодовых слов? Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

3) оставшиеся 4 кода повесить на 4 ветки одинаковой длины:
4) суммарная длина кодовых слов будет в этом случае меньше, чем в предыдущем случае:
1 + 2 + 4·4 = 19
Ответ: 19.

это задание удобнее решать с помощью дерева; условие Фано выполняется тогда, когда все выбранные кодовые слова заканчиваются в листьях дерева
построим дерево по известным кодовым словам: А – 0, Б – 10:

Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию

Фано. Для букв А, Б, В, Г использовали соответственно кодовые слова 000, 001, 10, 11. Укажите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы Д, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

согласно условию Фано, код декодируется однозначно, если все используемые кодовые слова соответствуют листьям такого дерева; видим, что для заданных кодовых слов это условие выполняется
может показаться, что ответ – 01, поскольку на эту ветвь можно «подвесить» букву Д, однако это не так – тогда будет некуда подвешивать оставшуюся букву – Е
поэтому для того, чтобы добавить в это дерево две буквы (Д и Е) и сохранить выполнение условия Фано, нужно в узле 01 сделать развилку, тогда получается два свободных кода, 010 и 011, из них меньший – 010
Ответ: 010.

содержащие только 4 буквы: X, Y, Z, W; для кодировки

букв используются кодовые слова длины 5. При этом для набора кодовых слов выполнено такое свойство: любые два слова из набора отличаются не менее чем в трёх позициях. Это свойство важно для расшифровки сообщений при наличии помех. Для кодирования букв X, Y, Z используются 5-битовые кодовые слова: X: 01111, Y: 00001, Z: 11000. Определите 5-битовое кодовое слово для буквы W, если известно, что оно начинается с 1 и заканчивается 0.

По условию кодовое слово для буквы W соответствует маске 1***0, где вместо звёздочек можно поставить 0 или 1.
Найдем расстояния Хэмминга – количество позиций, в которых отличается это кодовое слово от известных кодовых слов букв X, Y и Z:
X: 01111 Y: 00001 Z: 11000
W: 1***0 W: 1***0 W: 1***0
2+? 2+? 0+?
Знаки вопроса обозначают неизвестные неотрицательные числа – количество различающихся позиций в тех битах, которые в кодовом слове для буквы W неизвестны.
3) Как видим, наиболее критичная ситуация сложилась для пары Z-W. Для того, чтобы эти кодовые слова различались в трёх позициях, все неизвестные биты кодового слова буквы W должны иметь значения, обратные соответствующим битам кодового слова для буквы Z, то есть, W = 10110
4) Проверяем полученное кодовое слово: находим расстояние Хэмминга в парах X-W и Y-W:
X: 01111 Y: 00001 Z: 11000
W: 10110 W: 10110 W: 10110
3 4 3
5) Как видим, для все пар расстояние не меньше трёх, что соответствует условию задачи.
6) Ответ: 10110.

Г, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для

буквы А использовали кодовое слово 0, для буквы Б – кодовое слово 110. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех четырёх кодовых слов? 1) 7 2) 8 3) 9 4) 10

условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова; при этом в дереве кода все кодовые слова должны располагаться в листьях дерева, то есть в узлах, которые не имеют потомков;
построим дерево для заданных кодовых слов А – 0 и Б – 110:
штриховыми линиями отмечены две «пустые» ветви, на которые можно «прикрепить» листья для кодовых слов букв В (10) и Г (111)
таким образом, выбрав кодовые слова А – 0, Б – 110, В – 10, Г – 111, получаем суммарную длину кодовых слов 9 символов
Ответ: 3.

Г и Д, используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать

полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А – 0; Б – 100; В – 1010; Г – 111; Д – 110. Требуется сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно. Коды остальных букв меняться не должны. Каким из указанных способов это можно сделать? 1) для буквы В – 101 2) это невозможно 3) для буквы В – 010 4) для буквы Б – 10

код однозначно декодируется, если выполняется условие Фано или обратное условие Фано; в данном случае «прямое» условие Фано выполняется: с кода буквы А (0) не начинается ни один другой код, оставшиеся короткие коды (Б, Г и Д) не совпадают с началом длинного кода буквы В; таким образом, при сокращении нужно сохранить выполнение условия Фано
вариант 3 не подходит, потому что новый код буквы В начинается с 0 (кода А), поэтому условие Фано нарушено
вариант 4 не подходит, потому что код буквы В начинается с 10 (нового кода б), поэтому условие Фано нарушено
вариант 1 подходит, условие Фано сохраняется (все трёхбитные коды различны, ни один не начинается с 0)
Ответ: 3.