Раздел 1. Функции многих переменных

Если каждой упорядоченной паре действительных чисел (x,y)  D по

некоторому закону f поставлено, в соответствие хотя бы одно действительное число z  E, то говорят, что задана функция z = f (x,y) - функция 2-х переменных, при этом
D - область определения
E - область изменения (значения) функции.

точки в пространстве то все точки будут образовывать поверхность, которая

проектируется в область D. Геометрический смысл – это поверхность в 3-х мерном пространстве. Определение 2. Если каждому упорядоченному набору действительных чисел (x1,x2, …, xn)  D ставится по некоторому закону f в соответствие действительное число z  E, то говорят, что задана функция z = f (x1,x2, …, xn) - функция многих переменных (ФМП)

те значения, при которых она имеет смысл.
Например:






Для нахождения D ФМП

приходится решать системы неравенств.
Замечание. Для ФМП с числом переменных > 2 нет геометрического аналога.

Число А называется пределом фун-
кции z = f (x,y) в

точке (x0,y0), если   > 0   > 0


При этом пишут:

или

Замечание. Предел функции в точке не зависит от того, каким образом x и y стремятся к x0 и y0.
Согласно этому замечанию при вычислении пределов поступают следующим образом:

в этом случае говорят, что предел не существует; если предел

не зависит от способа стремления к точке (x0,y0), то предел существует.
Определение 4. Функция z = f (x,y) называется бесконечно малой при (x,y)  (x0,y0), если   > 0

 > 0
т.е.

Определение 5. Функция z = f (x,y) называется бесконечно малой при (x,y)  (x0,y0), если   > 0

  > 0

точке (x0,y0), если   > 0   >

0


т.е.


Если ввести приращение функции:
z = f (x0 + x, y0 + y) – f (x0,y0),
то определение непрерывности можно записать следующим образом:

точке (x0,y0), если

.


Замечание. Все теоремы, доказанные для функции одной переменной переносятся и на случай функций многих переменных.

z = f (x,y) определена в некоторой области D. Рассмотрим

точку (x0,y0)  D.
Дадим приращение x, такое, что (x0 + x,y0)  D.
Рассмотрим разность f (x0 + x, y0) – f (x0,y0).
Назовём её частным приращением функции z и обозначим xz = f (x0 + x, y0) – f (x0,y0).

Рассмотрим отношение:

при x  0, то этот

предел называется частной производной функции

z по переменной x и обозначается:



произносится: частная производная
функции z по переменной x.

y0 + y) – f (x0,y0) к y при y

 0, то этот предел называется частной производной функции z по переменной y и обозначается:



Замечание: из определения видно, что при нахождении частной производной по переменной x, переменная y – константа; при нахождении частной производной по переменной y, x – константа.

угла наклона касательной,

проведенной к графику функции z1 = f

(x,y0), лежащему в плоскости y = y0 с положительным направлением оси x.

- это тангенс угла наклона касательной,

проведенной к графику функции z1 = f (x0,y), лежащему в плоскости x = x0 с положительным направлением оси y.

f (x,y) называется дифференцируемой в точке M(x0,y0), если в некоторой

окрестности точки M приращение этой функции представимо в виде:
z = Ax + By + (x,y)x + (x,y)y.
где A, B – зависят только от значений (x0,y0); и

называется главная линейная часть приращения функции. При этом вводится обозначение:
dz

= Ax + By – дифференциал функции двух переменных.

Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема 1. Если функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M(x0,y0), то она непрерывна в этой точке.
Без доказательства.

окрестности точки M(x0,y0), то в точке M(x0,y0) существуют частные производные:


Без

доказательства.
Замечание. Так как дифференциал функции z = f (x,y) в точке M(x0,y0) выражается в виде:
dz = Ax + By,
То, в соответствии с теоремой 2:

существование производной являлось достаточным условием дифференцируемости функции в точке, то

для функции двух переменных это не так. Из существования производной не следует дифференцируемость функции. Функция будет дифференцируемой в точке, если выполняется условие следующей теоремы:

= f (x,y) была дифференцируема в точке M(x0,y0), достаточно, чтобы

в окрестности точки M(x0,y0) и в самой точке существовали непрерывные частные производные:



Без доказательства.

дифференциала функций двух переменных.
Вспомним, что общее уравнение плоскости, про-ходящей через

точку M(x0,y0) задаётся формулой:
А(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0,
где: A,B,C – направляющие косинусы нормали к плоскости, т.е. n = (A,B,C).
Общее уравнение прямой, проходящей через точку M(x0,y0) задаётся формулой:


где: m,n,p – косинусы направляющего вектора прямой, т.е. l = (m,n,p).

(x,y) в точке M(x0,y0), если поверхность и плоскость имеют одну

общую точку M(x0,y0).
Определение 13. Нормалью к поверхности z = f (x,y) в точке M(x0,y0), называется прямая, проходящая через точку M(x0,y0), перпендикулярно к плоскости, касательной к поверхности в этой точке.
Определение 14. Нормальным вектором к поверхности называется вектор нормали касательной плоскости или направляющий вектор нормали.

f (x,y) дифференцируема в точке M(x0,y0), то существует плоскость, касательная

к поверхности z = f (x,y) в точке M(x0,y0), причём:


Без доказательства.
Следствие 1. Так как координаты нормали к плоскости, касательной к поверхности z = f (x,y) в точке M(x0,y0) имеют вид:

как дифференциал функции z = f (x,y) выражается:


и уравнение касательной плоскости

имеет вид:


то геометрический смысл дифференциала – приращение аппликаты касательной плоскости.

= dy, тогда:



§ 6. Дифференцирование сложных функций.
§ 7. Инвариантность формы

записи первого дифференциала.
§ 8. Неявные функции.
§ 9. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
§ 10. Неинвариантность формы записи второго дифференциала.
§ 11. Формула Тейлора ФНП.

max (min) функции z = f (x,y), если существует такая

окрестность точки M(x0,y0), что x  этой окрестности выполняется неравенство:
f (x,y)  f (x0,y0) – для max;
(f (x,y)  f (x0,y0) – для min).
Определение 2. Точка M(x0,y0) называется max (min) функции z = f (x,y), если существует  >0 (сколь угодно малое), что для x,y из того, что:

(немедленно следует) f (x,y)  f (x0,y0) – для max;
(f (x,y)  f (x0,y0) – для min).

является точкой максимума или минимума функции z = f (x,y),

дифференцируемой в окрестности точки M(x0,y0), то частные производные в этой точке равны нулю:


Без доказательства.
Замечание. Может оказаться, что существуют точки, в которых есть максимум или минимум, но производная в которых не существует.

– критической точке для функции z = f (x,y), функция z

дважды дифференцируема, то если:
выражение
(x0,y0)= >0
при > 0 или > 0, то M(x0,y0) – точка
минимума.
при < 0 или < 0, то M(x0,y0) – точка
максимума.
2) Если выражение (x0,y0) < 0, то экстремума не существует.

доказательства.
Понятие об условном экстремуме.
Определение 3. Точка M(x0,y0) называется точкой условного

экстремума функции
z = f (x,y), если существует окрестность точки М, такая, что для x  окрестности точки M и удовлетворяющего уравнению: (x,y) = 0, выполняется неравенство:
f (x,y)  f (x0,y0) – точка max;
(f (x,y)  f (x0,y0) – точка min).

Суть его в следующем: Лагранж предложил ввести новую независимую переменную

 - множитель Лагранжа и вместо решения исходной задачи, исследовать на экстремум:
z* = f (x,y) - (x,y).
Схема дальнейшего исследования такая, какая и для исследования обычной функции на экстремум:
Находим критические точки:

о наибольшем и наименьшем значениях функции в области.
Если требуется найти

наибольшее и наименьшее значение функции z = f (x,y) в области D:



То эта задача решается так:
1) Находим точки экстремума в области D.

наименьшее значение. Для этого уравнение каждой границы подставляем в уравнение

исходной функции исследуем функцию одной переменной:
z1 = f (x, f1(x))
z2 = f (x, (x))
z3 = f (x, 0).
3) Наибольшее и наименьшее значение функции z в области D будет находиться среди точек экстремума  D и среди наибольших и наименьших значений, вычисленных на границе.