Раздел 2. Измерение и оценка систем

Оценка в условиях неопределенности
Раздел 2. Измерение и оценка систем

– определенную знаковую систему с соответствующими отношениями между знаками (числами).
Раздел

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Отношение между шкальными значениями такое же, как между измеряемыми свойствами

некоторое отношение Rx
– знаковая система, включающая значения измеряемых свойств

– гомоморфное отображение X на Y, такое, что:

только тогда, когда

Шкала:

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

свойств систем
Каждому измеряемому объекту сопоставляется наименование (класс).
Измерение состоит в определении

Обработка данных – операция проверки совпадения/несовпадения:

Можно вычислять частоты классов:

Мода – номер наиболее часто встречающегося класса: k = 2 (среднего возраста»)

δ15 = δ17 = δ18 = δ23 = δ32 = δ46 = ... = 1, δ12 = δ13 = δ14 = δ16 = δ24 = δ25 = ... = 0

p1 = p3 = 2/8, p2 = 4/8

- символ Кронекера

возрастанием или убыванием какого-либо качества.
Кроме отношений эквивалентности сохраняются отношения предпочтения:
если
то
Судя

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

- номер объекта в упорядоченном ряду (ранг)

длине шкалы. Начало координат произвольно.
Используется для величин, не имеющих абсолютного

При измерении в разных интервальных шкалах (температура по Цельсию и Фаренгейту) отношения двух интервалов должны быть одинаковыми для всех шкал:

Только интервалы имеют смысл настоящих чисел, и только над интервалами следует выполнять арифметические операции.

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Можно определить, на сколько (но не во сколько раз) свойство одного объекта превосходит то же свойство другого объекта

9° С до 36°С
Неправильно: t воды увеличилась в 2 раза,

Соотношение сохраняется при переходе от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта: t°F = 1,8 t°C + 32
t воды была: 9°С = 48,2°F , t воды стала: 18°С = 64,4°F,
t молока была: 9°С = 48,2°F , t молока стала: 36°С = 96,8°F.
Отношение изменений температур воды и молока по Цельсию:
(18 - 9) / (36 - 9) = 9 / 27 = 1/3.
Отношение изменений температур воды и молока по Фаренгейту:
(64,4 – 48,2) / (96,8 – 48,2) = 16,2 /48,6 = 1/3.
Соотношение интервалов сохранилось.

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Пример

то же свойство другого объекта.
Измеряемые величины имеют естественный абсолютный

Основное свойство - сохранение отношения двух шкальных значений при переходе от одной шкалы к другой

Значения, измеренные в шкале отношений, являются «полноправными» числами,
с ними можно выполнять любые арифметические действия.

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Абсолютная шкала
Имеет абсолютный нуль и абсолютную единицу. Пример - числовая ось.

если выполняются аксиомы тождества:
1. А = А (рефлексивность).
2. Если А=

Ранговая шкала используется, если выполняются аксиомы упорядоченности:
4. Если А ≠ В то либо А > В либо В > А. (антисимметричность).
5. Если А >В и В > С, то А > С (транзитивность).

Шкала интервалов используется, если дополнительно известны расстояния между объектами

Шкала отношений используется, если в выполняются аксиомы аддитивности:
6. Если А = Р и В > 0, то А + В > Р
7. А + В = В + А.
8. Если А = Р и В =Q, то А + В = Р+Q
9. (А + В)+ С= А + (В + С)

Для использования абсолютной шкалы необходимо наличие абсолютного нуля и абсолютной единицы

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

массы, температуры
Как правило, измерения производятся измерительными приборами
Субъективные измерения –

Как правило, измерения производятся экспертами или лицом, принимающим решения
Результатом является оценка – лингвистическое значение («плохо», «хорошо» ...) либо число, отражающее меру (интенсивность) выраженности качественного свойства или приоритет объекта среди множества других по данному свойству.

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Для удобства сравнения объектов необходима обобщенная (интегральная) оценка.
В случае

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

выше:
qij – оценка i-го объекта по j-му критерию
qij ab –

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Оценка: 0.8 0.5 0.75

В случае если чем абсолютное значение больше, тем оценка ниже:

Оценка: 0.25 0.75 0.5

j – оценка i-го объекта по j-тому частному критерию,
vj

Если веса одинаковы:

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.1. Измерение свойств систем

Измерение свойств систем
qi – интегральная оценка i-го объекта

свойств систем

Оценка свойств систем
Определение предпочтительности оцениваемых объектов:
метод ранжирования
метод парных

Определение меры (интенсивности) выраженности качественного свойства у оцениваемых объектов:
метод непосредственной оценки
метод последовательного сравнения

О1 > O2 > O3

О1
O2
O3

О1, О2 и О3 разными экспертами:
Для обобщения мнений экспертов

Эквивалентным объектам дают одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению присваиваемых им рангов.
Такие ранги называют связанными

Сумма: 8 6.5 3.5
Обобщенный 3 2 1
ранг

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

О2 = О3 Ранги: (1 + 2) / 2 = 1.5

свойств систем
Для оценки согласованности мнений экспертов - коэффициент конкордации:
m –

- оценка мат. ожидания

– показатель связанных рангов в s-й ранжировке

hk – число равных рангов в k-й группе связанных рангов

объектов
Мат. ожидание: ( 8 + 6.5

Сумма
показателей связанных рангов

hk – число равных рангов в k-й группе связанных рангов

HS = 1, h1 = 2
Т = ТS = 23 - 2 = 6

K = (12 * 10.5) / (32 * (33 – 3) – 3*6) =
= 126 / (9 * 24 – 18) = 126 / 198 = 0.63

0.5 < K < 0.7 – заметная согласованность

Коэффициент конкордации

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

Отклонения от мат. ожидания:

Отклонения: (8-6)2 + (6.5-6)2 + (3.5-6)2 = 10.5

в виде матрицы:
Матрица должна быть согласована:
wii = 1

Сумма элементов матрицы по столбцу дает ранг объекта от наилучшего к худшему

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

Сравниваем объекты O1, О2, О3
О1 > О2, О1 > О3, О2< О1, О2< O3, O3 O2

свойств систем
Для построения обобщенной матрицы - метод нахождения медианы.
Обобщенная матрица
Элемент

Матрица эксперта 1

Матрица эксперта 2

Матрица эксперта 3

Оценка свойств систем
Превосходство i-го объекта над j-тым измеряется в баллах

Обобщенные оценки строятся с помощью методов осреднения:
aij – оценка i-го

Это могут быть:
баллы по 5-, 10-, 100-балльной шкале;
оценки от 0 до 1;
лингвистические значения - «плохо (0.25)», «хорошо (0.75)», «отлично (1.0)» и т.д.

Обобщенная оценка 0.82 0.64 0.58

kj - коэффициенты компетентности экспертов

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

непосредственную оценку.
Допущения:
каждому объекту (варианту решения) oi соответствует действительное неотрицательное число

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

Метод может применяться, если допущения выполняются.
Пример, когда допущения не выполняются:
если сравниваемые варианты несовместимы, т.е. не могут наблюдаться одновременно

наименее предпочтительному: О1 > О2 > О3 > …> Оn
Раздел

Тема 2.2. Оценка свойств систем

Корректировка оценок , выставленных на шаге 2, так, чтобы они удовлетворяли построенным на шаге 3 неравенствам (начиная с последнего неравенства).

…
3.n-2. Оn-2 >= On-1+On?

3.2. О2 >= О3+О4+ …+ Оn? Да – переход на шаг 3.3
О2 >= О3+О4+ …+ Оn-1? Да – переход на шаг 3.3
…
О2 >= О3+О4?

Сравнение каждого объекта, начиная с О1, лучше ли он комбинации остальных объектов:
3.1. О1 >= О2+О3+ …+ Оn? Да – переход на шаг 3.2
О1 >= О2+О3+ …+ Оn-1? Да – переход на шаг 3.2
…
О1 >= О2+О3?

Непосредственная оценка объектов. Для каждого объекта определяется его мера значимости в виде действительного числа.

О1 > О2 > О3 > О4 > О5
Непосредственная оценка:

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.2. Оценка свойств систем

Итоговые оценки: О1 =8.5, О2 =5, О3 =3, О4 =1.5, О5 =1

(1) О1 < О2+О3 +О4 + О5 8.5 < (5+3+1.5+1)? Да. Не корректируем

(2) О1 < О2+О3+ О4 8.5 < (5+3+1.5)? Да. Не корректируем

(3) О1 > О2+О3 7 > (5 +3)? Нет. Корректируем: О1 =8.5

(4) О2 < О3+О4+О5 5 < (3+1.5+1)? Да. Не корректируем

(5) О2 > О3+О4 4 > (3+1.5)? Нет. Корректируем: О2 =5

Корректировка оценок, начиная от (6), заканчивая (1):
(6) О3 > О4+О5 2 > (1.5+1)? Нет. Корректируем: О3 =3

3.3. О3 >= O4+O5 ? Да: О3 > О4+О5 (6)

3.2. О2 >= О3+О4+О5 ? Нет: О2 < О3+О4+О5 (4)
О2 >= О3+О4 ? Да: О2 > О3+О4 (5)

3. Сравнение каждого объекта с комбинацией остальных объектов:
3.1. О1 >= О2+О3+ О4 + О5? Нет: О1 < О2+О3 +О4 + О5 (1)
О1 >= О2+О3+ О4? Нет: О1 < О2+О3+ О4 (2)
О1 >= О2+О3? Да: О1 > О2+О3 (3)

систем
В случае невозможности объективных измерений используются экспертные методы оценивания систем.
Этапы

Постановка проблемы, определение цели экспертизы

Разработка процедуры проведения экспертизы

Формирование группы экспертов

Проведение опроса экспертов

Обработка мнений экспертов, обобщение мнений

Интерпретация результатов экспертизы

свойств систем
Способы оценки качеств эксперта:
Априорные методы (не используется информация о

анкетный метод – используются объективные характеристики, имеющие документальное подтверждение (стаж работы, ученая степень, ученое звание, количество публикаций, индекс цитирования)

метод списка (разновидность метода взаимной оценки) - каждый эксперт составляет список компетентных специалистов. Коэффициент компетентности – отношение числа списков, в которых эксперт присутствует, к общему числу списков;

взаимная оценка – эксперты оценивают друг друга.

самооценка - эксперт сам оценивает свои качества по некоторой шкале;

свойств систем
Апостериорные методы (используется информация о результатах участия эксперта в

Тестовые методы (эксперт выполняет тестовые задания).
Правильные ответы на вопросы теста (например, значения оцениваемых параметров) должны быть известны аналитической группе, проводящей тест и должна быть разработана шкала для определения точности оценок, даваемых экспертом.

метод оценки достоверности – определяется относительная частота случаев, когда мнение эксперта подтвердилось (например, прогноз)

метод отклонения от групповой оценки – рассчитывается коэффициент отклонения, как отношение отклонения индивидуальной оценки эксперта от результирующей групповой оценки к максимально возможному отклонению;

условиях неопределенности
информация практически
отсутствует
информация собрана не полностью или она не

информация собрана, но полностью определенное описание не получено

Источник неоднозначности – внешняя среда

Источник неоднозначности – используемый исследователем язык

В процессе моделирования происходит отображение реальной ситуации на формализованный язык.
Если нет взаимно однозначного соответствия между объектами отображаемой реальности и объектами языка, имеет место неопределенность.

условиях неопределенности
неточность измерений, выполняемых физическими приборами
Имеется несколько возможностей, становящихся

может быть синтаксической, семантической и прагматической

отображаемые одним и тем же словом объекты существенно различны

применение того или иного слова для отображения объектов неоднозначно

неопределенность состояния внешней среды.
Себестоимость изделий – 10 руб., цена продажи

Выбор управления в условиях риска

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

Пример. Изготовление и продажа изделий

50* 5 –10*10 = 150

50*10 –10*10 = 400

50*10 –10*10 = 400

50*10 –10*10 = 400

50*5 – 10*20 = 50

50*15 –10*20 = 550

50*20 –10*20 = 800

50*20 –10*20 = 800

50*5 – 10*30 = 0

50*15 –10*30 = 450

50*25 –10*30 = 950

50*30 –10*30 = 1200

ui
kij – эффективность ui для состояния среды wj
pj – вероятность

Веро- 0.3 0.4 0.2 0.1
ятность

150*0.3 + 400*0.4 + 400*0.2 + 400*0.1 =325
50*0.3 + 550*0.4 + 800*0.2 + 800*0.1 =475
0*0.3 + 450*0.4 + 950*0.2 + 1200*0.1 =490

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

uopt = u3

2.3. Оценка в условиях неопределенности
Критерий Лапласа
О состояниях среды ничего не

(150 + 400 + 400 + 400) / 4 = 337.5
(50 +550 + 800 + 800) / 4 = 550
(0 + 450 + 950 + 1200) / 4 = 650

uopt = u3

= 0
Критерий Вальда
max = 400
max = 800
max = 1200
Критерий максимакса
Критерий

Это критерий, осторожного наблюдателя.
Он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях

ЛПР надеется на лучшее состояние среды и в большой степени рискует

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

uopt = u1

uopt = u3

2.3. Оценка в условиях неопределенности
Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)
коэффициент
оптимизма
При α

Результат зависит от отношения к риску ЛПР

0.6*400 + (1-0.6)* 150 = 300
0.6*800 + (1-0.6)* 50 = 500
0.6*1200 + (1-0.6)* 0 = 720

Коэффициент оптимизма
α = 0.6

uopt = u3

потерь:
Оптимальным является вариант с минимальной из максимальных оценок потерь по

800
400
150

Максимум потерь

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

Критерий Сэвиджа (минимакса)

uopt = u3

максимум 150 550 950 1200

степень уверенности в том, что x принадлежит множеству (1 –

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

Пример. Нечеткое множество «выходной день»:
{пн/0, вт/0, ср/0, чт/0, пт/0, сб/0.75, вс/1} или {сб/0.75, вс/1}

Нечеткое множество «горячий кофе» можно задать на базовом множестве температур

Дискретная функция принадлежности

Непрерывная функция принадлежности

условиях неопределенности
Лингвистическая переменная – значения являются нечеткими множествами.
Пример. Переменная «возраст»

Базовое множество – конкретные люди
Х = {Иванов, Петров, Сидоров, Кузнецов}.
Значения можно определить:
молодой = {Иванов/0.3, Петров/0.8};
средний = {Иванов/0.6, Сидоров/0.25};
пожилой = {Сидоров/0.7, Кузнецов/1}.

Если X - значения возраста в годах (0 ≤ x ≤ 100), то функции принадлежности для значений переменной «возраст» можно задать графически

Дискретная функция принадлежности

Непрерывная функция принадлежности

Иванов – 30 лет
μмол = (35 - 30)/(35 - 20) = 0.33
μср = (30 - 20)/(35 - 20) = 0.66
µпож = 0

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

Петров – 55 лет
μмол = 0
μср = (60 - 55)/(60 - 45) = 0.33
µпож = (55 -50)/(70 - 50) = 0.25

нечеткое множество, содержащееся одновременно в A и B, с функцией

Объединением нечетких множеств A и B является наименьшее нечеткое множество, включающее как A, так и B, с функцией принадлежности:

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

Пример. Нечеткое множество «небольшое натуральное число»:
{1/1.0, 2/1.0, 3/0.9, 4/0.8, 5/0.6, 6/0.5, 7/0.4, 8/0.2, 9/0.1}
Нечеткое множество «число, приблизительно равное 2»:
{1/0.5, 2/1.0, 3/0.6, 4/0.4, 5/0.2, 6/0}
Нечеткое множество «небольшое натуральное число, приблизительно равное 2»:
{1/0.5, 2/1.0, 3/0.6, 4/0.4, 5/0.2, 6/0}

отображение истинности T: U → [0, 1].

Пример: Т(«Иванов -

Конъюнкция нечетких высказываний:

Дизъюнкция нечетких высказываний:

Если Т(«Иванов - высокий») = 0.7, Т(«Иванов - молодой») = 0.5, то
Т(«Иванов - высокий» И «Иванов - молодой») = min (0.7, 0.5) = 0.5

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности

характеризуемые
лингвистическими переменными:
«качество»:
«стоимость»,

Исходные значения переменных «качество» и «стоимость» задаются непосредственно экспертами

П1: If «стоимость» = 'н' & «качество» = 'х' then «эффективность» = 'в';
П2: If «стоимость» = 'с' & «качество» = 'у' then «эффективность» = 'с';
П3: If «стоимость» = 'в' & «качество» = 'у' then «эффективность» = 'н';
…

Для В1 по правилу П1 выводим «эффективность» = 'в‘ , Т= min (0.8, 0.7) = 0.7
Для В2 по правилу П3 выводим «эффективность» = ‘н‘ , Т= min (0.75, 0.65) = 0.65
Для В3 по правилу П2 выводим «эффективность» = ‘с‘ , Т= min (0.6, 0.9) = 0.6

Значения переменной «эффективность» выводятся по правилам-продукциям:

Раздел 2. Измерение и оценка систем

Тема 2.3. Оценка в условиях неопределенности