Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы

затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа,

ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.
Цель работы: помочь учащимся 11 классов успешно сдать выпускной экзамен.

получающиеся сплавы или смеси однородны.
При решении этих задач считается,

что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
Процент - одна сотая любого вещества.  
Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.  
Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.

вещества в смеси (или сплаве);

на вычисление массы смеси (сплава).

арифметическим способом;
алгебраическим способом;
с помощью графика;
с помощью формулы.

г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8

% раствор уксусной кислоты?

Решение: 1 способ – с помощью таблицы:

Так как подливали только воду, масса уксусной кислоты в растворе не изменилась. Составляем уравнение :
0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550
Ответ :1,55 кг воды.

х литров воды. Получаем схему:

Уксусная Уксусная
кислота кислота

70% + х литров 8%
воды
200 г. (200 + х) г.
0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550
Ответ :1,55 кг воды.

Прямоугольники равновелики, так как в сосуд доливали только воду, количество

соляной кислоты в растворе не изменилось (Масса смеси умноженная на концентрацию равна количеству чистого вещества.) Приравняв площади, равновеликих прямоугольников получаем:
8(200+х)=70*200,
1600+8х=14000,
8х=12400,
х=1550.
Ответ: 1,55кг воды

таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет

концентрация получившегося раствора?

Решение: 1 способ – с помощью формулы.
Пусть количество каждого из растворов было V.
Тогда количество сухого вещества в первом растворе 0,15V , а во втором – 0,19V. После того как растворы смешали их общий объем стал 2V, а количество сухого вещества в смеси стало 0,15V+0,19V. Концентрация раствора равна:

Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
Ответ: 17.

левый столбец таблицы, искомую полученную концентрацию х запишем в центральный

столбец. Правый столбец таблицы заполним разностями исходных и полученной концентрации, вычитая из
большей концентрации меньшую.
Отношение полученных разностей
равно отношению долей, в которых требуется смешать растворы для получения из растворов исходной концентрации раствора с требуемой концентрацией. Так как объемы смешиваемых растворов равны, имеем:


Ответ: 17% концентрация получившегося раствора.

Разделим получившийся раствор на две равные части. Рассмотрим прямоугольники с

площадями S1 и S2. Прямоугольники равновелики, так как концентрация и объем раствора одинаковые. Приравняв, площади прямоугольников получаем:
(19-x)*V=(x-15)*V,
19-x=x-15,
x=17.
Ответ: 17% концентрация
получившегося раствора.

одну треть воды выпарили. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение – с

помощью схемы(наиболее простой способ решения этой задачи):
До выпаривания:

25% 25% 25% 25%
После выпоривания:

% % %
Сейчас соль стала составлять третью часть всего
раствора, т.е. 100% : 3 = %
Ответ: %.

и получили 600 г 15%-го раствора. На сколько граммов масса

первого раствора меньше массы второго?

Решение: 1 способ – алгебраический.
Обозначим x массу первого раствора,
тогда масса второго (600 - x).
Составим уравнение:
0,3x + 0,1* (600 - x) = 600 * 0,15,
0,3х + 60 - 0,1х = 90,
0,2х = 30,
x = 150.
600 - 150 = 450 г; 450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора

Прямоугольники равновелики, так как количество соляной кислоты в обоих растворах

после смешивания одинаково (Масса смеси умноженная на концентрацию равна количеству чистого вещества.)

Приравняв площади,
равновеликих
прямоугольников получаем
15x = 5 (600- x)
15х = 3000 – 5х
15х + 5х = 3000
20х = 3000
Х = 150
600 – 150 = 450г.; 450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора

раствора. Получим схему:



30x+10(600-x)=15*600,
30x+6000-10x=9000,
20x=3000,
X=150(грамм)- масса первого раствора
600 – 150

= 450г.- масса второго раствора
450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора

и решим пропорцию:
,
5(600-x)=15x,
3000-5x=15x,

20x=3000,
x=150(грамм)- масса первого раствора.
600 – 150 = 450г.- масса второго раствора
450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора

меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг.

Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение: 1 способ – старинный арифметический:
Пусть масса первого сплава равна m кг, тогда масса второго сплава m+3 кг.
Заполним схему:

Отношение полученных масс равно отношению
долей, в которых требуется сплавлять исходные
сплавы. Поэтому кг.
Тогда масса второго сплава равна 6 кг, а масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.

1 сплава. Тогда схема для решения такой задачи имеет вид:



Составим

и решим уравнение:
10m+40(m+3)=30*(2m+3),
10m+40m+120=60m+90,
-10m=-30,
m=3(кг) – масса 1 сплава.
Тогда масса второго сплава равна 6 кг, а масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.

содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять

каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение: 1 способ - с помощью схемы.



0,15х+0,65*(200-х)=0,3*200,
0,15х+130-0,65х=60,
-0,5х=-70,
х=140.
Ответ : надо взять140г. первого сплава и 60г. второго сплава.

второго y грамм. Тогда их масса равна x+y=200, а концентрация

равна 0,15x+0,65y=0,3*200. Получаем систему уравнений:






Ответ :надо взять140г. первого сплава и 60г. второго сплава.

приходится на 1 часть:
200: (35+15) = 4 (грамма ) –

в 1 части
15*4=60 (грамм) – 2 сплав
35*4=140 (грамм) – 1 сплав
 Ответ : надо взять140г. первого сплава и 60г. второго сплава

задач на смеси, сплавы, растворы мы увидели красоту, сложность и

притягательность данных способов.
Выбор способа решения зависит от конкретной задачи и от умения решающего.
 

Магницкий (1669—1739)

Учительская
газета. Издательский дом «Комсомольская правда». Москва. 2013
Решу ЕГЭ. Образовательный портал

для подготовки к экзаменам. http://reshuege.ru/test?theme=88
HYPERLINK http://festival.1september.ru/