Разделы презентаций


Презентация на тему Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест

Презентация на тему Презентация на тему Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест из раздела Разное. Доклад-презентацию можно скачать по ссылке внизу страницы. Эта презентация для класса содержит 30 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь удобным проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций TheSlide.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Слайд 2
Разностные методы решения   уравнений газовой динамики.  Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».
Текст слайда:


Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».




Слайд 3
Теория разностных методов имеет два аспекта:
Текст слайда:



Теория разностных методов имеет два аспекта:
1) методы построения разностных схем;
2) обоснование выбранной разностной схемы.

Большинство задач являются нелинейными, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач

В газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с
разрывными решениями интегро-дифференциальных
уравнений.

Понятие сходимости разностной схемы существенно
зависит от класса решений законов сохранения.

Норма близости двух обобщенных (разрывных) решений
является слабой (норма пространства )

.


Слайд 4
Способы описания газодинамических течений и построение разностных схем.1-й способ.      Область
Текст слайда:



Способы описания газодинамических течений и построение разностных схем.

1-й способ. Область плоскости , в которой рассматривается движение, разбивается сильными и слабыми разрывами на отдельные области гладкого течения, в которых удовлетворяются уравнения газовой динамики.

На самих разрывах удовлетворяются условия совместности.

Обобщенное решение есть совокупность гладких решений, определяемых в областях и примыкающих друг к другу через линии разрывов с соблюдением условий совместности.

Наиболее известным разностным методом, соответствующим этому способу описания, является метод характеристик.





Слайд 5
2-й способ.       Обобщенное  решение  определяется интегральными  законами
Текст слайда:



2-й способ. Обобщенное решение определяется
интегральными законами сохранения в эйлеровых или
лагранжевых координатах.

Описание является единообразным, поскольку уравнения
газовой динамики и условия совместности - следствия
законов сохранения.

Разностные схемы, получаются на основе единообразной аппроксимации законов сохранения независимо от характера течения и поэтому носят название однородных схем или схем сквозного счета.


Слайд 6
3-й способ. Обобщенное решение определяется как предел классического решения некоторой  системы квазилинейных параболических  уравнений
Текст слайда:



3-й способ. Обобщенное решение определяется как предел классического решения некоторой системы квазилинейных параболических уравнений с малыми параметрами при старших производных.
Пусть


(3.1)

исходная система уравнений газовой динамики, записанная
в виде законов сохранения. Тогда соответствующая ей
параболическая система имеет вид:


(3.2)


Слайд 7
Здесь            вектор-функция, описывающая течение,
Текст слайда:



Здесь вектор-функция, описывающая течение,

, векторные функции от векторного аргумента ,

- квадратная матрица, - малый параметр.


Матрица подбирается таким образом, чтобы решение

системы (3.2) обладало достаточной гладкостью и при

приближалось к решению системы (3.1).











Слайд 8
Способы единообразного описания газодинамических течений.      Выполняются  интегральные  законы  сохранения.
Текст слайда:



Способы единообразного описания газодинамических течений.

Выполняются интегральные законы сохранения.
Запишем их для случая одномерного течения с различного рода симметрией, т.е. для декартовой, цилиндрической и сферической систем координат .


В эйлеровых координатах они имеют вид:


(3.5)

(3.4)

(3.3)


Слайд 9
В лагранжевых (массовых) координатах  законы  сохранения имеют вид:(3.6)
Текст слайда:



В лагранжевых (массовых) координатах законы
сохранения имеют вид:




(3.6)

(3.7)

(3.8)





Слайд 10
Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные закона сохранения без явного введения в них псевдовязкости являются схемы
Текст слайда:



Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные закона сохранения без явного введения в них псевдовязкости являются схемы Лакса, Лакса-Вендроффа, С.К. Годунова.

Характерной чертой прямой аппроксимации интегральных законов сохранения является свойство консервативности или дивергентности получающихся разностных схем.

Оно означает, что уравнения разностной схемы могут быть интерпретированы как интегральные законы сохранения (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) записанные для ячейки сетки, образованной пересечением прямых
с прямыми при некоторой

аппроксимации (или интерполяции) величин, входящих в законы сохранения на границах ячейки.


Слайд 11
Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные  аппроксимации  (интерполяции) величин на границах
Текст слайда:



Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные аппроксимации (интерполяции) величин на границах ячейки.

Если при этом разностная схема сходится, т.е. семейство разностных решений имеет предел:


и этот предел удовлетворяет именно нужным законам
сохранения (3.3)-(3.5), а не каким-либо другим.


Слайд 12
Указанное свойство консервативных разностных схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений
Текст слайда:



Указанное свойство консервативных разностных схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений параболического типа:


(3.10)

в которой «вязкость» - см. правую часть (3.10) - входит консервативным или дивергентным образом, как производная от выражения



Слайд 13
Для системы  уравнений (3.10) также имеем похожее свойство. Если при
Текст слайда:



Для системы уравнений (3.10) также имеем похожее свойство.

Если при решение имеет предел ,
то этот предел удовлетворяет законам сохранения:






То есть, является обобщенным решением системы уравнений


(3.11)

(3.12)


Слайд 14
Введение вязкости в законы газовой динамики достигается заменой давления   в уравнениях (3.3)-(3.5)
Текст слайда:



Введение вязкости в законы газовой динамики достигается заменой давления в уравнениях (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) величиной :





(3.13)

На внутренних (контактных) границах это условие вытекает из требования непрерывности векторов потока импульса и энергии:


(3.14)


Слайд 15
В случае постоянного коэффициента  вязкости     и политропного
Текст слайда:



В случае постоянного коэффициента вязкости и политропного газа для эффективной ширины ударного перехода в лагранжевых переменных получается выражение:



(3.15)


(3.16)

где

где - скачок скорости на ударной волне.

Для реальных газов коэффициент вязкости довольно мал,
порядка длины свободного пробега молекулы газа, поэтому обычно полагают вязкость линейной:



Слайд 16
Исходя из этих соображений, Дж. Фон Нейман и Р. Рихтмайер предложили нелинейную вязкость:(3.17)   Исследования показали,
Текст слайда:



Исходя из этих соображений, Дж. Фон Нейман и Р. Рихтмайер предложили нелинейную вязкость:


(3.17)

Исследования показали, что ширина ударного перехода для вязкости (3.17) равна: .

Она имеет порядок и не зависит от силы ударной волны.

Вязкий член имеет в гладкой части течения порядок и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета.






Слайд 17
Особенность нелинейной вязкости такова, что терпит разрыв вторая производная. Так как
Текст слайда:



Особенность нелинейной вязкости такова, что терпит разрыв вторая производная. Так как в области ударной волны градиенты всегда велики, то разрыв производных приводит к постоянному источнику возмущений, вызывающих сильные осцилляции гидродинамических величин в
окрестности фронта ударной волны. Ее примерный вид следующий:


Слайд 18
Разностная схема Неймана-Рихтмайера - «крест» для системы уравнений газовой динамики с вязкостью.
Текст слайда:



Разностная схема Неймана-Рихтмайера - «крест» для системы уравнений газовой динамики с вязкостью.






Слайд 19
Если ввести вязкость   , новую переменную         и
Текст слайда:



Если ввести вязкость , новую переменную и заменить , то эту систему можно представить в виде:









(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)


Слайд 20
При  построении  своей  разностной схемы «крест» Нейман
Текст слайда:



При построении своей разностной схемы «крест» Нейман и Рихтмайер, для достижения точности второго порядка и во избежание нежелательной интерполяции, все расчитываемые термодинамические величины: , ,
и скорость разнесли по разным точкам сетки – полуцелым и целым соответственно.


Третье уравнение системы (для энергии) они использовали в недивергентном виде:












(3.20A)

Разностная схема «крест» имеет вид:


Слайд 21
(3.22)(3.23)(3.24)(3.25)(3.26)(3.27)
Текст слайда:









(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)


Слайд 22
Текст слайда:




Слайд 23
Если применить сдвиг по временному индексу:(3.28)То тогда  формулы (3.22), (3.23) и (3.26) принимают вид:(3.29)(3.30)(3.31)
Текст слайда:



Если применить сдвиг по временному индексу:


(3.28)

То тогда формулы (3.22), (3.23) и (3.26) принимают вид:




(3.29)

(3.30)

(3.31)


Слайд 24
При произвольном уравнении состояния (3.27)формула (3.24)требует итераций для определения       .
Текст слайда:



При произвольном уравнении состояния (3.27)

формула (3.24)

требует итераций для определения . В случае идеального газа формула (3.24) допускает явное разрешение относительно . Если аппроксимировать не уравнение: (3.20 А)


а закон сохранения энергии в интегральном виде (3.8), т.е.


то в расчетах потребуется интерполировать скорость (плохо!).



Слайд 25
Поскольку в плоском случае в волнах сжатия и ударных волнах выполняется неравенство:в то
Текст слайда:



Поскольку в плоском случае в волнах сжатия и ударных волнах выполняется неравенство:


в то время как для волн разрежения выполняется прямо противоположное условие:


то связи с этим Лэттер предложил следующее выражение для вязкого члена:


(3.32)


Слайд 26
Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкостьСхемы (3.29) - (3.30) с условием
Текст слайда:



Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкость



Схемы (3.29) - (3.30) с условием для вязкости следующего вида:





где - а скорость звука исследовались А.А. Самарским и В.Я. Арсениным.








Слайд 27
(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)      Ю.П. Попов и А.А. Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами.
Текст слайда:








(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Ю.П. Попов и А.А. Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами.
В случае лагранжевых переменных она имеет вид:


Слайд 28
(3.37)При выполнении этих условийПопов и Самарский назвали схему (3.33) - (3.36)
Текст слайда:




(3.37)

При выполнении этих условий


Попов и Самарский назвали схему (3.33) - (3.36)

полностью консервативной.

Чтобы уравнение (3.36) в сочетании с (3.33) – (3.35) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разностной схемы интегрального закона сохранения энергии необходимо, чтобы


Слайд 29
При
Текст слайда:



При схема (3.33) – (3.36) имеет порядок аппроксимации



Все остальные схемы этого класса имеют порядок аппроксимации



Слайд 30
THE END
Текст слайда:



THE END


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика