Разделы презентаций


Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест презентация, доклад

Содержание

Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Слайд 2
Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».


Разностные методы решения   уравнений газовой динамики.  Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».

Слайд 3

Теория разностных методов имеет два

аспекта:

1) методы построения разностных схем;
2) обоснование выбранной разностной схемы.

Большинство задач являются нелинейными, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач

В газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с
разрывными решениями интегро-дифференциальных
уравнений.

Понятие сходимости разностной схемы существенно
зависит от класса решений законов сохранения.

Норма близости двух обобщенных (разрывных) решений
является слабой (норма пространства )

.

Теория разностных методов имеет два аспекта:

Слайд 4

Способы описания газодинамических течений и построение разностных схем.
1-й способ.

Область плоскости

, в которой рассматривается движение, разбивается сильными и слабыми разрывами на отдельные области гладкого течения, в которых удовлетворяются уравнения газовой динамики.

На самих разрывах удовлетворяются условия совместности.

Обобщенное решение есть совокупность гладких решений, определяемых в областях и примыкающих друг к другу через линии разрывов с соблюдением условий совместности.

Наиболее известным разностным методом, соответствующим этому способу описания, является метод характеристик.




Способы описания газодинамических течений и построение разностных схем.1-й способ.      Область

Слайд 5

2-й способ. Обобщенное

решение определяется
интегральными законами сохранения

в эйлеровых или
лагранжевых координатах.

Описание является единообразным, поскольку уравнения
газовой динамики и условия совместности - следствия
законов сохранения.

Разностные схемы, получаются на основе единообразной аппроксимации законов сохранения независимо от характера течения и поэтому носят название однородных схем или схем сквозного счета.
2-й способ.       Обобщенное  решение  определяется интегральными  законами

Слайд 6

3-й способ. Обобщенное решение определяется как предел классического решения некоторой

системы квазилинейных параболических уравнений с малыми параметрами

при старших производных.
Пусть


(3.1)

исходная система уравнений газовой динамики, записанная
в виде законов сохранения. Тогда соответствующая ей
параболическая система имеет вид:


(3.2)

3-й способ. Обобщенное решение определяется как предел классического решения некоторой  системы квазилинейных параболических  уравнений

Слайд 7

Здесь

вектор-функция, описывающая течение,


, векторные функции от векторного аргумента ,

- квадратная матрица, - малый параметр.


Матрица подбирается таким образом, чтобы решение

системы (3.2) обладало достаточной гладкостью и при

приближалось к решению системы (3.1).










Здесь            вектор-функция, описывающая течение,

Слайд 8

Способы единообразного описания газодинамических течений.

Выполняются интегральные законы сохранения.
Запишем их

для случая одномерного течения с различного рода симметрией, т.е. для декартовой, цилиндрической и сферической систем координат .


В эйлеровых координатах они имеют вид:


(3.5)

(3.4)

(3.3)

Способы единообразного описания газодинамических течений.      Выполняются  интегральные  законы  сохранения.

Слайд 9

В лагранжевых (массовых)

координатах законы
сохранения имеют вид:



(3.6)
(3.7)
(3.8)



В лагранжевых (массовых) координатах  законы  сохранения имеют вид:(3.6)

Слайд 10

Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные закона сохранения без явного

введения в них псевдовязкости являются схемы Лакса, Лакса-Вендроффа,

С.К. Годунова.

Характерной чертой прямой аппроксимации интегральных законов сохранения является свойство консервативности или дивергентности получающихся разностных схем.

Оно означает, что уравнения разностной схемы могут быть интерпретированы как интегральные законы сохранения (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) записанные для ячейки сетки, образованной пересечением прямых
с прямыми при некоторой

аппроксимации (или интерполяции) величин, входящих в законы сохранения на границах ячейки.

Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные закона сохранения без явного введения в них псевдовязкости являются схемы

Слайд 11

Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные

аппроксимации (интерполяции) величин на границах ячейки.

Если

при этом разностная схема сходится, т.е. семейство разностных решений имеет предел:


и этот предел удовлетворяет именно нужным законам
сохранения (3.3)-(3.5), а не каким-либо другим.

Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные  аппроксимации  (интерполяции) величин на границах

Слайд 12

Указанное свойство консервативных разностных

схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений параболического типа:

(3.10)
в

которой «вязкость» - см. правую часть (3.10) - входит консервативным или дивергентным образом, как производная от выражения


Указанное свойство консервативных разностных схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений

Слайд 13

Для системы уравнений

(3.10) также имеем похожее свойство.

Если при

решение имеет предел ,
то этот предел удовлетворяет законам сохранения:






То есть, является обобщенным решением системы уравнений


(3.11)

(3.12)

Для системы  уравнений (3.10) также имеем похожее свойство. Если при

Слайд 14

Введение вязкости в законы газовой динамики достигается

заменой давления в уравнениях (3.3)-(3.5) или

(3.6)-(3.8) величиной :





(3.13)

На внутренних (контактных) границах это условие вытекает из требования непрерывности векторов потока импульса и энергии:


(3.14)

Введение вязкости в законы газовой динамики достигается заменой давления   в уравнениях (3.3)-(3.5)

Слайд 15

В случае постоянного коэффициента вязкости

и политропного газа для эффективной

ширины ударного перехода в лагранжевых переменных получается выражение:



(3.15)


(3.16)

где

где - скачок скорости на ударной волне.

Для реальных газов коэффициент вязкости довольно мал,
порядка длины свободного пробега молекулы газа, поэтому обычно полагают вязкость линейной:


В случае постоянного коэффициента  вязкости     и политропного

Слайд 16

Исходя из этих соображений, Дж. Фон Нейман и Р. Рихтмайер

предложили нелинейную вязкость:

(3.17)
Исследования показали, что ширина ударного

перехода для вязкости (3.17) равна: .

Она имеет порядок и не зависит от силы ударной волны.

Вязкий член имеет в гладкой части течения порядок и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета.





Исходя из этих соображений, Дж. Фон Нейман и Р. Рихтмайер предложили нелинейную вязкость:(3.17)   Исследования показали,

Слайд 17

Особенность нелинейной вязкости такова,

что терпит разрыв вторая производная. Так как в области ударной

волны градиенты всегда велики, то разрыв производных приводит к постоянному источнику возмущений, вызывающих сильные осцилляции гидродинамических величин в
окрестности фронта ударной волны. Ее примерный вид следующий:
Особенность нелинейной вязкости такова, что терпит разрыв вторая производная. Так как

Слайд 18

Разностная схема Неймана-Рихтмайера - «крест» для системы уравнений газовой динамики

с вязкостью.





Разностная схема Неймана-Рихтмайера - «крест» для системы уравнений газовой динамики с вязкостью.

Слайд 19

Если ввести вязкость , новую переменную

и заменить

, то эту систему можно представить в виде:









(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

Если ввести вязкость   , новую переменную         и

Слайд 20

При построении

своей разностной схемы «крест» Нейман и Рихтмайер, для

достижения точности второго порядка и во избежание нежелательной интерполяции, все расчитываемые термодинамические величины: , ,
и скорость разнесли по разным точкам сетки – полуцелым и целым соответственно.


Третье уравнение системы (для энергии) они использовали в недивергентном виде:












(3.20A)

Разностная схема «крест» имеет вид:

При  построении  своей  разностной схемы «крест» Нейман

Слайд 21







(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)

(3.22)(3.23)(3.24)(3.25)(3.26)(3.27)

Слайд 23

Если применить сдвиг по временному индексу:

(3.28)
То тогда формулы (3.22),

(3.23) и (3.26) принимают вид:



(3.29)
(3.30)
(3.31)

Если применить сдвиг по временному индексу:(3.28)То тогда  формулы (3.22), (3.23) и (3.26) принимают вид:(3.29)(3.30)(3.31)

Слайд 24

При произвольном уравнении состояния (3.27)
формула (3.24)
требует итераций для определения

.

В случае идеального газа формула (3.24) допускает явное разрешение относительно . Если аппроксимировать не уравнение: (3.20 А)


а закон сохранения энергии в интегральном виде (3.8), т.е.


то в расчетах потребуется интерполировать скорость (плохо!).


При произвольном уравнении состояния (3.27)формула (3.24)требует итераций для определения       .

Слайд 25

Поскольку в плоском случае в волнах

сжатия и ударных волнах выполняется неравенство:

в то время как для

волн разрежения выполняется прямо противоположное условие:


то связи с этим Лэттер предложил следующее выражение для вязкого члена:


(3.32)

Поскольку в плоском случае в волнах сжатия и ударных волнах выполняется неравенство:в то

Слайд 26

Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете

линейную вязкость


Схемы (3.29) - (3.30) с условием для вязкости следующего

вида:





где - а скорость звука исследовались А.А. Самарским и В.Я. Арсениным.







Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкостьСхемы (3.29) - (3.30) с условием

Слайд 27






(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Ю.П. Попов и А.А.

Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами.

В случае лагранжевых переменных она имеет вид:
(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)      Ю.П. Попов и А.А. Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами.

Слайд 28


(3.37)
При выполнении этих условий

Попов и Самарский назвали схему (3.33) -

(3.36)

полностью консервативной.

Чтобы уравнение (3.36) в сочетании с (3.33) – (3.35) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разностной схемы интегрального закона сохранения энергии необходимо, чтобы

(3.37)При выполнении этих условийПопов и Самарский назвали схему (3.33) - (3.36)

Слайд 29

При

схема (3.33) – (3.36) имеет порядок аппроксимации



Все остальные схемы этого класса имеют порядок аппроксимации


При

Слайд 30

THE END

THE END

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика