Решение всех прототипов задания 19 (база ЕГЭ)

нулём.
Числа 2346 и 3650 - делятся на

2. Число 4521 - не делится на 2.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Числа 31700 и 16608 -делятся на 4. 215634 – не делится на 4.

Признаки делимости на 2 и 4:

делится на 3.
Числа 17835 и 5472 – делятся на 3.

Число 105499 – не делится на 3.
На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Числа 2376 и 342000 – делятся на 9. Число 106499 – не делится на 9.

Признаки делимости на 3 и 9:

Другие - не делятся.
Числа 245 и 56780 – делятся на

5. Числа 451 и 678 – не делятся на 5.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Числа 7150 и 345600 – делятся на 25. Число 56755 – не делится на 25.

Признаки делимости на 5 и 25:

занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места,

либо разнится от нее на число, делящееся на 11.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 11:

и на 9. Число делится на 9, тогда и только

тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.
Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти.  
Ответ: 135.

Задача №1. Вычерните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное чило делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

3 и на 10.
Последняя цифра числа должна быть ноль.

141565041
Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём.
1+4+1+5+6+5+0=22
Нужно вычеркнуть цифру 1 или цифру 4.
Получаем числа 145650, 115650 и 415650
Ответ: 145650, 115650 или 415650.

Задача №2. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

3 и на 4.
Число, которое образуют последние две цифры искомого

числа, должно делиться на 4.

Сумма цифр должна делиться на цифр, сумма первых 4 цифр может быть от 4 до 8.
Условиям задачи удовлетворяет сумма цифр, равная 6.
Таким образом, подходят числа: 122112, 212112, 221112.

Задача №3. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

1

2

и на 8.
Число делится на 8, если три его последние

цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.
Три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.
Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
 
Ответ: 111 000.

Задача №4. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится

на 9.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

1) 20 = 9 + 9 + 2
2) 20 = 9 + 8 + 3
3) 20 = 9 + 7 + 4
4) 20 = 9 + 6 + 5
5) 20 = 8 + 8 + 4
6) 20 = 8 + 7 + 5.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9.

При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3.
При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9.

Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения.

То же самое, если единиц нет вообще. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно одна единица.
Число делится на 4, значит последние две цифры должны давать число кратное 4.
132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916,
из которых удовлетворяют всем условиям только числа 132 и 312.

Задача №7. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

1

1

при делении на 3, на 4 и на 5 даёт

в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

600 делится на 3, 4 и 5, а значит делится на 60
Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают.

Проверяем число 600+60 =660.
Оно делится на 60, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают.
Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 60 Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают.

Ответ: 721.

числа делится на 6  Сумма цифр числа А+3   делится 6

Число А   больше 350   и меньше 400  В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Легко проверить, что если последняя цифра числа меньше 7 , то сумма цифр А+3 числа будет на 3 больше, чем сумма цифр числа А .
Тогда, поскольку по условию сумма цифр числа А делится на 6 , сумма цифр числа А +3 не будет делить на 6 .
Следовательно, последняя цифра числа должна быть больше или равна 7 .
Первая цифра 3.
Проверим число 357 . Сумма цифр не делится на 6 .
Проверим число 358 . Сумма цифр не делится на 6 .
Проверим число 359. Сумма цифр не делится на 6 .
Проверим число 367. Сумма цифр не делится на 6 .
Проверим число 368 . Сумма цифр не делится на 6 .
Проверим число 369. Сумма цифр делится на 6. 369+3=372 - сумма цифр также делится на 6 .
Итак, искомое число 369 .
Ответ: 369

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 
Если число кратно 15 ,

то оно делится на 3  и на 5  
Если число делится на 5 , то его последняя цифра 0  или 5 .
Последняя цифра не может быть 0 , так как в этом случае произведение цифр будет равно нулю.
Отсюда произведение трех оставшихся цифр больше чем 35:5=7 и меньше чем 45:5=9
Следовательно, произведение трех первых цифр равно  8.
Тогда возможные варианты 1*1*8=1*2*4
1185
1245
Кроме того, поскольку искомое число еще делится на 3 , сумма всех цифр числа, включая последнюю цифру 5 делится на 3 .
Возьмем число 1245. Сумма цифр числа 1245 делится на 3.
Следовательно, искомое число равно 1245 . (Также нам подойдут все числа, полученные из числа  перестановкой первых трех цифр.)
Ответ: 1245.

5

ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 
Если число кратно 12, то

оно делится на3 и на 4 .
Следовательно, две его последние цифры образуют число, которое делится на 4, или две его последние цифры нули (признак делимости на 4 ). И сумма его цифр делится на 3 (признак делимости на 3 ).
Последние цифры не могут быть нулями, так как в этом случае произведение цифр будет равно нулю.Число 10 раскладывается на множители двумя способами: 1х10=10
- этот вариант нам не подходит, так как 10 не является цифрой.
Следовательно, число 10 можно представить в виде произведения четырех множителей как 10=1х1х2х5 .
Таким образом, число, которое мы ищем записывается цифрами 1,1,2,5 сумма которых равна 9. Следовательно число, записанное этими цифрами делится на 3 .
Две последние цифры должны составлять число, которое делится на 4 - это может быть 12 или 52.Таким образом, получим числа 1512 (или 5112) или 1152
Ответ:1512 или 5112 или 1152.

цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите какое-нибудь одно

такое число.

Если число кратно 44 , то оно делится на 4 и на 11.
Следовательно, две его последние цифры образуют число, которое делится на 4 , или две его последние цифры нули (признак делимости на 4 ). Последние две цифры не могут быть нулями, так как по условию любые две соседние цифры числа отличаются на 1.
Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или разность этих сумм кратна 11. (Признак делимости на 11).
Последними двумя двумя цифрами могут быть, например, 12 или 32 - числа 12 и 32 делятся на 4 и цифры, составляющие эти числа отличаются на 1.
Тогда это могут быть, например, числа 3212 или 1232
В обоих числах суммы цифр стоящих на четных и нечетных местах равны 4.
также подходят числа 1012, 3432, 5456, 5676.
Ответ: 3212, 1232, 1012, 3432, 5456, 5676.

различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Если число кратно 66, то оно делится на 3, на 11 и на 2.
Следовательно, его последняя цифра четная, сумма цифр делится на 3, сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах, или разность этих сумм кратна 11.
Последнее невозможно, так как все цифры четные.
Так как сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах и сумма всех цифр делится на 3, каждая сумма делится на 3.
Этим условиям удовлетворяют, например, числа:
6402
6204
4620
2640
2046
4026
Ответ: 6402, 6204, 4620, 2640, 2046, 4026

различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не

делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число

Если число кратно 70 , то оно делится на 7, и на 10 .
Следовательно, последняя цифра - 0. Выпишем трехзначные числа, кратные 70:
140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, 840, 910, 980.
Вычеркнем содержащие одинаковые цифры:
140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, 840, 910, 980.
Сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25 у чисел 210, 420, 630, 840, 980
Ответ: 210, 420, 630, 840, 980

650, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры

которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Так как число больше 400 но меньше 650, первой цифрой числа могут быть цифры 4, 5 или 6.
Рассмотрим случай, когда первая цифра 4.
Тогда число делится на 4, следовательно две его последние цифры образуют число, которое делится на 4

Ответ: 412,432

4

1

2

делении на 5 и на 8 дает равные ненулевые остатки

и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число

Найдем числа, которые делятся без остатка на 5 и на 8. Так как 5 и 8 взаимно простые числа, искомое число за вычетом остатка должно делиться на 40.
Так как искомое число за вычетом остатка делится на 4 и оканчивается на 0, вторая цифра числа обязательно четная.
Чтобы получить искомое число, нужно к числу, которое делится на 40 без остатка прибавить остаток.
Остатком от деления на 5 могут быть числа 1, 2, 3, 4. Следовательно, остаток от деления искомого числа на 5 и на 8 может быть одним из этих чисел.
Пусть первая цифра числа равна 5. Чтобы получить четную цифру на втором месте, остаток должен быть нечетным.
Тогда возможны варианты:
531 (остаток 1)
543 (остаток 3)
Вычтем остаток из этих чисел и проверим, делятся ли полученные числа на 40 без остатка. Ни 530, ни 540 на 40 не делятся.
Пусть первая цифра равна 6. Тогда, чтобы получить четную цифру на втором месте, остаток должен быть четным.
Возможны варианты:
642 (остаток 2)
654 (остаток 4)
Вычтем остаток из этих чисел и проверим, делятся ли полученные числа на 40 без остатка. Число 640 делится на 40 без остатка.
Можно продолжить эти рассуждения и получит другие числа.
Ответ: 642.

которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое

число

Сумма трех цифр равна их произведению, например, в том случае, если это цифры 1, 2, 3.
Составим из этих цифр число, которое делится на 4. Две последние цифры этого числа должны образовать число, которое делится на 4. Это может быть 12 или 32. В таком случае искомым числом может быть одно из чисел 321 или 132.
Ответ: 312, 132.