СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ

Валерьевич
к.т.н. Никонорова Маргарита Леонидовна

помощью набора символов, называемых цифрами.

Используются три типа систем счисления:
позиционная –

представление числа зависит от порядка записи цифр.
непозиционная – представление числа не зависит от порядка записи цифр
смешанная – нет понятия «основание»: либо оснований несколько, либо оно вычисляемое

повседневной жизни: Есть / Нет
В технике: электрический сигнал есть

/ нет
0 / 1, бит

6 тритов, 729 значений (байт – 256)
Советская машина Сетунь –

первая и единственная серийная троичная машина. 1962-1965 годы. Главный конструктор Николай Петрович Бруснецов

10Ī = 9 − 1 = 8
Ī01 = −9 + 1 = −8

знаком (не нужен прямой, обратный или дополнительный код!)
знак числа -

это знак старшей ненулевой цифры и не нужен знаковый бит
Простое сравнение чисел по величине, при этом не нужно смотреть на знак
поэтому команда ветвления по знаку в троичной машине работает вдвое быстрее, чем в двоичной
усечение длины числа равносильно правильному округлению (округление в двоичных машинах не обеспечивают этого)
троичный сумматор осуществляет вычитание при инвертировании одного из слагаемых, откуда следует, что троичный счетчик автоматически является реверсивным (обеспечивает и сложение и вычитание
в трехвходовом троичном сумматоре перенос в следующий разряд возникает в 8 ситуациях из 27, а в двоичном сумматоре - в 4 из 8. В четырехвходовом сумматоре перенос также происходит только в соседний разряд.
таблицы умножения и деления почти так же просты, как и в двоичной системе
умножение на -1 инвертирует множимое
трехуровневый сигнал более устойчив к воздействию помех в линиях передачи. Это означает что специальные методы избыточного кодирования троичной информации проще, нежели двоичной

широта долгота)
Количество цифр называют основанием
позиционной системы счисления, а позиции
цифр

в числе – разрядами.

взаимно простых модулей (m1, m2, …, mn,)  
с произведением  M =

  m1 * m2 * … * mn так, что каждому целому числу  x  из отрезка [0, M –1] ставится в соответствие набор (x1, x2, …, xn) вычетов j                                                         
                                                
                                                  

Римские цифры

I — 1 V — 5 X — 10 L — 50

C — 100, D — 500, M — 1000

Строго говоря,
не является непозиционной:
IV и VI – разные числа

x ≡ x1 (mod m1);
x ≡ x2 (mod m2);

x ≡ xn (mod mn);

0 ≤ c1 < c2 < … < cn

секунды, миллисекунды
при этом величина h часов, m минут, s секунд

соответствует
T = h * 60 * 60 + m * 60 + s
Углы – градусы, минуты, секунды

Смешанной называется система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием P (например – время) изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q (например – секунды), где QВ такой системе P называется старшим основанием, Q – младшим основанием, а сама система счисления называется Q–P–ичной.

в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную

запись выражения
an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m,
где ai – цифры численной записи, соответствующие разрядам, i – индекс, n и m – количество разрядов числа целой и дробной части соответственно, q – основание системы счисления

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная система счисления –

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
10, 11, 12, 13, 14, 15

Например, развернутая форма числа 327,46
n = 3, m = 2, q = 10

X = = a2*102+ a1*101 +a0*100+ a-1*10-1+ a-2*10-2 =

3*102 + 2*101 + 7*100 + 4*10-1 + 6*10-2

число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и

шестнадцатеричную.

75

2

74

1

37

2

36

1

18

2

18

0

9

2

8

1

4

2

4

0

2

2

2

0

1

1

7510 = 10010112

75

8

72

3

9

8

8

1

1

1

7510 = 1138

75

16

64

11

4

4

7510 = 4B16

0,35 из десятичной системы в счисления в двоичную, восьмеричную и

шестнадцатеричную.

0,35

2

0,70

2

1,40

2

0,80

2

1,60

2

1,20

0,3510 = 0,010112

0,35

8

2,80

8

6,40

8

3,20

0,3510 = 0,2638

0,35

16

5,60

16

9,60

0,3510 = 0,5916

1011,1 из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример. Перевести

число 276,8 из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Пример. Перевести число 1F3 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

1 F 316

0

1

2

= 1∙162 + 15∙161 + 3∙160 = 49910

разряды

число

Заменить каждую цифру восьмеричного/шестнадцатеричного числа соответствующим трехразрядным/четырехразрядным двоичным кодом.
Пример.

Перевести число 1A3,F16 в двоичную систему счисления.

1A3,F16 =

Пример. Перевести число 527,18 в двоичную систему счисления.

2

Пример. Перевести число 1A3,F16 в двоичную систему счисления.

Для перехода от двоичной к восьмеричной/шестнадцатеричной системе счисления поступают

следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по 3(4) разряда, дополняя, при необходимости, нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из 3(4) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной/шестнадцатеричной цифрой.

Пример:

0

0

000

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и

обратно вначале производится перевод чисел из исходной системы счисления в двоичную, а затем – в конечную систему .

Пример. Перевести число 527,18 в шестнадцатеричную систему счисления.

Пример. Перевести число 1A3,F16 в восьмеричную систему счисления.

основных арифметических операций в любой позиционной системе счисления подчиняются тем

же законам, что и в десятичной системе.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает переполнение разряда, то производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания системы счисления.

При вычитании из меньшей цифры большей в старшем разряде занимается единица, которая при переходе в младший разряд будет равна основанию системы счисления

разряда, то в старший разряд переносится число кратное основанию системы

счисления. При умножении многозначных чисел в различных позиционных системах применяется алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты умножения и сложения записываются с учетом основания системы счисления.

Деление в любой позиционной системе производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе, то есть сводится к операциям умножения и вычитания.

Правила выполнения арифметических действий задаются таблицей:

этом возникает избыток, то он переносится влево

меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания

многозначных чисел в различных позиционных системах применяется алгоритм перемножения чисел

в столбик, но при этом результаты умножения и сложения записываются с учетом основания системы счисления

любой позиционной системе производится по тем же правилам, как и

деление углом в десятичной системе. При этом необходимо учитывать основание системы счисления.

числа
формат с плавающей запятой – вещественные числа
Целые

числа без знака занимают в памяти один или два байта.
Целые числа со знаком занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.

Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. Этот формат базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число.

со знаком или без знака.

Целые числа

без знака занимают в памяти один или два байта.

Пример. Число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате

два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд

содержит информацию о знаке числа.
Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» - единицей

Пример. Число –7210 = –10010002 в однобайтовом формате

Пример. Число 6210 = 1111102 в однобайтовом формате

со знаком:
прямой код, обратный код и дополнительный код.

Прямой код

– чаше всего отводится 2 байта памяти (16 бит), в старший разряд записывается «0» если число положительное и «1» – если число отрицательное.

Обратный код – для положительных чисел совпадает с прямым кодом, для отрицательных чисел образуется из прямого кода заменой нулей единицами, а единиц – нулями, кроме цифр знакового разряда.

Пример. Число -5710 = -1110012

прямой

обратный

операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и

увеличивает его быстродействие.
Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках равен 2n – │A│. Образуется из обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду

обратный или дополнительный код и в таком виде хранятся, перемещаются

и участвуют в операциях.

При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (отводится 32 бита памяти): минимальное число –231 = –2147483648
максимальное число 231 – 1 = 2147483647

 – простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов
реализации арифметических операций
 – небольшой диапазон представляемых чисел, недостаточный для решения
большинства прикладных задач

с основанием q можно записать в виде N = m

∙ q p, где m называется мантиссой числа, а р – порядком.

Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

Характеристики форматов вещественных чисел

нормализованной записи: мантиссу и порядок q-ичного числа записывают в системе

счисления с основанием q.

Различают:
– научная нормализованная запись числа: 1 ≤ │m│< 10, q = 10, (3,5*102)
– инженерная нормализованная запись (информатика):
0,1< │m│≤ 1, q = 10, (0,35*102)
– компьютерная нормализованная запись: 1 ≤ │m│< 10, q = 10(E), (3,5Е2)

При записи числа выделяют разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Порядок и мантисса определяют диапазон изменения чисел и их точность.
Так, диапазон (порядок) и точность (мантисса) для формата чисел обычной точности (четырехбайтных): из 32 битов выделяют 8 для хранения порядка и 24 бита – для хранения мантиссы и ее знака.

q - целое число (положительное, отрицательное или ноль в десятичной

системе счисления), а m – p-ичная дробь, у которой целая часть состоит из одной цифры.
При этом m называется мантиссой числа, q - порядком числа.

Примеры: 3,1415926 = 0, 31415926 * 101;
1000=0,1 * 104;
0,123456789 = 0,123456789 * 100;
0,00001078 = 0,1078 * 8-4; (порядок записан в 10-й системе)
1000,00012 = 0, 100000012 * 24.

который рассчитывается по формуле 2a-1+ИП, где a – число разрядов,

отводимых под порядок (выделенных для представления порядка числа в формате с плавающей запятой), ИП – (истинный) порядок числа.

Пример:
Если истинный порядок равен – 5, тогда смещённый порядок для 4-байтового числа будет равен 127-5=122.

отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на знак, порядок и мантиссу. Так, в наиболее

распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой имеет вид: 

Прибавление смещения позволяет записывать положительные и
отрицательные порядки в виде положительных чисел.

двоичной системе счисления +1011 0010.01=+1.0110 0100 1 х 2111

счисления в двоичную;
представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме;
рассчитать смещённый

порядок числа;
разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

представления (где 1 бит отводится под знак числа, 8 бит

- под смещённый порядок, остальные биты - под мантиссу).
1. 2510=1000112 0,62510=0,1012 -25,62510= -100011,1012 2. -100011,1012 = -1,000111012 * 24 3. СП=127+4=131

4.




Окончательный ответ: C1CD0000

называется кодировкой символа. При вводе в компьютер текстовой информации происходит

ее двоичное кодирование. Код символа хранится в оперативной памяти компьютера. В процессе вывода символа производится обратная операция – декодирование, т.е.преобразование символа в его изображение.

Институтом стандартизации США была введена в действие система кодирования ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Каждому символу ASCII соответствует 8–битовый двоичный код
(1 символ – 1 байт).
В последнее время широкое распространение получил новый международный стандарт Unicode. Стандарт состоит из двух основных разделов: универсальный набор символов (UCS, universal character set) и семейство кодировок (UTF, Unicode transformation format). 
Каждому символу Unicode соответствует 16–битовый двоичный код
(1 символ – 2 байта).

Добавлен слайд

университет!».
Оцените информационный объем этой фразы.

Решение.
В данной фразе содержится 25

символов, включая пробелы и знак препинания.
В кодировке ASCII на 1 символ отводится 1 байт, следовательно для фразы понадобится 25 байт или 200 бит.
В кодировке Unicode 1 символ занимает 2 байта, поэтому вся фраза займет 50 байт или 400 бит.

помощи алфавита, существует формула Хартли
n = pi ,

где n – число равновероятных событий, i – количество информации, полученной в результате совершения события, p – количество различных вариантов
или
p – количество используемых символов, i – длина строки символов или сигналов.

Пример:
Сколько различных сигналов можно записать с помощью 32-разрядного компьютерного кода. В этом случае длина строки – 32, количество используемых символов – 2, следовательно n = 232 = 4 294 967 296.

Добавлен слайд

пикселей. Какой информационный объем имеет изображение?
Решение:
Глубину цвета определим по формуле

8 = 2i, I = 3
Iп = 16 х 16 х 3 = 768 бит = 96 байт

Для хранения растрового изображения размером 64х64 пикселя отвели 1,5 килобайта памяти. Каково максимальное возможное число цветов в палитре изображения?
Решение:
Iп = 1,5 Кб = 1,5 х 210 байт = 1,5 х 210 х 8 (бит)
X*Y = 64 х 64=26 х 26 = 212. Из формулы найдем глубину цвета
I = (1,5 х 1010 х 23 ) / 212 = 1,5 х 2 = 3. Общее количество цветов 23 = 8