Разделы презентаций

СЛУ (Системы линейных уравнений)

Содержание

1. Общий вид, основные понятия, матричная формаСистема m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:где коэффициенты при неизвестных, свободные коэффициенты.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Тема 5. «Системы линейных уравнений»

Основные понятия:

Общий вид, основные понятия, матричная

форма
Методы решения СЛУ
Теорема Кронекера-Капелли

Тема 5. «Системы линейных уравнений»Основные понятия:Общий вид, основные понятия, матричная формаМетоды решения СЛУТеорема Кронекера-Капелли

Слайд 21. Общий вид, основные понятия, матричная форма

Система m линейных уравнений

с n неизвестными имеет вид:









где
коэффициенты при неизвестных,
свободные

коэффициенты.




1. Общий вид, основные понятия, матричная формаСистема m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:где коэффициенты

Слайд 3
Если , то СЛУ называется однородной.

Если хотя бы один

, то СЛУ называется

неоднородной.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, и система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.




Если , то СЛУ называется однородной.Если хотя бы один ,

Слайд 4Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и

неопределенной, если имеет более одного решения.

Выражение «решить СЛУ» означает выяснить,

совместна СЛУ или несовместна, в случае совместности – найти все ее решения.

Решение СЛУ называется упорядоченная совокупность чисел , подстановка которых в СЛУ обращает каждое ее уравнение в тождество.




Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.Выражение «решить

Слайд 5


Любую СЛУ можно представить в матричном виде:






На основании согласованности матрицы

А с матрицей Х:





- матричный вид исходной СЛУ.

Любую СЛУ можно представить в матричном виде:На основании согласованности матрицы А с матрицей Х: - матричный вид исходной

Слайд 6
2. Методы решения СЛУ

Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Метод Крамера

(с помощью определителей)
Метод обратной матрицы




Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - немецкий

математик
Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик

2. Методы решения СЛУМетод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)Метод Крамера (с помощью определителей)Метод обратной матрицыКарл Фридрих Гаусс

Слайд 7Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Рассмотрим СЛУ:








Данный метод применим к

СЛУ любой размерности.

Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)Рассмотрим СЛУ:Данный метод применим к СЛУ любой размерности.

Слайд 8Алгоритм метода:

1 уравнение умножаем на

и складываем со вторым уравнением системы;
1

уравнение умножаем на и складываем с третьим уравнением системы;
И т.д.

В результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений.
Алгоритм метода:1 уравнение умножаем на и складываем со

Слайд 91 случай:








В этом случае СЛУ имеет единственное решение.
Значение

находится из последнего уравнения, значение

из предпоследнего уравнения и т.д., значение
находится из первого уравнения.
1 случай:В этом случае СЛУ имеет единственное решение.Значение находится из последнего уравнения, значение

Слайд 102 случай:








В этом случае СЛУ имеет бесконечно много решений.
Из последнего

уравнения выражается одно из неизвестных через остальные неизвестные и т.д.

2 случай:В этом случае СЛУ имеет бесконечно много решений. Из последнего уравнения выражается одно из неизвестных через остальные

Слайд 113 случай:







В этом случае СЛУ несовместна (не имеет решений), т.к.

последнее уравнение является противоречивым.

Замечание. Метод Гаусса удобно осуществлять в матричном

виде.
3 случай:В этом случае СЛУ несовместна (не имеет решений), т.к. последнее уравнение является противоречивым.Замечание. Метод Гаусса удобно

Слайд 12Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если

их решения совпадают.
К эквивалентной системе можно перейти с помощью

элементарных преобразований расширенной матрицы этой системы.
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их решения совпадают. К эквивалентной системе

Слайд 13
Схема действий метода Гаусса:
а) из всех уравнений системы кроме

первого исключается неизвестное x1;
б) из всех уравнений системы

кроме первого и второго исключается неизвестное x2;
в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x3 и т.д. г) Обратным ходом из последнего уравнения находят одну неизвестную, из предпоследнего – следующую и т.д.

Схема действий метода Гаусса: а) из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x1; б) из

Слайд 14
Исключение неизвестных обычно осуществляют элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы СЛУ.


В результате расширенная матрица СЛУ приводится к трапецеидальному виду,
который

позволяет легко выделить базисный минор основной матрицы системы.

Исключение неизвестных обычно осуществляют элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы СЛУ. В результате расширенная матрица СЛУ приводится к

Слайд 15
Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор называются базисными

неизвестными.
Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор,

называются свободными неизвестными.
Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор называются базисными неизвестными. Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли

Слайд 16
Если n – число неизвестных системы, r – её ранг,

то
r неизвестных системы – базисные,
k = n –

r свободные.

Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то r неизвестных системы – базисные,k =

Слайд 17
Если ранг основной и расширенной матриц СЛУ совпадает с числом

неизвестных СЛУ, то свободных неизвестных нет. В этом случае СЛУ

имеет единственное решение (определённая СЛУ). Если ранги основной и расширенной матриц СЛУ равны, но меньше числа неизвестных СЛУ, то СЛУ неопределённая. В этом случае находят общее решение СЛУ.
Если ранг основной и расширенной матриц СЛУ совпадает с числом неизвестных СЛУ, то свободных неизвестных нет. В

Слайд 18
Решение СЛУ, в котором базисные неизвестные выражены через свободные неизвестные,

называется общим решением СЛУ. Решение, которое получается из общего путём присваивания

свободным неизвестным числовых значений, называется частным решением СЛУ.
Решение СЛУ, в котором базисные неизвестные выражены через свободные неизвестные, называется общим решением СЛУ. Решение, которое получается

Слайд 19
Общее решение системы линейных уравнений можно получить, руководствуясь, например, следующим

планом:
а) выбрать базисный минор (обычно это минор, под главной диагональю

которого – все нули);
б) перенести свободные неизвестные к свободным членам, то есть в правые части уравнений;
в) обратным ходом метода Гаусса выразить базисные неизвестные через свободные неизвестные.
Общее решение системы линейных уравнений можно получить, руководствуясь, например, следующим планом:а) выбрать базисный минор (обычно это минор,

Слайд 20
Фундаментальной системой частных решений системы n однородных линейных уравнений (СОЛУ)

называется система линейно независимых частных решений, число решений в которой

равно числу k = n – r свободных неизвестных системы,
где r - ранг основной матрицы системы.
Фундаментальной системой частных решений системы n однородных линейных уравнений (СОЛУ) называется система линейно независимых частных решений, число

Слайд 21
Фундаментальную систему частных
решений (ФСЧР СОЛУ) получают обычно, последовательно приравнивая свободные

неизвестные элементам строк единичной матрицы порядка

.
Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицы А порядка k = n – r, если



Фундаментальную систему частныхрешений (ФСЧР СОЛУ) получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы порядка

Слайд 224. Метод Гаусса

4. Метод Гаусса

Слайд 23Метод Гаусса (1)

Метод Гаусса (1)

Слайд 24Метод Гаусса (2)


Рассмотрим систему

Метод Гаусса (2)Рассмотрим систему

Слайд 25Метод Гаусса (3)


Рассмотрим систему


С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной

системе ступенчатого вида:

Метод Гаусса (3)Рассмотрим системуС помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:

Слайд 26Метод Гаусса (4)




Возможен один из следующих случаев:

1) система не имеет

решений (система несовместна);

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

Метод Гаусса (4)Возможен один из следующих случаев:1) система не имеет решений (система несовместна);2) система имеет единственное решение;3)

Слайд 27Теорема Кронекера-Капелли (1)


Рассмотрим систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли (1)Рассмотрим систему уравнений

Слайд 28Теорема Кронекера-Капелли (2)


Рассмотрим систему уравнений


Обозначим

Теорема Кронекера-Капелли (2)Рассмотрим систему уравненийОбозначим

Слайд 29Теорема Кронекера-Капелли (3)

Теорема Кронекера-Капелли (3)

Слайд 30Пример 7 (1)

Методом Гаусса решить систему уравнений:

Пример 7 (1)Методом Гаусса решить систему уравнений:

Слайд 31Пример 7 (2)

Решение. Запишем расширенную матрицу:

Пример 7 (2)Решение. Запишем расширенную матрицу:

Слайд 32Пример 7 (3)

Пример 7 (3)

Слайд 33Пример 7 (4)

Пример 7 (4)

Слайд 34Пример 7 (4)

r(A)=r(Ã)=3

Пример 7 (4)r(A)=r(Ã)=3

Слайд 35Пример 7 (5)

Решение.

Пример 7 (5)Решение.

Слайд 36Пример 7 (6)

Решение.

Пример 7 (6)Решение.

Слайд 37Пример 7 (7)

Решение. Найдем x1:

Пример 7 (7)Решение. Найдем x1:

Слайд 38Пример 7 (8)

Решение.
x1=1, x2=1, x3=0 – единственное решение.

Пример 7 (8)Решение.x1=1, x2=1, x3=0 – единственное решение.

Слайд 392) Метод Крамера

Метод основан на вычислении определителей, поэтому применим к

СЛУ размерности nxn.

Рассмотрим СЛУ:

2) Метод КрамераМетод основан на вычислении определителей, поэтому применим к СЛУ размерности nxn.Рассмотрим СЛУ:

Слайд 40Введем следующие обозначения:








Теорема. Если

, то СЛУ имеет единственное решение

, где . (Формулы Крамера)


Введем следующие обозначения:Теорема. Если , то СЛУ имеет единственное решение

Слайд 413) Метод обратной матрицы

Метод основан на нахождении обратной матрицы, поэтому

применим к СЛУ размерности nxn.

Рассмотрим СЛУ в матричном виде:

3) Метод обратной матрицыМетод основан на нахождении обратной матрицы, поэтому применим к СЛУ размерности nxn.Рассмотрим СЛУ в

Слайд 423. Теорема Кронекера-Капелли

Помимо метода Гаусса, на вопрос совместна ли СЛУ

или нет можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместимости

СЛУ необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество ее решений является бесконечным.
3. Теорема Кронекера-КапеллиПомимо метода Гаусса, на вопрос совместна ли СЛУ или нет можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Теорема

Слайд 44Системы линейных уравнений (1)


Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система

вида


где aij и bi ─ числа, xi – неизвестные.
,

Системы линейных уравнений (1)Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система видагде aij и bi ─

Слайд 45Пример 1


Пример 1

Слайд 46Пример 2


Пример 2

Слайд 47Пример 3


Пример 3

Слайд 48Системы линейных уравнений (2)

Системы линейных уравнений (2)

Слайд 49Матричный вид системы
Обозначения:

Матрица коэффициентов при неизвестных


Столбец неизвестных


Столбец свободных членов

Матричный вид системыОбозначения:Матрица коэффициентов при неизвестныхСтолбец неизвестныхСтолбец свободных членов

Слайд 50Матричные уравнения (1)

Матричная запись системы:
A·X=B

Матричные уравнения (1)Матричная запись системы:A·X=B

Слайд 51

Пример 1 (продолжение)

A·X=B

Пример 1 (продолжение)A·X=B

Слайд 52

Пример 2 (продолжение)

A·X=B

Пример 2 (продолжение)A·X=B

Слайд 53

Пример 3 (продолжение)

A·X=B

Пример 3 (продолжение)A·X=B

Слайд 54Матричные уравнения (2)

Матричная запись системы:
A·X=B

A-1 ─ существует

Пусть m=n
Пусть detA≠0

Матричные уравнения (2)Матричная запись системы:A·X=BA-1 ─ существуетПусть m=nПусть detA≠0

Слайд 55Матричные уравнения (3)

Тогда

Матричные уравнения (3)Тогда

Слайд 56Матричные уравнения (4)

Тогда

Матричные уравнения (4)Тогда

Слайд 57Матричные уравнения (5)


Тогда

Матричные уравнения (5)Тогда

Слайд 58Матричные уравнения (6)





Тогда

Матричные уравнения (6)Тогда

Слайд 59Пример 4 (1)

Решите систему уравнений:

Пример 4 (1)Решите систему уравнений:

Слайд 60Пример 4 (2)

Решите систему уравнений:
Обозначим:
Получим матричное уравнение:
A·X=B
Решение.

Пример 4 (2)Решите систему уравнений:Обозначим:Получим матричное уравнение:A·X=BРешение.

Слайд 61

Пример 4 (3)
Вычислим определитель матрицы коэффициентов:

Пример 4 (3)Вычислим определитель матрицы коэффициентов:

Слайд 62

Пример 4 (4)
Найдем алгебраические дополнения элементов:

Пример 4 (4)Найдем алгебраические дополнения элементов:

Слайд 63


Пример 4 (5)

Пример 4 (5)

Слайд 64


Пример 4 (6)

Пример 4 (6)

Слайд 65

Пример 4 (7)
Запишем обратную матрицу:

Пример 4 (7)Запишем обратную матрицу:

Слайд 66Пример 4 (8)
По формуле X=A-1·B найдем решение
матричного уравнения:

Пример 4 (8)По формуле X=A-1·B найдем решениематричного уравнения:

Слайд 67Правило Крамера (1)

Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0
Рассмотрим систему

Правило Крамера (1)Пусть m=nПусть detA = Δ ≠ 0Рассмотрим систему

Слайд 68Правило Крамера (2)

Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0
Рассмотрим систему

J

– столбец
Обозначим


Правило Крамера (2)Пусть m=nПусть detA = Δ ≠ 0Рассмотрим системуJ – столбецОбозначим

Слайд 69Правило Крамера (3)


Решение системы

Правило Крамера (3)Решение системы

Слайд 70Пример 5 (1)

Решите систему уравнений:

Пример 5 (1)Решите систему уравнений:

Слайд 71Пример 5 (2)
Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:

Решите систему уравнений:

Пример 5 (2)Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:Решите систему уравнений:

Слайд 72Пример 5 (3)
Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:

Решите систему уравнений:
Вычислим определители

Δ1 и Δ2:

Пример 5 (3)Решение. Запишем определитель из коэффициентов уравнения:Решите систему уравнений:Вычислим определители Δ1 и Δ2:

Слайд 73Пример 5 (4)
Подставим полученные значения в формулы:

Пример 5 (4)Подставим полученные значения в формулы:

Слайд 74Занятие 5.


РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ГАУССА.

Занятие 5.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМГАУССА.

Слайд 75Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.
Пусть задана система:



Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.Пусть задана система:

Слайд 76
1. Составим расширенную матрицу.
2.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному

(ступенчатому) виду.
3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные.
Элементарными преобразованиями матрицы называют:
Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число.
Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля.
Перестановку местами любых двух строк.
1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу

Слайд 77Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Слайд 78Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с

помощью элементарных преобразований.



Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Слайд 79Получаем:

Вернёмся к системе уравнений





Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

Получаем:Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

Слайд 80 Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом

система будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований

мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.

Пример 7. Решить систему:


Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, т.е. не иметь решения,

Слайд 81Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.


Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Слайд 82Получаем:

Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит,

заданная система
будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система

будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.

Получаем: Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная система будет несовместной, т.е. не иметь

Слайд 83Пример 8. Решить систему:

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем

её.


Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Слайд 84Получаем:

Вернёмся к системе уравнений.



Получаем:Вернёмся к системе уравнений.

Слайд 85

В итоге имеем:


В итоге имеем:

Слайд 86 Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений,

то есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система

всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много.

Пример 9. решить систему:


Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то есть уравнений, свободные члены которых равны

Слайд 87Решение:
Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа

неизвестных (3

(так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.



Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3

Слайд 88Вернёмся к системе уравнений:


Как мы видим, с помощью метода

Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений

с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.
Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое

Слайд 89Занятие 7


Решение систем линейных уравнений
методом Крамера

Занятие 7Решение систем линейных уравненийметодом Крамера

Слайд 90Пусть дана система:

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

Слайд 91Найдём определитель

det A=

Правило Крамера. Если m=n и

det A≠0, то система совместна и имеет единственное решение

где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.
Найдём определитель det A=Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система совместна и имеет единственное

Слайд 92Решение системы линейных уравнений :
Находим определитель системы

.
Вычисляем определители х1, x2, …
Возможны три случая:
Если

≠0, то система имеет

единственное решение:
Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений.
Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.












Решение системы линейных уравнений :Находим определитель системы .Вычисляем определители х1, x2,

Слайд 93Пример 1. Решить систему:

Решение:





Пример 1. Решить систему: Решение:

Слайд 94Пример 2. Решить систему:

Решение:

Пример 2. Решить систему: Решение:

Слайд 95Находим: х1,

х2, х3.






Находим: х1, х2, х3.

Слайд 96Применяем формулы Крамера:



х1=1; х2=2; х3=-2

Применяем формулы Крамера:х1=1; х2=2; х3=-2

Слайд 97Занятие 9


РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Занятие 9РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Слайд 98Дана система:


Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид:

АХ=В Отсюда: Х= ,

где матрица, обратная матрице А.


Дана система:Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х=

Слайд 99Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:

Решение:
Находим определитель




Если
= 0, то система не имела бы решения.

Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:Решение:Находим определитель Если = 0, то система не имела

Слайд 100Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.





Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.

Слайд 101Составляем обратную матрицу:




Отсюда:

Составляем обратную матрицу:Отсюда:

Похожие презентации

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное 257
Theme 2. History of Psychology Theme 2. History of Psychology 274
Экономическая мысль в условиях Зарождения буржуазного общества Экономическая мысль в условиях Зарождения буржуазного общества 254
ЛИТЕРАТУРА XVIII В. КЛАССИЦИЗМ В РУССКОМ И МИРОВОМ ИСКУССТВЕ ЛИТЕРАТУРА XVIII В. КЛАССИЦИЗМ В РУССКОМ И МИРОВОМ ИСКУССТВЕ 242
Тема : Тема : 224
Пример.ppt Пример.ppt 305
Отдел Покрытосеменные (цветковые) растения Отдел Покрытосеменные (цветковые) растения 252
Нефть Нефть 439
Творчество Гая Р ичи Творчество Гая Р ичи 282
19 занятие 19 занятие 241
Изложение «Пчелиный городок» Изложение «Пчелиный городок» 808
Монохром и гризайль Монохром и гризайль 383
День иностранных языков кафедра иностранных языков День иностранных языков кафедра иностранных языков 268
Символы и строки. Процедуры и функции работы со строками. Записи Символы и строки. Процедуры и функции работы со строками. Записи 241
Файлы в языке Pascal Урок Файлы в языке Pascal Урок 239
ҚР ДЕНСАУЛЫҚ САҚТАУ МИНИСТРЛІГІ С.Ж.АСФЕНДИЯРОВ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ МЕДИЦИНА ҚР ДЕНСАУЛЫҚ САҚТАУ МИНИСТРЛІГІ С.Ж.АСФЕНДИЯРОВ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ МЕДИЦИНА 241
Київський університет імені Бориса Грінченка Навчальний курс: Основи наукових Київський університет імені Бориса Грінченка Навчальний курс: Основи наукових 236
ГОРОДСКАЯ СРЕДА. Городская квартира и требования к ее экологической безопасности ГОРОДСКАЯ СРЕДА. Городская квартира и требования к ее экологической безопасности 469
конкурс творческих проектов МОЯ РОДОСЛОВНАЯ, Семейные традиции, приуроченные конкурс творческих проектов МОЯ РОДОСЛОВНАЯ, Семейные традиции, приуроченные 185
Тема. Расцвет русской культура XI Х в Тема. Расцвет русской культура XI Х в 233

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика