Случайные погрешности Случайные погрешности неопределенны по своему значению и

и поэтому не могут быть исключены из результатов измерений, как

систематические погрешности.

Случайной называют такую величину, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, неизвестно заранее ‑ какое именно.

Дискретные случайные величины – принимающие отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Непрерывные случайные величины - величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.

устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им

вероятностями.

среднее арифметическое
Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

от ее математического ожидания

Среднее квадратическое отклонение (СКО)

характеристики распределения вероятности непрерывной случайной величины пользуются не вероятностью события

X=x , а вероятностью события X x, где x – некоторая текущая переменная

Функция распределения вероятности случайной величины X:

F(X) =P ( X  x )

F(X) - интегральная функция распределения
или интегральный закон распределения

функция своего аргумента, т.е. при x2 

x1 F(x2)  F(x1)

2. При x  ‑  F( ‑  ) = 0,
т.е. на минус бесконечности функция распределения равна нулю.

3. При x  +  F(+ ) = 1,
т.е. на плюс бесконечности функция распределения равна единице.


Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1, x2]
P [ x1  X x2 ] = F(x2) ‑ F(x1)

вероятности F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей:

f(x) = dF(x)

/ dx=F’(x)

Функция f(x) = F’(x) называется также плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения. Она всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде:

f (x) dx =1

в интервал [x1, x2] равна :
Перечень стандартных дифференциальных функций распределения

абсолютных погрешностей установлен ГОСТ 8.011‑72.

находятся в пределах некоторого конечного интервала, причем в пределах этого

интервала все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности.

величины функция плотности вероятности имеет следующий вид:
mx – математическое ожидание

(среднее значение) случайной величины X,
x ‑ среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины X относительно mx.

будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются

под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное воздействие по сравнению с суммарным воздействием всех остальных.

n  30
распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение
P [ x1

 X  x2 ] = 2 F (t, n) - 1

F (t, n) – интегральная функция Стьюдента,
значения которой табулированы

Моменты
центральные

моменты
(усредняются значения, отсчитываемые от центра распределения)

Общее правило образования начальных моментов:

k – номер момента;
f(x) – функция распределения плотности вероятности

определения на числовой оси среднего значения случайной величины, т.е. области

вокруг которой группируются значения случайной величины.

ожидание неслучайного числа равно самому числу.

M(ax) = a M(x)

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M(x+y-z) = M(x) + M(y) – M(z) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

M(xyz) = M(x) M(y) M(z) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

M[x – M(x)] =0 Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

такое распределение называется центрированным.


Общее правило образования центральных моментов:

дисперсией

D(x) или σx2

равна нулю.

D(ax) = a2 D(x) Постоянный

множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат.

D(x + y - z) = D(x) + D(y) + D(z) Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин равна арифметической сумме их дисперсий.

D(x) = M(x2) – M2(x) Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием ее квадрата и квадратом математического ожидания.

значения.

В метрологии в качестве меры рассеяния используют
среднее квадратическое отклонение (СКО),

которое по размерности совпадает с измеряемой величиной.

Третий центральный момент служит для оценки асимметрии плотности распределения вероятности,
Четвертый центральный момент используется для оценки заостренности функции плотности распределения вероятности

или

имеет свое распределение, называется композицией

f(x1)

f(x2)
f(x1+x2) - композиция

зависят от числа измерений.
Оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка

называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.
Q → Qист при n →

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.
M(Qi) = Qист

Оценка называется эффективной, если из нескольких возможных несмещенных оценок она имеет наименьшую дисперсию.
D(Qi) = min

^

^

^

вероятности, среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного

значения измеряемой величины.

в ряду измерений
Для нормального закона распределения оценку СКО отдельных результатов

измерений в серии из n независимых равноточных измерений вычисляют по формуле:

единичного измерения.

При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону

распределения вероятности, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием.

Для равномерного закона распределения