Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

СВ линейного оператора
3. Свойства СВ
4. Линейный оператор с простым спектром

диагонализируемым, если в V существует базис, в котором матрица линейного

оператора диагональная.
Определение 1.2. Пусть φ – оператор пространства V. Если для некоторого ненулевого вектора v∈V и числа λ имеем
φ(v)= λ·v,
то число λ называется собственным значением оператора φ , а вектор v называется собственным вектором оператора φ , относящимся к собственному значению λ.

– оператор n-мерного пространства V , v – собственный вектор

оператора φ , относящийся к собственному значению λ , т.е. φ(v)= λ·v.
Пусть { b1,b2,…,bn }– базис V ,
A – матрица линейного оператора φ в базисе { b1,b2,…,bn } и v = c1b1 + c2b2 + … + cnbn
⇔
φ(v)= φ(c1b1 + c2b2 + … + cnbn v)= c1φ(b1)+ c2φ(b2 )+ … + cnφ(bn) =

вектор оператора φ , относящийся к соб- ственному значению λ

⇔ его координаты c1,c2,…,cn являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λI)X=O.

φ (матрицы A) .
Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λI)

– многочлен степени n относительно переменной λ .
Многочлен det(A–λI) называют характеристическим много- членом оператора φ (матрицы A).
Корни многочлена det(A–λI) называют характеристи- ческими корнями оператора φ (матрицы A).

тогда


Доказательство.

φ тогда и только тогда, когда оно является его характеристическим

корнем.

φ относится к единственному собственному значению.
Доказательство (от противного).
Пусть вектор v

относится к двум различным собственным значениям - и :






Но вектор v – ненулевой, поэтому
QED

φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ

, то их линейная комбинация a·v1+b·v2 – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению.

Доказательство.
φ (a·v1+b·v2 ) =
a φ (v1)+b φ(v2 ) =
a λv1+b λ v2 =
λ (a·v1+b·v2 )

QED

к множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к

собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство простран- ства V. Оно называется собственным подпространством оператора и обозначается Vλ.

различным собственным значениям λ1,λ2,…, λk , линейно независимы.
Доказательство (от противного).

Предположим x1,x2,…,xk ЛЗ: с1x1+с2x2+…+ сk xk =0 и хотя бы один из коэффициентов – ненулевой, например,
сk - ненулевое число.
Проведем две операции: применим оператор φ и умножим на λ1
φ (с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0 и
λ1(с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk =0.

с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0
с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk = 0

Вычтем из первого второе соотношение:
с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk =0.

сk ( λk -λ1)xk) =с2λ2 (λ2-λ1)x2…+сk λk ( λk -λ1)xk

=0 и
λ2(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk) = с2λ2 (λ2-λ1)x2…+с2 λk ( λk -λ1)xk =0

и вычтем:
с3 (λ3-λ1) (λ3-λ2) x3…+ сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) xk =0.
Продолжая так, в конце концов получим
сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) … ( λk –λk-1) xk =0.
Собственные значения различны, собственный вектор – ненулевой.
Отсюда следует сk =0, что противоречит предположению. QED

не может иметь более n собственных значений;
б) в пространстве

может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора.

базиса, то есть является инвариантом линейного оператора ( таким образом,

подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен).

Следствие 3.7. Множество собственных значений линейного оператора не зависит от выбора базиса, то есть является инвариантом линейного оператора ( таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же набор собственных значений).

Доказательство.
Пусть Р и Q – матрицы одного и того же линейного оператора в различных базах. Тогда

Матрица A оператора φ в базисе {b1,b2,…,bn} имеет диагональный вид

⇔ все базисные векторы bi являются собственными векторами этого оператора.
Доказательство.








QED

т.т.к. она имеет n линейно независимых собственных векторов.

А подобна диагональной матрице D. Тогда существует невырожденная матрица Р такая что . Пусть - столбцы матрицы Р, а - диагональные элементы матрицы D .

Доказательство.

С другой стороны,

и столбцы матрицы Р являются собственными векторами матрицы А (матричный линейный оператор). В силу невырожденности P, все эти векторы линейно независимы.

А имеет n линейно независимых собственных столбцов,
обозначим их , относящихся к собственным значениям
Обозначим , тогда Р – невырожденная матрица и

- диагональная матрица.

QED

когда в пространстве V существует базис, каждый из векторов которого

является собственным вектором оператора .

оператора называется спектром оператора.
Определение 4.2. Линейный оператор n-мерного векторного

пространства, имеющий n попарно различных собственных значений, называется оператором с простым спектром.

Следствие 4.3.
(1) Матрица оператора с простым спектром подобна диагональной матрице, у которой на диагонали стоят собственные значения оператора.

матрицей оператора с простым спектром