Справочник планиметрии

Содержание

1. Справочник планиметрии
2. Использованные ресурсы.1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.
3. Как пользоваться справочником.После прочтения инструкции перейдите на
4. Основные темы.1.Углы и параллельность.2.Треугольник.3.Параллелограммы.4. Трапеции.5. Окружность.7. Правильные многоугольники.6. Площади.Закрыть справочник.
5. Углы и параллельные прямые.1.Углы и их виды.2.Углы и параллельные прямые.4.Теорема Фалеса.3. Аксиома параллельных. Свойства.Вернуться
6. сторонаВАСвершинабиссектрисаВАСАМ - биссектрисаВАМ= САММ1.Угол.2.Развёрнутый угол.ВАС3.Виды
7. 5.Угол между прямыми.ВАСHD6.Углы при секущей.
8. Вернуться9.Аксиома параллельных прямых.аbАЧерез точку А, не лежащую
9. 12. Теорема Фалеса.А₁А₂А₃А₄А₅В₁В₂В₃В₄В₅Если на одной из двух
10. Треугольники.1.Треугольник, его элементы.2.Признаки равенства.3.Подобие.4. Линейные элементы.5. Площадь.6. Теоремы синусов и косинусов.7. Вписанная и описанная окружности.8. Виды.Вернуться
11. Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника,
12. 5.Признаки равенства треугольников.ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁По двум сторонам и углумежду ними.По стороне и двум углам,прилежащим к ней.По трём сторонам.Вернуться
13. Подобие треугольников.1.Признаки подобия.2.Примеры и свойства.Вернуться
14. 6.Признаки подобия треугольников.ВАСВ₁А₁С₁Два треугольника называются подобными, если
15. 7. Примеры и свойства подобных треугольников.ВАСВ₁С₁Прямая, параллельная
16. Линейные элементы.1.Медиана.2.Высота.Вернуться3.Биссектриса.4.Средняя линия.
17. 8. Медиана треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ММедианой треугольника называется отрезок,соединяющий вершину
18. 9. Высота треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ННВАСВ₁С₁А₁Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, опущенный из
19. 10. Биссектриса треугольника.ВАСВ₁А₁ОС₁Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы
20. 12. Площадь треугольника.ВАСabcr- радиус вписанной окружности.R- радиус oписанной окружности.- формула Герона .Вернутьсяо₁о₂rRha
21. 13. Теорема синусов.ВАСabcСтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих
22. 15. Описанная окружность.ВАСВ₁С₁А₁ООколо каждого треугольника можно описать
23. Виды треугольников.1.Прямоугольный.2.Равнобедренный.Вернуться3.Равностороний (правильный).
24. Прямоугольный треугольник.1.Определение и свойства.2.Соотношения.Вернуться3.Вписанная и описанная окружности.4.Площадь.
25. 17. Прямоугольный треугольник.ВАСа катетb катетс гипотенузаТреугольник называется
26. 18. Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном
27. 20.Вписанная и описанная окружности.ВАСа О₂О₁с b R R R r r r 21.Площадь.НВернуться
28. 22.Равнобедренный треугольник.ВАСРавнобедренным называется треугольник, у которого две
29. 24.Равносторонний (правильный) треугольник.ВАСВ₁С₁А₁ОПравильным (равносторонним) называется треугольник, у
30. Параллелограммы.1.Параллелограмм.2.Ромб.Вернуться3. Прямоугольник.4.Квадрат.
31. Параллелограмм.1.Определение и свойства.2.Признаки.Вернуться4. Метрические соотношения. Площадь.3.Свойства биссектрис и высот.
32. 26. Определение.ВАСDОПараллелограммом называется четырёхугольник, у которогопротивоположные стороныпопарно
33. 29. Свойства биссектрис и высот.1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает
34. 30. Периметр. Площадь.ВАСDВАСD31. Соотношения.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его сторон:Вернуться
35. 32. Ромб.ВАСD1.Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы
36. 35. Прямоугольник.ВАСDОПрямоугольником называется параллелограмм, у которого все
37. 38. Квадрат.ВАСD45˚Квадратом называется прямоугольник, у которого все
38. Трапеции.1.Трапеция.2.Свойства трапеции.Вернуться3. Вписанная окружность.4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.
39. 39. Трапеция.ВернутьсяТрапецией называется четырёхугольник,две стороны которого параллельны,
40. 40. Свойства трапеции.ВАСDLTО1.Середины оснований , точка пересечения
41. 41. Вписанная окружность. В трапецию можно вписать
42. 42. Равнобедренная трапеция.ВАСDОРавнобедренной называется трапеция,у которой боковые
43. Окружность.1.Отрезки и дуги.2.Прямая и окружность.Вернуться3. Углы в
44. Отрезки и дуги.1.Отрезки и дуги.Вернуться2.Свойства отрезков и дуг.
45. 43. Отрезки и дуги.ОМОкружностью называется множество точек
46. 44. Свойства отрезков и дуг.ОМQPNДиаметр делит хорду,
47. Прямая и окружность.1.Прямая и окружность.Вернуться2. Окружность и две прямые.
48. 44. Прямая и окружность.ОМММОМ- расстояние от центра
49. 46. Две прямые и окружность.ОМЕсли окружность касается
50. 48.Цнтральный угол.СВОЕсли вершина угла находится в центре
51. Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают
52. 52. Две окружности.ВернутьсяО₁О₂dR₁R₂R₁+R₂dО₁О₂dR₁+R₂=dR₂О₁О₂dR₁-R₂=dО₁О₂dMN=R₂-R₁+dВАMNО₂О₁ВАMNdMN=R₂+R₁-dR₁и R₂-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами.Нет общих точек.КасаютсяПересекаются
53. 53. Описанная окружность.ВАСВ₁С₁А₁ООколо каждого треугольника можно описать
54. 54. Вписанная окружность.ОВАСВ₁С₁А₁rrrВ каждый треугольник можно вписать
55. 55.Общие касательные двух окружностей.О₁О₂Если одна окружность лежит
56. О₁О₂dMЕсли две окружности касаются внутренним образом, то
57. секторсектор56. Круг и его части.ОООсегментсегментВАтС - длина окружности,D=2R - диаметрα –градусная мера дуги секторапВернуться
58. Площади.1.Площадь треугольника.Вернуться2.Отношения площадей.3.Площадь четырёхугольника.4.Площадь круга и его частей.5.Площади правильных многоугольников.
59. 57.Площадь треугольника.ВАСr - радиус вписанной окружности,р - полупериметрR - радиус oписанной окружностиаbcВернутьсяДалее
60. 58. Площадь прямоугольного треугольника.ВАСаbch59. Площадь правильного треугольника.ВАСааа60˚Вернуться
61. Отношение площадей треугольников с равными высотами (общей
62. 62.Треугольники с равными сторонами.ВАСЕВ₁Е₁Отношение площадей треугольников с
63. 64.Площадь прямоугольника.ВАСDOαabd₂d₁ВАСDahαd₂d₁b66.Площадь ромба.65.Площадь параллелограмма.ВАСDahd₂d₁ar - радиус вписанной окружности,р – полупериметр ромба.ВернутьсяДалее
64. 67. Площадь квадрата.ВАСDadad68. Площадь трапеции.ВАСDabhαd₂d₁NM69. Соотношения площадей в трапеции .OВАСDabS₁S₂ДалееВернуться
65. 70. Площадь произвольного четырёхугольника.αd₂d₁ВАСD71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярныd₂d₁ВАСDВернуться
66. секторсектор72. Круг и его части.ОООсегментсегментВАтС - длина окружности,D=2R - диаметрα –градусная мера дуги секторапВернуться
67. . . .73. Площадь правильного п-угольника через
68. . . .74. Площадь правильного п-угольника через
69. . . .75. Правильный п-угольник.ОА₁А₂А₃А₄Аn. . .АkАk+1.
70. 76. Частные случаи правильных п-угольников.ОRrОRrОRraaaВернуться
71. Закрыть
72. Скачать презентанцию

Использованные ресурсы.1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М. :Просвещение, 2008.2. Л.И. Звавич, А.Р. РязановскийГеометрия в таблицах, 7-11кл. :Справочное пособие/М. :Дрофа, 2002.

Главная
Разное
Справочник планиметрии

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Основные факты курса планиметрии.
7-9 класс.
Создатель презентации учитель математики анкина т.с.
Г.

Екатеринбург
маоу-гимназия №13
Справочник планиметрии.

Основные факты курса планиметрии.7-9 класс.Создатель презентации учитель математики анкина т.с.Г. Екатеринбург маоу-гимназия №13Справочник планиметрии.

Слайд 2Использованные ресурсы.
1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М.

:Просвещение, 2008.
2. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский
Геометрия в таблицах, 7-11кл. :
Справочное

пособие/М. :Дрофа, 2002.

Использованные ресурсы.1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М. :Просвещение, 2008.2. Л.И. Звавич, А.Р. РязановскийГеометрия в

Слайд 3Как пользоваться справочником.
После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные

темы».
Выбрав тему, «кликните» по её названию.
Для продолжения просмотра выбранной темы

«кликните» по стрелке «Далее».
Для возвращения к списку тем «кликните» по кнопке «Вернуться»

Как пользоваться справочником.После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные темы».Выбрав тему, «кликните» по её названию.Для продолжения

Слайд 4Основные темы.
1.Углы и параллельность.
2.Треугольник.
3.Параллелограммы.
4. Трапеции.
5. Окружность.
7. Правильные многоугольники.
6. Площади.
Закрыть справочник.

Основные темы.1.Углы и параллельность.2.Треугольник.3.Параллелограммы.4. Трапеции.5. Окружность.7. Правильные многоугольники.6. Площади.Закрыть справочник.

Слайд 5Углы и параллельные прямые.
1.Углы и их виды.
2.Углы и параллельные прямые.
4.Теорема

Фалеса.
3. Аксиома параллельных. Свойства.
Вернуться

Слайд 6сторона
В
А
С
вершина
биссектриса
ВАС
АМ - биссектриса
ВАМ= САМ
М
1.Угол.
2.Развёрнутый угол.
В
А
С
3.Виды углов.
ВАС=180˚
В
А
С
В
H
D
BAD=90˚-
прямой
СAВ90˚-
тупой
4. Смежные углы.
5.

Вертикальные углы равны.
В
А
С
D
СAD и ВАС-
смежные
СAD + ВАС=180˚

А
С
H
D
Вернуться

сторонаВАСвершинабиссектрисаВАСАМ - биссектрисаВАМ= САММ1.Угол.2.Развёрнутый угол.ВАС3.Виды углов.ВАС=180˚ВАСВHDBAD=90˚-прямойСAВ90˚-тупой4. Смежные углы.5. Вертикальные углы равны.ВАСDСAD и ВАС-смежныеСAD

Слайд 75.Угол между прямыми.
В
А
С
H
D
6.Углы при секущей.

(4;8); (3;7); (2;6)-
соответственные, (3;8); (2;5)-
односторонние.
7.Параллельные прямые.
а
b
а||b
8.Признаки и свойства параллельных прямых.
а
b
а||b
c
3
5
а
b
а||b
1
5
c
а
b
а||b
2
5
c

Слайд 8Вернуться
9.Аксиома параллельных прямых.
а
b
А
Через точку А, не лежащую на
прямой b,

в плоскости можно
провести прямую а, параллельную
данной прямой b,

и притом только одну.

Если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

10.Транзитивность параллельных прямых.

11.Связь перпендикулярности с параллельностью.

Если две различные прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

Вернуться9.Аксиома параллельных прямых.аbАЧерез точку А, не лежащую на прямой b, в плоскости можно провести прямую а, параллельную

Слайд 912. Теорема Фалеса.
А₁
А₂
А₃
А₄
А₅
В₁
В₂
В₃
В₄
В₅
Если на одной из двух прямых
отложить несколько равных

отрезков и через их концы
провести параллельные прямые
до пересечения с

другой прямой,
то и на ней отложатся равные
отрезки .

13. Расширенная теорема
Фалеса.

А₁

А₂

А₃

А₄

В₁

В₂

В₃

В₄

Если на одной из двух прямых
отложить несколько отрезков
и через их концы провести
параллельные прямые до
пересечения с другой прямой,
то и на ней отложатся
отрезки, пропорциональные
данным .

А₁А₂:А₂А₃:А₃А₄=В₁В₂:В₂В₃:В₃В₄

Вернуться

12. Теорема Фалеса.А₁А₂А₃А₄А₅В₁В₂В₃В₄В₅Если на одной из двух прямыхотложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные

Слайд 10Треугольники.
1.Треугольник, его элементы.
2.Признаки равенства.
3.Подобие.
4. Линейные элементы.
5. Площадь.
6. Теоремы синусов и

косинусов.
7. Вписанная и описанная окружности.
8. Виды.
Вернуться

Треугольники.1.Треугольник, его элементы.2.Признаки равенства.3.Подобие.4. Линейные элементы.5. Площадь.6. Теоремы синусов и косинусов.7. Вписанная и описанная окружности.8. Виды.Вернуться

Слайд 11Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется
внешним углом

треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника,
не

смежных с ним: АВМ= С+ А

1. Треугольник.

Геометрическая фигура, состоящая из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх
отрезков, попарно их соединяющих,
называется треугольником.

2. Неравенство треугольника.

сторона

вершина

сторона

вершина

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других
сторон и больше их разности. В противном случае треугольник
не существует: ВС-АС<АВ<ВС+АС…

3. Внешний угол треугольника и его свойство.

4.Сумма углов треугольника.

А+ В+ С=180˚.

Вернуться

Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется внешним углом треугольника. Внешний угол треугольника равен

Слайд 125.Признаки равенства треугольников.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
В
А
С
В₁
А₁
С₁
В
А
С
В₁
А₁
С₁
По двум сторонам и углу
между ними.
По стороне и

двум углам,
прилежащим к ней.
По трём сторонам.
Вернуться

5.Признаки равенства треугольников.ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁По двум сторонам и углумежду ними.По стороне и двум углам,прилежащим к ней.По трём сторонам.Вернуться

Слайд 13Подобие треугольников.
1.Признаки подобия.
2.Примеры и свойства.
Вернуться

Слайд 146.Признаки подобия треугольников.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
Два треугольника называются подобными, если углы одного из

них
соответственно равны углам другого, а сходственные стороны
пропорциональны:

А= А₁; В= В₁; С= С₁; АВ:А₁В₁=АС:А₁С₁=ВС:В₁С₁=k.

В₁

А₁

С₁

В₁

А₁

С₁

По двум углам .

По двум сторонам и углу
между ними.

По трём сторонам.

Вернуться

6.Признаки подобия треугольников.ВАСВ₁А₁С₁Два треугольника называются подобными, если углы одного из нихсоответственно равны углам другого, а сходственные стороны

Слайд 157. Примеры и свойства подобных треугольников.
В
А
С
В₁
С₁
Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от

него треугольник, подобный данному.
Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников
пропорциональны сходственным

сторонам.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению
cходственных сторон (коэффициенту подобия k) .

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения cходственных сторон (квадрату коэффициента
подобия k²) .

Вернуться

7. Примеры и свойства подобных треугольников.ВАСВ₁С₁Прямая, параллельная стороне треугольника,отсекает от него треугольник, подобный данному.Сходственные биссектрисы, медианы и

Слайд 16Линейные элементы.
1.Медиана.
2.Высота.
Вернуться
3.Биссектриса.
4.Средняя линия.

Слайд 178. Медиана треугольника.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
М
Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре
тяжести треугольника)

и делятся ею в отношении 2:1, считая
от вершины: АМ:МА₁=ВМ:МВ₁=СМ:МС₁=2:1.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными
площадями) треугольника.
Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих
треугольников.

Вернуться

8. Медиана треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ММедианой треугольника называется отрезок,соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Слайд 189. Высота треугольника.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
Н
Н
В
А
С
В₁
С₁
А₁
Высотой треугольника называется
перпендикуляр, опущенный из вершины
треугольника к

прямой, содержащей
противолежащую сторону .
Все высоты треугольника или прямые, их
содержащие,

пересекаются в
одной точке – ортоцентре треугольника.

r- радиус вписанной окружности.

Вернуться

9. Высота треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ННВАСВ₁С₁А₁Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону .Все высоты треугольника

Слайд 1910. Биссектриса треугольника.
В
А
С
В₁
А₁
О
С₁
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
расположенный

внутри него.
Все биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной

окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам .

11. Средняя линия треугольника.

Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна
третьей стороне и равна её половине.

Вернуться

10. Биссектриса треугольника.ВАСВ₁А₁ОС₁Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, расположенный внутри него.Все биссектрисы треугольника пересекаютсяв одной точке

Слайд 2012. Площадь треугольника.
В
А
С
a
b
c
r- радиус вписанной окружности.
R- радиус oписанной окружности.
- формула

Герона .
Вернуться
о₁
о₂
r
R
ha

Слайд 2113. Теорема синусов.
В
А
С
a
b
c
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов с
коэффициентом

пропорциональности,
равным диаметру описанной окружности.
14. Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус
угла между ними.

Вернуться

13. Теорема синусов.ВАСabcСтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной окружности.14. Теорема косинусов.Квадрат

Слайд 2215. Описанная окружность.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
О
Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом

только одну.
Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендику-
ляров к сторонам

треугольника .

16. Вписанная окружность.

В₁

С₁

А₁

В каждый треугольник можно вписать
окружность и притом только одну.

Центром вписанной окружности является
точка пересечения биссектрис треугольника.

Вернуться

15. Описанная окружность.ВАСВ₁С₁А₁ООколо каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.Центром описанной окружности являетсяточка пересечения серединных

Слайд 23Виды треугольников.
1.Прямоугольный.
2.Равнобедренный.
Вернуться
3.Равностороний (правильный).

Слайд 24Прямоугольный треугольник.
1.Определение и свойства.
2.Соотношения.
Вернуться
3.Вписанная и описанная окружности.
4.Площадь.

Слайд 2517. Прямоугольный треугольник.
В
А
С
а катет
b катет
с гипотенуза
Треугольник называется прямоугольным,
если у

него есть прямой угол.
Теорема Пифагора.
Квадрат длины гипотенузы равен сумме
квадратов длин

катетов.

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника,
равна её половине: тс=с:2.

тс

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона
является гипотенузой.

Теорема, обратная теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника
совпадает с серединой гипотенузы.

Вернуться

17. Прямоугольный треугольник.ВАСа катетb катетс гипотенузаТреугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.Теорема Пифагора.Квадрат длины гипотенузы

Слайд 2618. Тригонометрические функции острых углов в
прямоугольном треугольнике.
В
А
С
а
b
с

19. Средние пропорциональные отрезки.
Н
Катет прямоугольного треугольника является средним
пропорциональным отрезком

гипотенузы и проекции этого
катета на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла является средним пропорциональным отрезком
проекций катетов на гипотенузу:

Вернуться

18. Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике.ВАСа b с 19. Средние пропорциональные отрезки.НКатет прямоугольного треугольника является

Слайд 2720.Вписанная и описанная окружности.
В
А
С
а
О₂
О₁
с
b
R
R
R

r
r
r
21.Площадь.
Н
Вернуться

Слайд 2822.Равнобедренный треугольник.
В
А
С
Равнобедренным называется треугольник,
у которого две стороны равны.
вершина
боковая сторона
боковая

сторона
Углы при основании равны.
Высота, проведённая из вершины, является
биссектрисой и

медианой.

В₁

С₁

А₁

основание

Высоты (биссектрисы, медианы),
проведённые к боковым сторонам
равны .

23.Признаки равнобедренного треугольника.

1.Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2.Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой,
то этот треугольник равнобедренный.

3.Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.

4.Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.

5.Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны,
то этот треугольник равнобедренный. .

Вернуться

22.Равнобедренный треугольник.ВАСРавнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.вершинабоковая сторонабоковая сторонаУглы при основании равны.Высота, проведённая из вершины,

Слайд 2924.Равносторонний (правильный) треугольник.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
О
Правильным (равносторонним) называется
треугольник, у которого все стороны

равны.
25. Свойства.
1.Все углы равны 60˚.
2. Точки пересечения медиан, биссектрис,
высот, серединных

перпендикуляров
совпадают. Эта точка называется центром
треугольника и является центром вписанной
и описанной окружностей.

3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении
2:1, считая от вершины .

4. Формулы.

5. Площадь.

Вернуться

24.Равносторонний (правильный) треугольник.ВАСВ₁С₁А₁ОПравильным (равносторонним) называется треугольник, у которого все стороны равны.25. Свойства.1.Все углы равны 60˚.2. Точки пересечения

Слайд 30Параллелограммы.
1.Параллелограмм.
2.Ромб.
Вернуться
3. Прямоугольник.
4.Квадрат.

Слайд 31Параллелограмм.
1.Определение и свойства.
2.Признаки.
Вернуться
4. Метрические соотношения. Площадь.
3.Свойства биссектрис и высот.

Слайд 3226. Определение.
В
А
С
D
О
Параллелограммом называется
четырёхугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
27. Свойства.
1.Противоположные углы

равны.
3.Противоположные стороны равны.
2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚.
4.Диагонали параллелограмма точкой

пересечения делятся
пополам .

1.Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник является
параллелограммом

Вернуться

28. Признаки.

2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

3.Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.

26. Определение.ВАСDОПараллелограммом называется четырёхугольник, у которогопротивоположные стороныпопарно параллельны.27. Свойства.1.Противоположные углы равны.3.Противоположные стороны равны.2.Односторонние углы в сумме составляют

Слайд 3329. Свойства биссектрис и высот.
1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает
от параллелограмма
равнобедренный

треугольник
( АВ=ВА₁).
2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁ и ВМ), а

биссектрисы противоположных углов параллельны (ВМ и DК)
или лежат на одной прямой (в ромбе)

А₁

3. Высоты параллелограмма
обратно пропорциональны
соответственным сторонам:

4.Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный
углу при соседней вершине:

Вернуться

29. Свойства биссектрис и высот.1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ( АВ=ВА₁).2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁

Слайд 3430. Периметр. Площадь.
В
А
С
D
В
А
С
D
31. Соотношения.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов

четырёх его сторон:
Вернуться

30. Периметр. Площадь.ВАСDВАСD31. Соотношения.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его сторон:Вернуться

Слайд 3532. Ромб.
В
А
С
D
1.Диагонали ромба перпендикулярны
и делят углы его пополам.
Ромбом называется

параллелограмм,
у которого все стороны равны.
О
2.Высоты ромба равны.
3. В ромб

можно вписать окружность с центром в точке
пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты.

4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

33. Признаки ромба.

5.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то
это ромб.

6.Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам,
то это ромб.

7.Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб.

34. Площадь ромба.

Вернуться

32. Ромб.ВАСD1.Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы его пополам.Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.О2.Высоты ромба

Слайд 3635. Прямоугольник.
В
А
С
D
О
Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все
углы прямые.
1.Диагонали прямоугольника

равны.
2.Около прямоугольника можно
описать окружность с центром в
точке пересечения диагоналей и

радиусом, равным половине
диагонали.

3. Прямоугольник обладает всеми
свойствами параллелограмма.

36. Признаки прямоугольника.

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.

3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это
прямоугольник.

37. Периметр и площадь прямоугольника.

Вернуться

35. Прямоугольник.ВАСDОПрямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.1.Диагонали прямоугольника равны.2.Около прямоугольника можноописать окружность с центром вточке

Слайд 3738. Квадрат.
В
А
С
D
45˚
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Квадратом называется

ромб,
у которого все углы прямые.
Квадрат обладает всеми свойствами
ромба,

прямоугольника и
параллелограмма.

Квадрат является правильным четырёхугольником.

d-диагональ,
R-радиус описанной окружности
r- радиус вписанной окружности
a- сторона

Вернуться

38. Квадрат.ВАСD45˚Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.Квадрат обладает

Слайд 38Трапеции.
1.Трапеция.
2.Свойства трапеции.
Вернуться
3. Вписанная окружность.
4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.

Слайд 3939. Трапеция.
Вернуться
Трапецией называется четырёхугольник,
две стороны которого параллельны, а
две другие

нет.
В
А
С
D
Н
M
N
BC и AD - верхнее и нижнее основания.
АB и

СD –боковые стороны.

АС и ВD –диагонали.

МN – средняя линия.

ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями.

Площадь трапеции:

39. Трапеция.ВернутьсяТрапецией называется четырёхугольник,две стороны которого параллельны, а две другие нет.ВАСDНMNBC и AD - верхнее и

Слайд 4040. Свойства трапеции.
В
А
С
D
L
T
О
1.Середины оснований , точка
пересечения диагоналей и точка

пересечения продолжений боковых
сторон трапеции лежат на одной
прямой.
2. Треугольники ,

образованные
основаниями трапеции и
отрезками диагоналей, подобны.

3. Треугольники , образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.

4. Отрезок , параллельный основаниям, проходящий через
точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и

Вернуться

40. Свойства трапеции.ВАСDLTО1.Середины оснований , точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковыхсторон трапеции лежат на одной

Слайд 4141. Вписанная окружность.
В трапецию можно вписать окружность тогда и

только
тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Центром вписанной

окружности
является точка пересечения
биссектрис углов трапеции и радиус
этой окружности

BC+AD=AB+CD.

Вернуться

41. Вписанная окружность. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме

Слайд 4242. Равнобедренная трапеция.
В
А
С
D
О
Равнобедренной называется трапеция,
у которой боковые стороны равны.
1.Углы, прилежащие

к одному основанию,
равны.
2.Диагонали, равнобедренной трапеции
равны.
3.Около равнобедренной трапеции
можно

описать окружность, центр
которой, является точкой пересечения
серединных перпендикуляров сторон.

В₁

С₁

4. Высоты трапеции, проведённые из
вершин верхнего основания, отсекают
от неё равные прямоугольные
треугольники.

Прямоугольной называется трапеция,
у которой одна боковая сторона
перпендикулярна основанию.

Вернуться

42. Равнобедренная трапеция.ВАСDОРавнобедренной называется трапеция,у которой боковые стороны равны.1.Углы, прилежащие к одному основанию, равны.2.Диагонали, равнобедренной трапеции равны.3.Около

Слайд 43Окружность.
1.Отрезки и дуги.
2.Прямая и окружность.
Вернуться
3. Углы в окружности.
5.Вписанная окружность.
6.Описанная окружность.
4.Две

окружности.
7.Общие касательные двух окружностей.
8. Круг и его части.

Окружность.1.Отрезки и дуги.2.Прямая и окружность.Вернуться3. Углы в окружности.5.Вписанная окружность.6.Описанная окружность.4.Две окружности.7.Общие касательные двух окружностей.8. Круг и его

Слайд 44Отрезки и дуги.
1.Отрезки и дуги.
Вернуться
2.Свойства отрезков и дуг.

Слайд 4543. Отрезки и дуги.
О
М
Окружностью называется множество
точек плоскости, находящихся на

одинаковом расстоянии от данной точки О
(центра окружности).
Хордой называется отрезок, соединяющий

две точки окружности (PQ и AB).

Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ).

Радиусом называется отрезок (ОМ),
соединяющий точку окружности с
центром.

Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя
её точками.

Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ
Любую из них стягивает хорда PQ .

Длина окружности С=2πR.

Длина дуги окружности l=πRα/180.

α-градусная мера дуги

l=Rα, α- радианная мера дуги.

Вернуться

43. Отрезки и дуги.ОМОкружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки О(центра окружности).Хордой

Слайд 4644. Свойства отрезков и дуг.
О
М
Q
P
N
Диаметр делит хорду, не являющуюся
диаметром,

пополам тогда и только тогда,
когда он перпендикулярен к этой

хорде.

Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды:
MT·TN=PT·TQ

Вернуться

44. Свойства отрезков и дуг.ОМQPNДиаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам тогда и только тогда, когда он

Слайд 47Прямая и окружность.
1.Прямая и окружность.
Вернуться
2. Окружность и две прямые.

Слайд 4844. Прямая и окружность.
О
М
М
М
ОМ- расстояние от центра окружности
до прямой.
Если ОМ

то окружность и прямая имеют
две общие точки: P и Q.

И прямая называется
секущей окружности.

Если ОМ=R, то окружность и прямая имеют
одну общую точку: М. И прямая называется
касательной к окружности, а точка М –
точкой касания.

Если ОМ>R, то окружность и прямая не имеют общих точек,
не пересекаются.

45. Признак касательной.

Прямая является касательной к окружности, тогда и только
тогда, когда радиус, проведённый в их общую точку,
перпендикулярен прямой

Вернуться

44. Прямая и окружность.ОМММОМ- расстояние от центра окружностидо прямой.Если ОМR, то окружность и прямая не имеют общих

Слайд 4946. Две прямые и окружность.
О
М
Если окружность касается сторон угла, то:
1)центр

окружности лежит на биссектрисе
этого угла; МО-биссектриса,
2)отрезки касательных, заключённых между
вершиной

угла и точками касания, равны;
МР=МQ

47. Касательные и секущие из одной точки.

Вернуться

Если из точки вне окружности к ней проведены
касательная и секущая, то квадрат длины
отрезка касательной равен произведению всего
отрезка секущей на его внешнюю часть:
АТ²=АВ·АС=АХ·АУ.
Произведения длин отрезков секущих,
проведённых из одной точки, равны.

46. Две прямые и окружность.ОМЕсли окружность касается сторон угла, то:1)центр окружности лежит на биссектрисе этого угла; МО-биссектриса,2)отрезки

Слайд 5048.Цнтральный угол.
С
В
О
Если вершина угла находится в центре
окружности, а стороны

его пересекают
окружность, то этот угол называется
центральным (ВОС).
Градусная мера

дуги (ВС), заключённой внутри
центрального угла, равна градусной мере
этого центрального угла.

α˚

49.Вписанный угол.

α˚/2

Если вершина угла находится на окружности, а стороны его
пересекают окружность, то этот угол называется
вписанным в окружность (ВАС).

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, заключённой
внутри его (на которую он опирается).

Вернуться

Вписанный угол (РКМ), опирающийся на полуокружность
(диаметр) равен 90˚ (прямой).

48.Цнтральный угол.СВОЕсли вершина угла находится в центре окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется

Слайд 51Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают
окружность, а вершина

находится вне её, равна полу разности
градусных мер дуг, заключённых внутри

этого угла (В₁С₁ и ВРС).

Вернуться

50.Свойства вписанных углов.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же дугу равны.

51.Другие углы.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же хорду или равны (ВАС и ВМС), или
их сумма равна 180˚ (ВРС и ВМС).

Градусная мера угла (СAD), между хордой и касательной равна
половине дуги, заключённой внутри этого угла (дуги АМС).

Градусная мера угла (ВТС), вершина которого лежит внутри
окружности , а стороны пересекают её равна полу сумме
градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла и внутри
вертикального ему угла (дуг ВРС и С₁АМ).

В₁

С₁

Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают окружность, а вершина находится вне её, равна полу разностиградусных мер

Слайд 5252. Две окружности.
Вернуться
О₁
О₂
d
R₁
R₂
R₁+R₂

d
О₁
О₂
d
R₁+R₂=d

R₂
О₁
О₂
d
R₁-R₂=d

О₁
О₂
d
MN=R₂-R₁+d

В
А
M
N
О₂
О₁
В
А
M
N
d
MN=R₂+R₁-d

R₁и R₂-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами.

Нет

общих
точек.

Касаются
Пересекаются

52. Две окружности.ВернутьсяО₁О₂dR₁R₂R₁+R₂dО₁О₂dR₁+R₂=dR₂О₁О₂dR₁-R₂=dО₁О₂dMN=R₂-R₁+dВАMNО₂О₁ВАMNdMN=R₂+R₁-dR₁и R₂-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами.Нет общих точек.КасаютсяПересекаются

Слайд 5353. Описанная окружность.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
О
Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом

только одну.
Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендику-
ляров к сторонам

многоугольника.

Около четырёхугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда
суммы противоположных углов этого
четырёхугольника равны 180˚.

Около прямоугольника (квадрата)всегда
можно описать окружность, центр которой
лежит в точке пересечения его диагоналей.

Вернуться

53. Описанная окружность.ВАСВ₁С₁А₁ООколо каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.Центром описанной окружности являетсяточка пересечения серединных

Слайд 5454. Вписанная окружность.
О
В
А
С
В₁
С₁
А₁
r
r
r
В каждый треугольник можно вписать
окружность и притом

только одну.
Центром вписанной окружности является
точка пересечения биссектрис многоугольника.
О
В
А
С
D
В₁
С₁
А₁
D₁
В четырёхугольник

можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда
суммы противоположных сторон этого
четырёхугольника равны.

АВ+CD=DC+AD.

Вернуться

54. Вписанная окружность.ОВАСВ₁С₁А₁rrrВ каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну.Центром вписанной окружности является точка пересечения

Слайд 5555.Общие касательные двух окружностей.
О₁
О₂
Если одна окружность лежит
вне другой, то

у них 4 общих
касательных.
О₁
О₂
две внутренние касательные
две внешние
касательные
две внешние

касательные

одна внутренняя касательная

Если две окружности касаются
внешним образом, то у них
3 общих касательных.

d=O₁O₂>R₁+R₂

d=O₁O₂=R₁+R₂

Вернуться

55.Общие касательные двух окружностей.О₁О₂Если одна окружность лежит вне другой, то у них 4 общих касательных.О₁О₂две внутренние касательныедве

Слайд 56О₁
О₂
d
M
Если две окружности
касаются внутренним
образом, то у них одна

общая касательная.
О₁
О₂
две внешние
касательные
Если две окружности
пересекаются, то у них есть

две общие касательные.

О₁

О₂

Если одна окружность
лежит внутри другой,
то общих касательных нет.

Вернуться

О₁О₂dMЕсли две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая касательная.О₁О₂две внешние касательныеЕсли две окружностипересекаются, то

Слайд 57сектор
сектор
56. Круг и его части.
О
О
О
сегмент
сегмент
В
А
т
С - длина окружности,
D=2R - диаметр
α

–градусная мера
дуги сектора
п
Вернуться

Слайд 58Площади.
1.Площадь треугольника.
Вернуться
2.Отношения площадей.
3.Площадь четырёхугольника.
4.Площадь круга и его частей.
5.Площади правильных многоугольников.

Площади.1.Площадь треугольника.Вернуться2.Отношения площадей.3.Площадь четырёхугольника.4.Площадь круга и его частей.5.Площади правильных многоугольников.

Слайд 5957.Площадь треугольника.
В
А
С
r - радиус вписанной
окружности,
р - полупериметр
R - радиус

oписанной окружности
а
b
c
Вернуться
Далее

Слайд 6058. Площадь прямоугольного треугольника.
В
А
С
а
b
c
h
59. Площадь правильного треугольника.
В
А
С
а
а
а
60˚
Вернуться

Слайд 61Отношение площадей треугольников
с равными высотами
(общей высотой) равно отношению
сторон,

соответственных этим высотам

60.Подобные треугольники.
В
А
С
М
N
~
Отношение площадей подобных
треугольников равно

квадрату
коэффициента подобия

Вернуться

61. Треугольники с равными высотами.

Отношение площадей треугольников с равными высотами (общей высотой) равно отношениюсторон, соответственных этим высотам 60.Подобные треугольники.ВАСМN~Отношение площадей

Слайд 6262.Треугольники с равными сторонами.
В
А
С
Е
В₁
Е₁
Отношение площадей
треугольников с равными
сторонами ( с

общей стороной)
равно отношению высот,
проведённых к этим сторонам.
В
А
С
М
N
Отношение площадей треугольников
с

равными углами( с общим углом )
равно отношению произведений
сторон, заключающих эти углы.

63.Треугольники с равными углами.

Вернуться

62.Треугольники с равными сторонами.ВАСЕВ₁Е₁Отношение площадей треугольников с равнымисторонами ( с общей стороной)равно отношению высот, проведённых к этим

Слайд 6364.Площадь прямоугольника.
В
А
С
D
O
α
a
b
d₂
d₁
В
А
С
D
a
h
α
d₂
d₁
b
66.Площадь ромба.
65.Площадь параллелограмма.
В
А
С
D
a
h
d₂
d₁
a
r - радиус вписанной окружности,
р – полупериметр

ромба.
Вернуться
Далее

64.Площадь прямоугольника.ВАСDOαabd₂d₁ВАСDahαd₂d₁b66.Площадь ромба.65.Площадь параллелограмма.ВАСDahd₂d₁ar - радиус вписанной окружности,р – полупериметр ромба.ВернутьсяДалее

Слайд 6467. Площадь квадрата.
В
А
С
D
a
d
a
d
68. Площадь трапеции.
В
А
С
D
a
b
h
α
d₂
d₁
N
M
69. Соотношения площадей в трапеции .
O
В
А
С
D
a
b
S₁
S₂
Далее
Вернуться

Слайд 6570. Площадь произвольного четырёхугольника.
α
d₂
d₁
В
А
С
D
71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется
четырёхугольник, диагонали

которого перпендикулярны
d₂
d₁
В
А
С
D
Вернуться

70. Площадь произвольного четырёхугольника.αd₂d₁ВАСD71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярныd₂d₁ВАСDВернуться

Слайд 66сектор
сектор
72. Круг и его части.
О
О
О
сегмент
сегмент
В
А
т
С - длина окружности,
D=2R - диаметр
α

–градусная мера
дуги сектора
п
Вернуться

Слайд 67. . .
73. Площадь правильного п-угольника через радиус
вписанной окружности.
О
А₁
А₂
А₃
А₄
Аn
.

. .
Аk
Аk+1
. . .
. . .
α=2π|n
a
R
r
r - радиус вписанной
окружности,
P

– периметр.

Вернуться

. . .73. Площадь правильного п-угольника через радиус вписанной окружности.ОА₁А₂А₃А₄Аn. . .АkАk+1. . .. . .α=2π|naRrr -

Слайд 68. . .
74. Площадь правильного п-угольника через радиус
oписанной окружности.
О
А₁
А₂
А₃
А₄
Аn
.

. .
Аk
Аk+1
. . .
. . .
α=2π|n
a
R
r
R - радиус oписанной
окружности.
Вернуться

. . .74. Площадь правильного п-угольника через радиус oписанной окружности.ОА₁А₂А₃А₄Аn. . .АkАk+1. . .. . .α=2π|naRrR -

Слайд 69. . .
75. Правильный п-угольник.
О
А₁
А₂
А₃
А₄
Аn
. . .
Аk
Аk+1
. . .
. .

.
α=2π|n
a
R
r
R - радиус oписанной
окружности, r-радиус
вписанной окружности,
а-сторона.
Вернуться
Правильным называется

п-угольник, стороны и углы которого равны .

В правильный п-угольник
можно вписать и около него можно описать окружность с центром в точке пересечения биссектрис его углов.

. . .75. Правильный п-угольник.ОА₁А₂А₃А₄Аn. . .АkАk+1. . .. . .α=2π|naRrR - радиус oписанной окружности, r-радиус вписанной

Слайд 7076. Частные случаи правильных п-угольников.
О
R
r
О
R
r
О
R
r
a
a
a
Вернуться

Слайд 71Закрыть

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Справочник планиметрии

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Основные факты курса планиметрии.7-9 класс.Создатель презентации учитель математики анкина т.с.Г.

Екатеринбург маоу-гимназия №13Справочник планиметрии.

Слайд 2Использованные ресурсы.1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М.

:Просвещение, 2008.2. Л.И. Звавич, А.Р. РязановскийГеометрия в таблицах, 7-11кл. :Справочное

Слайд 3Как пользоваться справочником.После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные

темы».Выбрав тему, «кликните» по её названию.Для продолжения просмотра выбранной темы

Слайд 4Основные темы.1.Углы и параллельность.2.Треугольник.3.Параллелограммы.4. Трапеции.5. Окружность.7. Правильные многоугольники.6. Площади.Закрыть справочник.

Слайд 5Углы и параллельные прямые.1.Углы и их виды.2.Углы и параллельные прямые.4.Теорема

Фалеса.3. Аксиома параллельных. Свойства.Вернуться

Слайд 6сторонаВАСвершинабиссектрисаВАСАМ - биссектрисаВАМ= САММ1.Угол.2.Развёрнутый угол.ВАС3.Виды углов.ВАС=180˚ВАСВHDBAD=90˚-прямойСAВ90˚-тупой4. Смежные углы.5.

Вертикальные углы равны.ВАСDСAD и ВАС-смежныеСAD + ВАС=180˚АСHDВернуться

Слайд 75.Угол между прямыми.ВАСHD6.Углы при секущей.

(4;8); (3;7); (2;6)-соответственные, (3;8); (2;5)-односторонние.7.Параллельные прямые.аbа||b8.Признаки и свойства параллельных прямых.аbа||bc35аbа||b15cаbа||b25c

Слайд 8Вернуться9.Аксиома параллельных прямых.аbАЧерез точку А, не лежащую на прямой b,

в плоскости можно провести прямую а, параллельную данной прямой b,

Слайд 912. Теорема Фалеса.А₁А₂А₃А₄А₅В₁В₂В₃В₄В₅Если на одной из двух прямыхотложить несколько равных

отрезков и через их концы провести параллельные прямыедо пересечения с

Слайд 10Треугольники.1.Треугольник, его элементы.2.Признаки равенства.3.Подобие.4. Линейные элементы.5. Площадь.6. Теоремы синусов и

косинусов.7. Вписанная и описанная окружности.8. Виды.Вернуться

Слайд 11Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется внешним углом

треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника,не

Слайд 125.Признаки равенства треугольников.ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁ВАСВ₁А₁С₁По двум сторонам и углумежду ними.По стороне и

двум углам,прилежащим к ней.По трём сторонам.Вернуться

Слайд 13Подобие треугольников.1.Признаки подобия.2.Примеры и свойства.Вернуться

Слайд 146.Признаки подобия треугольников.ВАСВ₁А₁С₁Два треугольника называются подобными, если углы одного из

нихсоответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны:

Слайд 157. Примеры и свойства подобных треугольников.ВАСВ₁С₁Прямая, параллельная стороне треугольника,отсекает от

него треугольник, подобный данному.Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольниковпропорциональны сходственным

Слайд 16Линейные элементы.1.Медиана.2.Высота.Вернуться3.Биссектриса.4.Средняя линия.

Слайд 178. Медиана треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ММедианой треугольника называется отрезок,соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны.Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника)

Слайд 189. Высота треугольника.ВАСВ₁С₁А₁ННВАСВ₁С₁А₁Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к

прямой, содержащей противолежащую сторону .Все высоты треугольника или прямые, ихсодержащие,

Слайд 1910. Биссектриса треугольника.ВАСВ₁А₁ОС₁Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, расположенный

внутри него.Все биссектрисы треугольника пересекаютсяв одной точке – центре вписанной

Слайд 2012. Площадь треугольника.ВАСabcr- радиус вписанной окружности.R- радиус oписанной окружности.- формула

Герона .Вернутьсяо₁о₂rRha

Слайд 2113. Теорема синусов.ВАСabcСтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом

пропорциональности, равным диаметру описанной окружности.14. Теорема косинусов.Квадрат стороны треугольника равен

Слайд 2215. Описанная окружность.ВАСВ₁С₁А₁ООколо каждого треугольника можно описать окружность и притом

только одну.Центром описанной окружности являетсяточка пересечения серединных перпендику-ляров к сторонам

Слайд 23Виды треугольников.1.Прямоугольный.2.Равнобедренный.Вернуться3.Равностороний (правильный).

Слайд 24Прямоугольный треугольник.1.Определение и свойства.2.Соотношения.Вернуться3.Вписанная и описанная окружности.4.Площадь.

Слайд 2517. Прямоугольный треугольник.ВАСа катетb катетс гипотенузаТреугольник называется прямоугольным, если у

него есть прямой угол.Теорема Пифагора.Квадрат длины гипотенузы равен суммеквадратов длин

Слайд 2618. Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике.ВАСа b с

19. Средние пропорциональные отрезки.НКатет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным отрезком

Слайд 2720.Вписанная и описанная окружности.ВАСа О₂О₁с b R R R

r r r 21.Площадь.НВернуться

Слайд 2822.Равнобедренный треугольник.ВАСРавнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.вершинабоковая сторонабоковая

сторонаУглы при основании равны.Высота, проведённая из вершины, является биссектрисой и

Слайд 2924.Равносторонний (правильный) треугольник.ВАСВ₁С₁А₁ОПравильным (равносторонним) называется треугольник, у которого все стороны

равны.25. Свойства.1.Все углы равны 60˚.2. Точки пересечения медиан, биссектрис,высот, серединных

Слайд 30Параллелограммы.1.Параллелограмм.2.Ромб.Вернуться3. Прямоугольник.4.Квадрат.

Слайд 31Параллелограмм.1.Определение и свойства.2.Признаки.Вернуться4. Метрические соотношения. Площадь.3.Свойства биссектрис и высот.

Слайд 3226. Определение.ВАСDОПараллелограммом называется четырёхугольник, у которогопротивоположные стороныпопарно параллельны.27. Свойства.1.Противоположные углы

равны.3.Противоположные стороны равны.2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚.4.Диагонали параллелограмма точкой

Слайд 3329. Свойства биссектрис и высот.1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает от параллелограмма равнобедренный

треугольник ( АВ=ВА₁).2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁ и ВМ), а

Слайд 3430. Периметр. Площадь.ВАСDВАСD31. Соотношения.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов

четырёх его сторон:Вернуться

Слайд 3532. Ромб.ВАСD1.Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы его пополам.Ромбом называется

параллелограмм, у которого все стороны равны.О2.Высоты ромба равны.3. В ромб

Слайд 3635. Прямоугольник.ВАСDОПрямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.1.Диагонали прямоугольника

равны.2.Около прямоугольника можноописать окружность с центром вточке пересечения диагоналей и

Слайд 3738. Квадрат.ВАСD45˚Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.Квадратом называется

ромб, у которого все углы прямые.Квадрат обладает всеми свойствами ромба,

Слайд 38Трапеции.1.Трапеция.2.Свойства трапеции.Вернуться3. Вписанная окружность.4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.

Слайд 3939. Трапеция.ВернутьсяТрапецией называется четырёхугольник,две стороны которого параллельны, а две другие

нет.ВАСDНMNBC и AD - верхнее и нижнее основания.АB и

Слайд 4040. Свойства трапеции.ВАСDLTО1.Середины оснований , точка пересечения диагоналей и точка

пересечения продолжений боковыхсторон трапеции лежат на одной прямой.2. Треугольники ,

Слайд 4141. Вписанная окружность. В трапецию можно вписать окружность тогда и

только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.Центром вписанной

Слайд 4242. Равнобедренная трапеция.ВАСDОРавнобедренной называется трапеция,у которой боковые стороны равны.1.Углы, прилежащие

к одному основанию, равны.2.Диагонали, равнобедренной трапеции равны.3.Около равнобедренной трапеции можно

Слайд 1Основные факты курса планиметрии.
7-9 класс.
Создатель презентации учитель математики анкина т.с.
Г.

Екатеринбург
маоу-гимназия №13
Справочник планиметрии.

Слайд 2Использованные ресурсы.
1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М.

:Просвещение, 2008.
2. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский
Геометрия в таблицах, 7-11кл. :
Справочное

Слайд 3Как пользоваться справочником.
После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные

темы».
Выбрав тему, «кликните» по её названию.
Для продолжения просмотра выбранной темы

Слайд 4Основные темы.
1.Углы и параллельность.
2.Треугольник.
3.Параллелограммы.
4. Трапеции.
5. Окружность.
7. Правильные многоугольники.
6. Площади.
Закрыть справочник.

Слайд 5Углы и параллельные прямые.
1.Углы и их виды.
2.Углы и параллельные прямые.
4.Теорема

Фалеса.
3. Аксиома параллельных. Свойства.
Вернуться

Вертикальные углы равны.
В
А
С
D
СAD и ВАС-
смежные
СAD + ВАС=180˚

А
С
H
D
Вернуться

Слайд 75.Угол между прямыми.
В
А
С
H
D
6.Углы при секущей.

(4;8); (3;7); (2;6)-
соответственные, (3;8); (2;5)-
односторонние.
7.Параллельные прямые.
а
b
а||b
8.Признаки и свойства параллельных прямых.
а
b
а||b
c
3
5
а
b
а||b
1
5
c
а
b
а||b
2
5
c

Слайд 8Вернуться
9.Аксиома параллельных прямых.
а
b
А
Через точку А, не лежащую на
прямой b,

в плоскости можно
провести прямую а, параллельную
данной прямой b,

Слайд 912. Теорема Фалеса.
А₁
А₂
А₃
А₄
А₅
В₁
В₂
В₃
В₄
В₅
Если на одной из двух прямых
отложить несколько равных

отрезков и через их концы
провести параллельные прямые
до пересечения с

Слайд 10Треугольники.
1.Треугольник, его элементы.
2.Признаки равенства.
3.Подобие.
4. Линейные элементы.
5. Площадь.
6. Теоремы синусов и

косинусов.
7. Вписанная и описанная окружности.
8. Виды.
Вернуться

Слайд 11Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется
внешним углом

треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника,
не

Слайд 125.Признаки равенства треугольников.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
В
А
С
В₁
А₁
С₁
В
А
С
В₁
А₁
С₁
По двум сторонам и углу
между ними.
По стороне и

двум углам,
прилежащим к ней.
По трём сторонам.
Вернуться

Слайд 13Подобие треугольников.
1.Признаки подобия.
2.Примеры и свойства.
Вернуться

Слайд 146.Признаки подобия треугольников.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
Два треугольника называются подобными, если углы одного из

них
соответственно равны углам другого, а сходственные стороны
пропорциональны:

Слайд 157. Примеры и свойства подобных треугольников.
В
А
С
В₁
С₁
Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от

него треугольник, подобный данному.
Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников
пропорциональны сходственным

Слайд 16Линейные элементы.
1.Медиана.
2.Высота.
Вернуться
3.Биссектриса.
4.Средняя линия.

Слайд 178. Медиана треугольника.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
М
Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре
тяжести треугольника)

Слайд 189. Высота треугольника.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
Н
Н
В
А
С
В₁
С₁
А₁
Высотой треугольника называется
перпендикуляр, опущенный из вершины
треугольника к

прямой, содержащей
противолежащую сторону .
Все высоты треугольника или прямые, их
содержащие,

Слайд 1910. Биссектриса треугольника.
В
А
С
В₁
А₁
О
С₁
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
расположенный

внутри него.
Все биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной

Слайд 2012. Площадь треугольника.
В
А
С
a
b
c
r- радиус вписанной окружности.
R- радиус oписанной окружности.
- формула

Герона .
Вернуться
о₁
о₂
r
R
ha

Слайд 2113. Теорема синусов.
В
А
С
a
b
c
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов с
коэффициентом

пропорциональности,
равным диаметру описанной окружности.
14. Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен

Слайд 2215. Описанная окружность.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
О
Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом

только одну.
Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендику-
ляров к сторонам

Слайд 23Виды треугольников.
1.Прямоугольный.
2.Равнобедренный.
Вернуться
3.Равностороний (правильный).

Слайд 24Прямоугольный треугольник.
1.Определение и свойства.
2.Соотношения.
Вернуться
3.Вписанная и описанная окружности.
4.Площадь.

Слайд 2517. Прямоугольный треугольник.
В
А
С
а катет
b катет
с гипотенуза
Треугольник называется прямоугольным,
если у

него есть прямой угол.
Теорема Пифагора.
Квадрат длины гипотенузы равен сумме
квадратов длин

Слайд 2618. Тригонометрические функции острых углов в
прямоугольном треугольнике.
В
А
С
а
b
с

19. Средние пропорциональные отрезки.
Н
Катет прямоугольного треугольника является средним
пропорциональным отрезком

Слайд 2720.Вписанная и описанная окружности.
В
А
С
а
О₂
О₁
с
b
R
R
R

r
r
r
21.Площадь.
Н
Вернуться

Слайд 2822.Равнобедренный треугольник.
В
А
С
Равнобедренным называется треугольник,
у которого две стороны равны.
вершина
боковая сторона
боковая

сторона
Углы при основании равны.
Высота, проведённая из вершины, является
биссектрисой и

Слайд 2924.Равносторонний (правильный) треугольник.
В
А
С
В₁
С₁
А₁
О
Правильным (равносторонним) называется
треугольник, у которого все стороны

равны.
25. Свойства.
1.Все углы равны 60˚.
2. Точки пересечения медиан, биссектрис,
высот, серединных

Слайд 30Параллелограммы.
1.Параллелограмм.
2.Ромб.
Вернуться
3. Прямоугольник.
4.Квадрат.

Слайд 31Параллелограмм.
1.Определение и свойства.
2.Признаки.
Вернуться
4. Метрические соотношения. Площадь.
3.Свойства биссектрис и высот.

равны.
3.Противоположные стороны равны.
2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚.
4.Диагонали параллелограмма точкой

Слайд 3329. Свойства биссектрис и высот.
1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает
от параллелограмма
равнобедренный

треугольник
( АВ=ВА₁).
2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁ и ВМ), а

Слайд 3430. Периметр. Площадь.
В
А
С
D
В
А
С
D
31. Соотношения.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов

четырёх его сторон:
Вернуться

Слайд 3532. Ромб.
В
А
С
D
1.Диагонали ромба перпендикулярны
и делят углы его пополам.
Ромбом называется

параллелограмм,
у которого все стороны равны.
О
2.Высоты ромба равны.
3. В ромб

Слайд 3635. Прямоугольник.
В
А
С
D
О
Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все
углы прямые.
1.Диагонали прямоугольника

равны.
2.Около прямоугольника можно
описать окружность с центром в
точке пересечения диагоналей и

Слайд 3738. Квадрат.
В
А
С
D
45˚
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Квадратом называется

ромб,
у которого все углы прямые.
Квадрат обладает всеми свойствами
ромба,

Слайд 38Трапеции.
1.Трапеция.
2.Свойства трапеции.
Вернуться
3. Вписанная окружность.
4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.

Слайд 3939. Трапеция.
Вернуться
Трапецией называется четырёхугольник,
две стороны которого параллельны, а
две другие

нет.
В
А
С
D
Н
M
N
BC и AD - верхнее и нижнее основания.
АB и

Слайд 4040. Свойства трапеции.
В
А
С
D
L
T
О
1.Середины оснований , точка
пересечения диагоналей и точка

пересечения продолжений боковых
сторон трапеции лежат на одной
прямой.
2. Треугольники ,

Слайд 4141. Вписанная окружность.
В трапецию можно вписать окружность тогда и

только
тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Центром вписанной

Слайд 4242. Равнобедренная трапеция.
В
А
С
D
О
Равнобедренной называется трапеция,
у которой боковые стороны равны.
1.Углы, прилежащие

к одному основанию,
равны.
2.Диагонали, равнобедренной трапеции
равны.
3.Около равнобедренной трапеции
можно

Слайд 43Окружность.
1.Отрезки и дуги.
2.Прямая и окружность.
Вернуться
3. Углы в окружности.
5.Вписанная окружность.
6.Описанная окружность.
4.Две

окружности.
7.Общие касательные двух окружностей.
8. Круг и его части.

Слайд 44Отрезки и дуги.
1.Отрезки и дуги.
Вернуться
2.Свойства отрезков и дуг.

Слайд 4543. Отрезки и дуги.
О
М
Окружностью называется множество
точек плоскости, находящихся на

одинаковом расстоянии от данной точки О
(центра окружности).
Хордой называется отрезок, соединяющий

Слайд 4644. Свойства отрезков и дуг.
О
М
Q
P
N
Диаметр делит хорду, не являющуюся
диаметром,