Тема 5. Координаты и векторы

какой из его концов считается началом, а какой — концом
A
B
c
 
На

и конец такого вектора совпадают,
и он не имеет направления.

вектора считается равной нулю.

прямой или на параллельных прямых.

сонаправлены,
то эти векторы называются сонаправленными.
Нулевой вектор считается сонаправленным

они называются противоположно направленные векторы.

ни противоположно направленными
Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
На рисунке сонаправленными векторами будут векторы
являются

характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности Е.
На рисунке

∈ СD, CK = KD
M ∈ АС, AM = MC

АВ = 3 см,

ВС = 4 см,

ВD = 5 см

A

B

C

D

3 см

5 см

4 см

M

N

К

В тетраэдре АВСD точки M,
N и К – середины сторон АС, ВС и СD соответственно.

Найти длины векторов
АВ. ВС, ВD, NM, BN, NK.

NK
N ∈ ВС, BN = NC
К ∈ СD, CK =

M ∈ АС, AM = MC

АВ = 3 см,

ВС = 4 см,

ВD = 5 см

A

B

C

D

3 см

5 см

4 см

M

N

К

притом только один
 
 
a
 
Доказательство:
M
α
Докажем, что от любой точки пространства можно отложить

∈ СD, CP = PD
M ∈ АB, AM = MB

Q ∈ BС, BQ = QC

а) выписать пары равных векторов

б) определить вид четырехугольника MNHQ

A

B

C

D

M

N

Q

AB = AD = DC = BC = DВ = AC

P

Решение:

б) NP ∥ АС, QM ∥ АС

MN ∥ DB, QP ∥ DB

MN = DB = PN = QM,

⇒ MNPQ — квадрат

DB ⏊ AC ⇒ MN ⏊ NP ⇒

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

выбора точки А.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Введем

имеет место равенство: вектор АВ + вектор ВС = вектор

есть сумма векторов а и b.
При сложении неколлинеарных векторов

Пусть даны векторы а и b.

От произвольной точки А
отложим векторы АВ и АС,
равные соответственно а и b.

Достроим до параллелограмма,
проведя дополнительные линии,
параллельно данным векторам.

конец которого являются
вершинами параллелепипеда,
равный сумме векторов AB и

К вектору АВ прибавим вектор АD,
равный вектору A1D1 .

Суммой этих векторов будет диагональ основания параллелепипеда,
то есть вектор АС.

противоположными,
если их длины равны и они противоположно направлены

вектора, проведенного из этой точки в конец данного вектора
Любой

минус вектор, проведенный в начало.

точек.
Третьей точкой удобно взять точку А1.
Выполним это же

Вектор, проведенный в конец то есть в точку В1 будет А1В1
и в начало точку А – вектор А1А.
Получаем АВ1 = А1В1 – А1А.

Вектор в конец - D1K, в начало - D1D.
Получим вектор DK = D1K – D1D.

вектор складывается со вторым, затем их сумма – с третьим

От точки О отложен вектор ОА равный вектору а, затем от точки А вектор АВ равный b, от точки В отложен следующий вектор ВС равный c, и соединяем первую и последнюю точки О с С
получаем вектор ОС равный сумме векторов а, b и c

Это правило нам известно как правило многоугольника.

На рисунке показано сложение трех векторов в пространстве.

точки,
то вектор А1А2
+ вектор А2А3 + вектор А3А4

На рисунке показана сумма шести векторов.

сумма равна
нулевому вектору
Рассмотрим сумму векторов
Выполнив сложение по правилу многоугольника,

РМ = вектор МР.
Вектор – АР = вектор РА.

- Заменим в выражении вычитание на сумму.

- Для этого заменим отрицательные векторы
на противоположные.

Затем, складывая векторы АВ и ВМ, получаем вектор АМ.

В итоге сумма векторов АМ и МА дают нулевой вектор. Выражение упрощено.

часть равенства.
Вектор А1А равен вектору С1С как противоположные ребра параллелепипеда.

Вектор ОА представим как сумму векторов ОА1 и А1А по правилу треугольника.

Складывая векторы ОС1 и С1С, получаем ОС.
В результате преобразований получили правую часть равенства. Доказательство окончено.

же точки они будут лежать в одной плоскости
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
 
 
 
 
 
Векторы DC,CA,DD1
не

На рисунке векторы CA,CA1,DD1 компланарны,
так как, если отложить
от точки C вектор CC1=DD1
то все три вектора
CA, CA1,CC1
и окажутся лежащими
в одной плоскости.

два коллинеарных, также компланарны

— Три произвольных вектора могут быть как

среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. А в нашем случае

АВ равен А1В1.
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны,

из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

параллелепипеда – суммой векторов,
проведенных из одной точки
и лежащих на

Полученные вектора являются тремя измерениями: длиной шириной и высотой