Разделы презентаций


ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Содержание

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Слайд 2Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Слайд 3Для функции y=f(x) на отрезке [a;b]:

Разбить отрезок [a;b] на n

равных частей

Составить сумму Sn =f(x0)·∆x0+…+ f(xn)·∆xn


Вычислить предел этой суммы

при n→∞
Для функции y=f(x) на отрезке [a;b]:Разбить отрезок [a;b] на n равных частей Составить сумму Sn =f(x0)·∆x0+…+ f(xn)·∆xnВычислить

Слайд 4Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения

D(f)
y

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f)y

Слайд 5Будем рассматривать её на отрезке
y
а
b

Будем рассматривать её на отрезкеyаb

Слайд 6Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x

= а, x = b и у = 0.
Назовём

её криволинейной трапецией ABCD:

Поставим задачу нахождения её площади S

а

b

x = a

B

C

D

A

x = b

y = 0

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = b и у

Слайд 7Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=

a

а, у=х1, у = х2, …
у = хi, y= xi+1,…, y= b. Этими прямыми трапеция ABCD разбивается на полосы.

x0

xn

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a

Слайд 8Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть

отрезок [xi;xi+1], а смежная сторона – это отрезок f(xi) (i=0…n-1)
y
В
С
А
D
Криволинейная

трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников

x0

xn

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [xi;xi+1], а смежная сторона – это

Слайд 9Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать

через Высота i-го прямоугольника равна

f(xi)

y

В

С

A

D

x0

xn

Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать через      Высота

Слайд 10Площадь i-го прямоугольника равна:




Сложив площади всех прямоугольников,
получаем приближенное значение

площади S
криволинейной трапеции:

Площадь i-го прямоугольника равна:Сложив площади всех прямоугольников, получаем приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

Слайд 11Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех

прямоугольников




Для обозначения предельных сумм вида


f(xi) xi немецкий учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f(x) от а до b

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников Для обозначения предельных сумм вида

Слайд 12Если предел функции f(x) существует,
то f(x) называется
интегрируемой на отрезке

[a, b].
Числа а и b называются нижним и верхним
пределом

интегрирования.
При постоянных
пределах интегрирования
определённый интеграл
представляет собой определённое число.
Если предел функции f(x) существует, то f(x) называетсяинтегрируемой на отрезке [a, b].Числа а и b называются нижним

Слайд 14Определенный интеграл не зависит от выбора первообразной для интегрирования функции.
Теорема.
Теорема.
Для

всякой, непрерывной на отрезке функции, существует

соответствующий определенный интеграл.
Доказательство основано на теореме Коши, т.е. существует определенный интеграл, значит, существует разность значений первообразной.
Определенный интеграл не зависит от выбора первообразной для интегрирования функции.Теорема.Теорема.Для всякой, непрерывной на отрезке

Слайд 15Свойства определенного интеграла
Пусть на отрезке

существует определенный интеграл
где

Свойства определенного интегралаПусть на отрезке      существует определенный интегралгде

Слайд 164. Константу как множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5.

Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме

определенных интегралов от этих функций.
4. Константу как множитель можно выносить за знак определенного интеграла.5. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных

Слайд 176. Если подынтегральная функция неотрицательна, то и определенный интеграл

от нее неотрицателен.
7. Теорема о среднем
Если

- непрерывная функция, то определенный интеграл равен:
6. Если подынтегральная функция  неотрицательна, то и определенный интеграл от нее неотрицателен.7. Теорема о среднемЕсли

Слайд 18Геометрический смысл определенного интеграла
Теорема.
Определенный интеграл

от

непрерывной неотрицательной

на отрезке и численно равен площади прямолинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми с и и графиком функции
Геометрический смысл определенного интегралаТеорема.Определенный интеграл           отнепрерывной неотрицательной

Слайд 19Следствие.
Если линейная трапеция ограничена графиком функции

прямыми б б б б для площадь вычисляется по формуле:
Следствие.Если линейная трапеция ограничена графиком функции

Слайд 20Связь и отличие определенных и неопределенных интегралов
Связь:
Как в неопределенном, так

и в определенном интеграле нужно находить первообразную для функции

Связь и отличие определенных и неопределенных интеграловСвязь:Как в неопределенном, так и в определенном интеграле нужно находить первообразную

Слайд 21Отличие:
Неопределенный интеграл – общее выражение для всех первообразных, определенный интеграл

– это число.

Отличие:Неопределенный интеграл – общее выражение для всех первообразных, определенный интеграл – это число.

Слайд 22Теорема о существовании определенного интеграла

Теорема о существовании определенного интеграла

Слайд 23Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Слайд 24Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Слайд 25Теорема о среднем
Если функция непрерывна на

то существует такая точка


что
Теорема о среднем  Если функция непрерывна на     то существует такая точка

Слайд 26Вычисление определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла

Слайд 27Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница

Слайд 28Вычисление определённого интеграла

Вычисление определённого интеграла

Слайд 29Пример
Вычислить

Пример  Вычислить          .

Слайд 30Вычисление интеграла

Вычисление интеграла

Слайд 31Теорема. Дано:
Введем новую переменную,
связанную с формулой

b непрерывна на отрезке
при этом


Теорема. Дано: Введем новую переменную, связанную с  формулой    b непрерывна на отрезке при

Слайд 32тогда

тогда

Слайд 33Пример

Пример

Слайд 35Пример

Пример

Слайд 36Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Слайд 37Пример
. Вычислить несобственный интеграл


(или установить его расходимость)
.



Этот несобственный интеграл

расходится.

Пример. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость).Этот несобственный интеграл расходится.

Слайд 38Пример
Несобственный интеграл

ПримерНесобственный интеграл

Слайд 391. Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых координатах:
Геометрические приложения

определенного интеграла

1. Вычисление площадей  Площадь фигуры в декартовых координатах:Геометрические приложения определенного интеграла

Слайд 40Вычисление площадей

Вычисление площадей

Слайд 41Вычисление площадей
В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры,

ограниченной
прямыми

, осью Ох и кривой
вычисляют по
формуле

где пределы интегрирования определяют из

уравнений .


.

Вычисление площадей  В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми

Слайд 42Вычисление площадей
Площадь полярного сектора вычисляют по формуле



.
α
β

Вычисление площадей  Площадь полярного сектора вычисляют по формуле   . α β

Слайд 43Примеры
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и



Примеры  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Слайд 44Продолжение
Получим



Продолжение  Получим

Слайд 45Примеры
Найти площадь эллипса

. Параметрические уравнения эллипса

Примеры  Найти площадь эллипса         . Параметрические уравнения эллипса

Слайд 46Пример
Площадь фигуры, ограниченной

лемнискатой Бернулли


и лежащей вне круга радиуса :

Пример  Площадь фигуры, ограниченной         лемнискатой Бернулли

Слайд 47Вычисление длины дуги
Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

, то длина ее дуги

,
где –значения параметра, соответствующие концам дуги .
Вычисление длины дуги  Если кривая задана параметрическими уравнениями       ,

Слайд 48Длина дуги в декартовых координатах
Если кривая задана уравнением

,
то

, где a, b–абсциссы начала и конца дуги .
Если кривая задана уравнением
, то , где c, d–ординаты начала и конца дуги
Длина дуги в декартовых координатах Если кривая задана уравнением       , то

Слайд 49Длина дуги в полярных координатах
Если кривая задана уравнением

в полярных координатах ,

то

,
где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .
Длина дуги в полярных координатах  Если кривая задана уравнением в полярных координатах

Слайд 50Примеры
Вычислить длину дуги кривой
от точки

до .


, тогда
ПримерыВычислить длину дуги кривой от точки       до

Слайд 51Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг

оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой

, отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .
Вычисление объема тела вращения.  Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой

Слайд 52Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг

оси Oy фигуры, ограниченной кривой

, отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

.

Вычисление объема тела вращения  Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой

Слайд 53Вычисление объема тела вращения
Искомый объем можно найти как

разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных

линиями и
Вычисление объема тела вращения  Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox

Слайд 54Решение
Тогда

Решение Тогда

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика