Тема лекции №7

и её виды
2. Операторное представление
3. Автокорреляционная функция

которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от

предыдущих значений этого же ряда. 

ситуацию прохождение влияющих факторов через начало координат, то есть показывает

каким будет итог модели в случае, когда влияющие факторы равны нулю;
ai — коэффициенты, которые описывают степень зависимости итогового Y от влияющих факторов, в данном случае, от того каким был Y в прошлом периоде регрессии;
Yi-1 — влияющие факторы, которые в данном случае и есть итоговый Y, но тот, каким он был раньше;
Ɛi — случайная компонента или как еще ее принято называть погрешность модели (по сути, это разница между расчетным значением модели за известные периоды и между самими известными значениями, то есть Yрасч. - Y).

модель авторегрессии первого порядка состоит только из одного влияющего фактора,

а именно из Y-1, то есть изучается наиболее тесная зависимость только от того каким был итоговый показатель периодом с шагом назад.

процедура и поочередность шагов аналогичны описанным в статье Линейная регрессия в

Excel через Анализ данных) на примере ряда динамики ВВП Украины с 2004 по 2012 гг.

авторегрессии второго порядка отличается от первой тем, что она включает

в себя еще один влияющий фактор Yi-2, то есть показывается зависимость от того каким был Y не только один период назад, но и от того каким он был два периода назад. Порой это позволяет выявить большую взаимосвязь и соответственно построить более точный прогноз.

ai*Yi-3 +Ɛi

Модель авторегрессии третьего порядка наиболее тесно описывает зависимость от того

каким был итоговый показатель раньше, так как в качестве влияющих факторов используется три отправные точки - каким Y был 1 период назад, 2 периода назад и 3 периода назад. 
Требования к размаху исследуемого динамического ряда у этой модели выше - так как диапазон исходных данных сокращается на три периода, то чтобы не пострадало качество модели, необходимо расширять исследуемый период.

и требований к исходным данным. 
МИНУСЫ:
1. Прогноз по исходным данным возможен только

на один период вперед. Если нужно сделать прогноз на более длительный срок, то в качестве влияющих факторов для расчета придется брать не реально существующий Y, а тот который рассчитан по модели, что в итоге даст прогноз на прогнозе, а значит адекватность такого прогноза, как минимум, в два раза меньше.
2. С увеличением разрядности авторегрессии возникает необходимость расширять диапазон исходных данных.

можно представить следующим образом


или
Ла́говый оператор — оператор смещения, позволяющий получить значения элементов временного

ряда на основании ряда предыдущих значений.

процесс был стационарным, достаточно, чтобы все корни характеристического полинома лежали вне

единичного круга в комплексной плоскости |z|>1.
В частности, для AR I - процесса a(z)=1-rz, следовательно корень этого «полинома»  z=1/r, поэтому условие стационарности можно записать в виде |r|<1, то есть коэффициент авторегрессии (он же в данном случае коэффициент автокорреляции) должен быть строго меньше 1 по модулю.
Для AR(2)-процесса можно показать, что условия стационарности имеют вид: |a2|<1, a2 ±a1<1.

простейшем случае AR(1)-процесса, математическое ожидание равно


а дисперсия

было указано выше, однако, выражение для дисперсии временного ряда -

существенно усложняется. Можно показать, что дисперсия ряда γ(0)  и вектор автокорреляций γ
 выражаются через параметры следующим образом:


где а - вектор параметров, 
С - матрица порядка р , элементы которой определяются следующим образом. Диагональные элементы равны cii=1-a2i. Элементы выше диагонали равны –a2i+j-1, а элементы ниже диагонали равны –(aj+a2i-j).  Здесь подразумевается, что если индекс превышает порядок модели p, то соответствующая величина приравнивается к нулю.