Тема: Применение производной к исследованию функции

наименьшее
значение функции
2) точки экстремума и значение
функции в этих

точках

4) построение графика функции

в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I.
Достаточный

признак убывания функции. Если f ’ (x)< 0 в каждой I, то функция убывает на I.
Если f ’ (x)= 0 в каждой точке интервала I, то f является постоянной (константой)на интервале I.

в каждой точке интервала I
f возрастает на I
f (x)

< 0 в каждой точке интервалаI

f убывает на I

+

+

-

х1

х2

+

+

+

-

-

-

-

х1

х1

х2

х2

х3

функция возрастает,

функция убывает.

f

f

f

f

f

f

(x)=x3 – 27x

f ’ (x)=3x2 – 27x следует, что f ’ >

0, если 3x2 – 27 > 0. Решаем это неравенство методом интервалов, получим:
3x2 – 27 >0,
3 (x2 – 9) >0,
3 (x – 3)(x + 3) >0.
Получили, что f ’ > 0 на интервале (- ∞; -3) и (3; + ∞) и значит, на этих интервалах функция f возрастает.
Аналогично f ’ < 0 на интервале (-3; 3), поэтому на этом интервале f убывает.
Вычисляем значение функции в точках -3 и 3.
f(-3)=(-3)2 – 27*(-3)= -27+81=54;
f(3)=27-81=-54.

-3

3

+

+

-

(3; 54) и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей

на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞) и убывающей на интервале (-3; 3).








Функция f, непрерывна в точке -3 и 3, возрастает на промежутке (- ∞; -3], [3; +∞) и убывает на отрезке [-3; 3]

х

-1

55

1

-55

3

-3

у

которой ее производная равна нулю или не существует, называются критическими

точками (только они могут быть точками экстремума).

Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f, то она равна нулю:
f ’ (x0)= 0.
Признаки максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0 , а
f ’ (x) > 0 на интервале (а, х0) и f ’ (x) < 0 на интервале(х0, b), то точка x0 является точкой максимума функции f. (Если в точке x0 производная меняется знак с «+» на «-», то x0 есть точка максимума)
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0 ,
а f ’ (x) <0 на интервале (а, х0) и f ’ (x) > 0 на интервале(х0, b), то точка x0 является точкой минимума функции f. (Если в точке x0 производная меняется знак с «-» на «+», то x0 есть точка минимума)

определена
и непрерывна на (a. b)
f (x) - ?
f

(x) > 0 на (а, х0)

f (x) < 0 на (х0, b)

х0 - точка максимума

f(x0)

+

-

x0 – точка максимума

Минимум функции

Функция f определена
и непрерывна на (a. b)

f (x) - ?

f (x) < 0 на (а, х0)

f (x) > 0 на (х0, b)

х0 - точка минимума

f(x0)

-

-

+

x0 – точка минимума

х

х

f

f

f

f

точками максимума, а какие – точками минимума. f (x) = 9+8x2-x4

точках,
f ’ = 0,
16х – 4х3 = 0,
4х (4 –

х2) = 0,
х=0 или (2-х)(2+х)=0
х=0, х =-2, х=2.



В точке 0 производная меняет знак с «-» на «+» (f ’(х) < 0 при х Є (-∞;-2) U (-2; 0) и f ’(х) > 0 при х Є (0; 2) U (2; +∞)).
Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума fmin(x) = f(0) = 9.

f ’

f

min

0

-2

2

+

+

-

-

значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно

вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значение функции.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= x4 – 8x2 – 9 на промежутках [-1; 1] [0; 3].

для любого х. Остается решить уравнение f ’(х)=0.
4х3-16х=0,
4х(х2-4)=0,
х=0 или (х-2)(х+2)=0,
х=0,

х=2, х=-2.

Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел
f(0)= -9, f(2)=-25, f(-1)=-16, f(1)=-16, f(3)=0.

Критическая точка -2 не принадлежит указанным промежуткам. Наибольшее значение достигается в точке 3 и равно 0, а наименьшее в точке 2 и равно -25.

max f(x)=f(3) = 0 min f(x) = f(2) = -25
[-1; 1]и [0; 3] [-1; 1]и [0; 3]

задач
Для этого:
1.Задача «переводится» на язык функции. Для этого выбирают удобный

параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (x);
2. Средствами анализа находится наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь

принимала наибольшее значение

сторона равна (24-х). Тогда площадь равна S(x) = х(24 -

х). По смыслу задачи 0 < x < 24, таким образом, мы свели поставленную задачу к следующей: найти наибольшее значение функции S(x) = х(24 - х) на интервале (0; 24).
2. Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформировано на отрезке. Функция S(x) непрерывна на всей числовой прямой; мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; 24], потом сделаем выводы для решаемой задачи. Находим критические точки функции:
S’(x) = 24 – 2х,
S’(x)=0,
24-2х=0,
х=12,
S(12) = 12*(24 - 12) = 144.
Т.к. S(0)=0 и S(24)=0, своего наибольшего значения на отрезке [0; 24] функция S достигает при х=12, т.е. max S(x)= S(12)=144.
Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; 24], а следовательно, и внутри интервала (0; 24).
3. Вспомним что х – длина стороны прямоугольника, имеющей при заданных условиях максимально возможную площадь. Полученый результат означает, что максимальную площадь имеет коробка со стороной 12 см и 12 см, т.е. квадрат.

х

24 - х

= 3x5 – 5x3 + 2
и построить ее график

Схема исследования:
Найти область определения
Выяснить, является функция четной или нечетной
Найти точки пересечения с осями
Найти промежутки возрастания, убывания
Найти точки экстремума и значение функции в этих точках
Построить график

построить ее график.
Решение:
D(y)=R
Функция ни четная, ни нечетная
Точки пересечения

с осями: график f(x) пересекается с осью ординат в точке (0; 2). Найдем точки пересечения с осью абсцисс, для этого решим уравнение 3х5 – 5х3 + 2 = 0, один из корней которого (х=1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс находить не будем.
Промежутки монотонности: f ’ (x) = 15x4 – 15x2 = 15 x2 (x2-1)






Точки экстремума и значение функции в этих точках:
x max= -1 x min = 1 f(-1) = 4 f(1) = 0

+

+

-

-

f

f ’

-1

1

0

х